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甘肃省天水市逸夫实验中学 2023—2024 学年 九年级中考适应性考试数学试题
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这是一份甘肃省天水市逸夫实验中学 2023—2024 学年 九年级中考适应性考试数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）“龙行龘龘，欣欣家国”，2024年是龙年，请问2024的相反数是（ ）
A．B．﹣2024C．2024D．
2．（3分）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．卡西尼卵形线B．笛卡尔爱心曲线
C．费马螺线D．蝴蝶曲线
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）4＝a6B．（ab）3＝a3b6
C．a2•a3＝a5D．3a2+2a2＝5a4
4．（3分）2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（ ）
A．2.9×106B．2.9×105C．2.9×104D．29×103
5．（3分）若一次函数y＝（m﹣3）x+5的函数值，y随x的增大而增大，则（ ）
A．m＜0B．m＞0C．m＜3D．m＞3
6．（3分）方程的解为（ ）
A．x＝﹣3B．x＝3C．x＝﹣2D．x＝2
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都是⊙O上的点，若∠CAB＝30°，则∠ADC的度数是（ ）
A．65°B．55°C．60°D．70°
8．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ）
A．3x﹣2＝2x+9B．3（x﹣2）＝2x+9
C．D．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图1，正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿折线AB﹣BC运动到点C停止，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E的运动路程为x cm，DF＝y cm，y与x对应关系的图象如图2．那么在运动过程中，下列结论不一定正确的是（ ）
A．DF＝AE
B．图2中a＝4
C．图2中b＝8
D．当点E运动到BC中点时，
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）因式分解：9a2﹣9＝ ．
12．（4分）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是 度．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
14．（4分）如图△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中、、圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接．若AB＝1，则曲线CDEF长是 （结果保留π）．
15．（4分）在扬州市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．
16．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4.5，S菱形ABCD＝36，则OH的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：．
19．（6分）化简：．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．
（1）在边BC上找一点D，使AC2+CD2＝BD2，请利用尺规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若AB＝5，AC＝3，求CD的长．
21．（10分）从华夏文明的发源地到丝绸之路的必经之地，这里承载着中华民族几千年的璀璨基因，这里是羲皇故里，这里有中国四大石窟之一的麦积山石窟．这里，就是甘肃天水．在不透明的袋子中装有4个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“最”、“美”、“天”、“水”，每次摸球前先摇匀．
（1）随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为 ；
（2）随机摸出一个小球后，不放回并摇匀，再随机摸出一个，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的概率．
22．（10分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，将圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为 37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为 84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米，求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（8分）2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会将在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理数据】两组数据各分数段如下表所示：
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共1000人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数．
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
24．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得求S△BCP＝2S△ABC．若存在，求出P点坐标，若不存在说明理由．
25．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AD＝10，csB＝，求FD的长．
26．（10分）在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外）连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α°，α＝∠ABC，得到PE，连接CE．
（1）（观察发现）如图1，当BA＝BC，且∠ABC＝60°时，BP与CE的数量关系是 ．
（2）（猜想证明）如图2，当BA＝BC，且∠ABC＝90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2、图3中的一种情况予以证明或说理）．
（3）（拓展探究）在（2）的条件下，若AB＝8，，请直接写出CE的长．
27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝8，B点横坐标为2，延长矩形OBDC的DC边交抛物线于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P是直线EO上方的抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线EO于点M，求PM的最大值；
（3）如图3，如果点F是抛物线对称轴l上一点，抛物线上是否存在点G，使得以F，G，A，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）“龙行龘龘，欣欣家国”，2024年是龙年，请问2024的相反数是（ ）
A．B．﹣2024C．2024D．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024．
故选：B．
2．（3分）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．卡西尼卵形线B．笛卡尔爱心曲线
C．费马螺线D．蝴蝶曲线
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）4＝a6B．（ab）3＝a3b6
C．a2•a3＝a5D．3a2+2a2＝5a4
【解答】解：∵（a2）4＝a8，
∴选项A不符合题意；
∵（ab）3＝a3b3，
∴选项B不符合题意；
∵a2•a3＝a5，
∴选项C符合题意；
∵3a2+2a2＝5a2，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
4．（3分）2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（ ）
A．2.9×106B．2.9×105C．2.9×104D．29×103
【解答】解：29000＝2.9×104．
故选：C．
5．（3分）若一次函数y＝（m﹣3）x+5的函数值，y随x的增大而增大，则（ ）
A．m＜0B．m＞0C．m＜3D．m＞3
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣3）x+5中，y随着x的增大而增大，
∴m﹣3＞0，
解得：m＞3．
故选：D．
6．（3分）方程的解为（ ）
A．x＝﹣3B．x＝3C．x＝﹣2D．x＝2
【解答】解：去分母得：2（x+1）＝3x，
去括号得：2x+2＝3x，
移项得：2x﹣3x＝﹣2，
合并同类项得：﹣x＝﹣2，
系数化为1得：x＝2，
检验，当x＝2时，x（x+1）＝2×3＝6≠0，
∴x＝2是原分式方程的解，
故选：D．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都是⊙O上的点，若∠CAB＝30°，则∠ADC的度数是（ ）
A．65°B．55°C．60°D．70°
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°．
故选：C．
8．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ）
A．3x﹣2＝2x+9B．3（x﹣2）＝2x+9
C．D．
【解答】解：由题意可得：3（x﹣2）＝2x+9，
故选：B．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：过E作EH⊥CF于H，
由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴EF＝CE，
∴∠FEH＝∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH＝90°，
在矩形ABCD中，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴，
∵AE＝＝10，
∴EH＝，
∴sin∠ECF＝sin∠ECH＝＝，
（方法二，可以证明∠AEB＝∠ECF，求出AE＝10，sin∠ECF＝sin∠AEB＝）
故选：D．
10．（3分）如图1，正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿折线AB﹣BC运动到点C停止，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E的运动路程为x cm，DF＝y cm，y与x对应关系的图象如图2．那么在运动过程中，下列结论不一定正确的是（ ）
A．DF＝AE
B．图2中a＝4
C．图2中b＝8
D．当点E运动到BC中点时，
【解答】解：当点E运动在AB上时，四边形AEFD为矩形，
∴DF＝AE，
当点E运动在BC上时，DF的长呈先变短再变长的变化，故DF不一定等于AE，故A不一定正确，符合题意；
当点E运动到点B处时，DF＝AB＝4，
∴a＝4，故B正确，不符合题意；
当点E运动到点C处时，点E运动路程为8，E、F、C三点重合，
∴DF＝DC＝4，
∴b＝8，故C正确，不符合题意；
当点E运动到BC中点时，如图，
BE＝CE＝2，此时△ABE∽△CEF，
∴CF：CE＝BE：AB，
∴CF＝1，
∴EF＝＝，故D正确，不符合题意．
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）因式分解：9a2﹣9＝ 9（a+1）（a﹣1） ．
【解答】解：原式＝9（a2﹣1）
＝9（a+1）（a﹣1）．
故答案为：9（a+1）（a﹣1）．
12．（4分）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是 76 度．
【解答】解：∵DC∥OB，
∴∠ADC＝∠AOB＝38°，
由光线的反射定理易得，∠ODE＝∠ADC＝38°，
∠DEB＝∠ODE+∠AOB＝38°+38°＝76°，
故答案为：76°．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＞﹣1 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0，
解得a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
14．（4分）如图△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中、、圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接．若AB＝1，则曲线CDEF长是 4π （结果保留π）．
【解答】解：弧CD的长是＝，
弧DE的长是：＝，
弧EF的长是：＝2π＝2π，
则曲线CDEF的长是：++2π＝4π，
故答案为：4π．
15．（4分）在扬州市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 10 米．
【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故答案为：10．
16．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4.5，S菱形ABCD＝36，则OH的长为 4 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝4.5，
∴OA＝OC，BD＝2OB＝9，
∵S菱形ABCD＝36，
∴，
∴AC＝8，
∵AH⊥BC，OA＝OC，
∴∠AHC＝90°，O为AC的中点；
在Rt△AHC中，O为AC的中点
∴．
故答案为：4．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝2+1﹣4×+2
＝2+1﹣2+2
＝3．
18．（6分）解不等式组：．
【解答】解：由3x≥x﹣4得：x≥﹣2，
由＞x﹣2得：x＜5，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜5．
19．（6分）化简：．
【解答】解：
＝
＝
＝x+1．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．
（1）在边BC上找一点D，使AC2+CD2＝BD2，请利用尺规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若AB＝5，AC＝3，求CD的长．
【解答】解：（1）如图所示，作AB的垂直平分线交BC于D，点D即为所求；
由线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，
∵∠C＝90°，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴AC2+CD2＝BD2；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴，
设CD＝x，则BD＝4﹣x，
∵AC2+CD2＝BD2，
∴32+x2＝（4﹣x）2，
解得，
∴CD的长为．
21．（10分）从华夏文明的发源地到丝绸之路的必经之地，这里承载着中华民族几千年的璀璨基因，这里是羲皇故里，这里有中国四大石窟之一的麦积山石窟．这里，就是甘肃天水．在不透明的袋子中装有4个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“最”、“美”、“天”、“水”，每次摸球前先摇匀．
（1）随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为 ；
（2）随机摸出一个小球后，不放回并摇匀，再随机摸出一个，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的概率．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸到“美”字的结果有1种，
∴随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的结果有：（天，水），（水，天），共2种，
∴两次摸到的球上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的概率为＝．
22．（10分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，将圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为 37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为 84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米，求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
设CD＝x米，
∵BD＝4米，
∴BC＝BD+CD＝（x+4）米，
在Rt△ACD中，∠ADC＝84°，
∴AC＝CD•tan84°≈x（米），
在Rt△ABC中，∠ABC＝37°，
∴AC＝BC•tan37°≈（x+4）米，
∴x＝（x+4），
解得：x＝，
∴AC＝x≈3.3（米），
∴表AC的长约为3.3米．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（8分）2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会将在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理数据】两组数据各分数段如下表所示：
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 2 ，b＝ 78.5 ，c＝ 80 ．
（2）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共1000人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数．
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
【解答】解：（1）将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在90≤x＜100范围内的数据有2个，
故a＝2．
中位数b＝＝78.5，
将八年级抽样成绩重新排列为：72，74，75，76，80，80，82，84，85，92，
其众数c＝80，
故答案为：2，78.5，80；
（2）由题意得：
＝340（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有340人；
（3）可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好，
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）．
24．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得求S△BCP＝2S△ABC．若存在，求出P点坐标，若不存在说明理由．
【解答】解：（1）∵A（2，3），B（﹣3，n）两点都在反比例函数图象上；
∴m＝2×3＝﹣3×n，
∴m＝6，n＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝，B（﹣3，﹣2），
∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点都在一次函数图象上，
，解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1；
（2）根据图像和所给条件，不等式kx+b＞的解集为：x＞2或﹣3＜x＜0；
（3）在一次函数y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1，设直线与x轴交于点D，则D（﹣1，0），
∴CD＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝＝5，
∵S△BCP＝2S△ABC．
∴S△BCP＝10，
设点P坐标为（m，m+1），
∴S△BCP＝丨m+3丨＝10，
∴m+3＝10或m+3＝﹣10，
∴m＝7，或m＝﹣13，
∴P（7，8）或（﹣13，﹣12）．
25．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AD＝10，csB＝，求FD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B＝∠ADC，csB＝，
∴cs∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cs∠ADC＝＝，AD＝10，
∴CD＝AD•cs∠ADC＝10×＝6，
∴AC＝＝8，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，
又∵FC2＝FD•FA，
即（4x）2＝3x（3x+10），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．
26．（10分）在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外）连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α°，α＝∠ABC，得到PE，连接CE．
（1）（观察发现）如图1，当BA＝BC，且∠ABC＝60°时，BP与CE的数量关系是 BP＝CE ．
（2）（猜想证明）如图2，当BA＝BC，且∠ABC＝90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2、图3中的一种情况予以证明或说理）．
（3）（拓展探究）在（2）的条件下，若AB＝8，，请直接写出CE的长．
【解答】解：（1）如图1：连接AE，
∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BD⊥AC，
∴，
∵PA＝PE，∠APE＝∠ABC＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°
∴∠BAC＝∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE，
在△BAP和△CAE中，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，
故答案为：BP＝CE．
（2）不成立，结论是；理由如下：
连接AE，如图2，
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，α＝∠ABC，
由旋转的性质得，∠APE＝α＝∠ABC＝90°
∴△ABC、△APE都是等腰直角三角形，
∴，，
∠BAC＝∠ACB＝∠PAE＝45°，
∴∠BAP＝∠CAE，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴，
∵，
∴△CAE∽△BAP
∴
∴，
∴BP＝CE不成立，结论是，
（3）当点P在线段BD上时，如图3.1中，
∵AB＝CB＝8，∠ABC＝90°，
∴，
∵BD⊥AC，
∴，
∵，
∴
＝，
∵，
∴，
∴；
如图3.2所示，当P在BD延长线上时，连接AE，
∵AB＝CB＝8，∠ABC＝90°，∠APE＝90°，PA＝PE，
∴∠BAC＝45°，∠PAE＝45°
∴∠BAD+∠PAD＝∠PAE+∠PAD，即∠BAP＝∠CAE，
同（2）可得，
∴△BAP∽△CAE，
，
∴，
同理可求得：，，
∴，
∴CE＝BP＝14，
综上所述：CE＝2或14．
27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝8，B点横坐标为2，延长矩形OBDC的DC边交抛物线于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P是直线EO上方的抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线EO于点M，求PM的最大值；
（3）如图3，如果点F是抛物线对称轴l上一点，抛物线上是否存在点G，使得以F，G，A，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，
B（2，0），A（﹣6，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式是：y＝﹣；
（2）∵抛物线对称轴是直线：x＝﹣2，C（0，4），
∴E（﹣4，4），
∴直线EO的解析式是：y＝﹣x，
设点P（m，﹣），M（m，﹣m），
∴PM＝（﹣﹣﹣（﹣m）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，PM最大值是；
（3）当以F，G，A，C为顶点的平行四边形是▱ACGF时，
∵点A（﹣6，0），C（0，4），F（﹣2，n），
∴点G的横坐标是：x＝4，
∴当x＝4时，y＝﹣﹣+4＝﹣，
∴G（4，﹣），
当以F，G，A，C为顶点的平行四边形▱ACFG时，
可得G点横坐标是x＝﹣8，
当x＝﹣8时，y＝﹣×（﹣8）2﹣+4＝﹣，
∴G（﹣8，﹣），
当以F，G，A，C为顶点的平行四边形▱AGCF时，
G点横坐标是：﹣6﹣（﹣2）＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）2﹣+4＝4，
∴G（﹣4，4），
综上所述点G（4，﹣）或（﹣8，﹣）或（﹣4，4）．成绩
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
七年级
1
5
2
a
八年级
0
4
5
1
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
b
72
66.6
八年级
80
80
c
33
最
美
天
水
最
（最，美）
（最，天）
（最，水）
美
（美，最）
（美，天）
（美，水）
天
（天，最）
（天，美）
（天，水）
水
（水，最）
（水，美）
（水，天）
成绩
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
七年级
1
5
2
a
八年级
0
4
5
1
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
b
72
66.6
八年级
80
80
c
33
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）“龙行龘龘，欣欣家国”，2024年是龙年，请问2024的相反数是（ ）
A．B．﹣2024C．2024D．
2．（3分）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．卡西尼卵形线B．笛卡尔爱心曲线
C．费马螺线D．蝴蝶曲线
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）4＝a6B．（ab）3＝a3b6
C．a2•a3＝a5D．3a2+2a2＝5a4
4．（3分）2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（ ）
A．2.9×106B．2.9×105C．2.9×104D．29×103
5．（3分）若一次函数y＝（m﹣3）x+5的函数值，y随x的增大而增大，则（ ）
A．m＜0B．m＞0C．m＜3D．m＞3
6．（3分）方程的解为（ ）
A．x＝﹣3B．x＝3C．x＝﹣2D．x＝2
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都是⊙O上的点，若∠CAB＝30°，则∠ADC的度数是（ ）
A．65°B．55°C．60°D．70°
8．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ）
A．3x﹣2＝2x+9B．3（x﹣2）＝2x+9
C．D．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图1，正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿折线AB﹣BC运动到点C停止，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E的运动路程为x cm，DF＝y cm，y与x对应关系的图象如图2．那么在运动过程中，下列结论不一定正确的是（ ）
A．DF＝AE
B．图2中a＝4
C．图2中b＝8
D．当点E运动到BC中点时，
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）因式分解：9a2﹣9＝ ．
12．（4分）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是 度．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
14．（4分）如图△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中、、圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接．若AB＝1，则曲线CDEF长是 （结果保留π）．
15．（4分）在扬州市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．
16．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4.5，S菱形ABCD＝36，则OH的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：．
19．（6分）化简：．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．
（1）在边BC上找一点D，使AC2+CD2＝BD2，请利用尺规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若AB＝5，AC＝3，求CD的长．
21．（10分）从华夏文明的发源地到丝绸之路的必经之地，这里承载着中华民族几千年的璀璨基因，这里是羲皇故里，这里有中国四大石窟之一的麦积山石窟．这里，就是甘肃天水．在不透明的袋子中装有4个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“最”、“美”、“天”、“水”，每次摸球前先摇匀．
（1）随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为 ；
（2）随机摸出一个小球后，不放回并摇匀，再随机摸出一个，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的概率．
22．（10分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，将圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为 37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为 84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米，求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（8分）2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会将在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理数据】两组数据各分数段如下表所示：
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共1000人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数．
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
24．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得求S△BCP＝2S△ABC．若存在，求出P点坐标，若不存在说明理由．
25．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AD＝10，csB＝，求FD的长．
26．（10分）在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外）连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α°，α＝∠ABC，得到PE，连接CE．
（1）（观察发现）如图1，当BA＝BC，且∠ABC＝60°时，BP与CE的数量关系是 ．
（2）（猜想证明）如图2，当BA＝BC，且∠ABC＝90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2、图3中的一种情况予以证明或说理）．
（3）（拓展探究）在（2）的条件下，若AB＝8，，请直接写出CE的长．
27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝8，B点横坐标为2，延长矩形OBDC的DC边交抛物线于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P是直线EO上方的抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线EO于点M，求PM的最大值；
（3）如图3，如果点F是抛物线对称轴l上一点，抛物线上是否存在点G，使得以F，G，A，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）“龙行龘龘，欣欣家国”，2024年是龙年，请问2024的相反数是（ ）
A．B．﹣2024C．2024D．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024．
故选：B．
2．（3分）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．卡西尼卵形线B．笛卡尔爱心曲线
C．费马螺线D．蝴蝶曲线
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）4＝a6B．（ab）3＝a3b6
C．a2•a3＝a5D．3a2+2a2＝5a4
【解答】解：∵（a2）4＝a8，
∴选项A不符合题意；
∵（ab）3＝a3b3，
∴选项B不符合题意；
∵a2•a3＝a5，
∴选项C符合题意；
∵3a2+2a2＝5a2，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
4．（3分）2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（ ）
A．2.9×106B．2.9×105C．2.9×104D．29×103
【解答】解：29000＝2.9×104．
故选：C．
5．（3分）若一次函数y＝（m﹣3）x+5的函数值，y随x的增大而增大，则（ ）
A．m＜0B．m＞0C．m＜3D．m＞3
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣3）x+5中，y随着x的增大而增大，
∴m﹣3＞0，
解得：m＞3．
故选：D．
6．（3分）方程的解为（ ）
A．x＝﹣3B．x＝3C．x＝﹣2D．x＝2
【解答】解：去分母得：2（x+1）＝3x，
去括号得：2x+2＝3x，
移项得：2x﹣3x＝﹣2，
合并同类项得：﹣x＝﹣2，
系数化为1得：x＝2，
检验，当x＝2时，x（x+1）＝2×3＝6≠0，
∴x＝2是原分式方程的解，
故选：D．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都是⊙O上的点，若∠CAB＝30°，则∠ADC的度数是（ ）
A．65°B．55°C．60°D．70°
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°．
故选：C．
8．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ）
A．3x﹣2＝2x+9B．3（x﹣2）＝2x+9
C．D．
【解答】解：由题意可得：3（x﹣2）＝2x+9，
故选：B．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：过E作EH⊥CF于H，
由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴EF＝CE，
∴∠FEH＝∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH＝90°，
在矩形ABCD中，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴，
∵AE＝＝10，
∴EH＝，
∴sin∠ECF＝sin∠ECH＝＝，
（方法二，可以证明∠AEB＝∠ECF，求出AE＝10，sin∠ECF＝sin∠AEB＝）
故选：D．
10．（3分）如图1，正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿折线AB﹣BC运动到点C停止，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E的运动路程为x cm，DF＝y cm，y与x对应关系的图象如图2．那么在运动过程中，下列结论不一定正确的是（ ）
A．DF＝AE
B．图2中a＝4
C．图2中b＝8
D．当点E运动到BC中点时，
【解答】解：当点E运动在AB上时，四边形AEFD为矩形，
∴DF＝AE，
当点E运动在BC上时，DF的长呈先变短再变长的变化，故DF不一定等于AE，故A不一定正确，符合题意；
当点E运动到点B处时，DF＝AB＝4，
∴a＝4，故B正确，不符合题意；
当点E运动到点C处时，点E运动路程为8，E、F、C三点重合，
∴DF＝DC＝4，
∴b＝8，故C正确，不符合题意；
当点E运动到BC中点时，如图，
BE＝CE＝2，此时△ABE∽△CEF，
∴CF：CE＝BE：AB，
∴CF＝1，
∴EF＝＝，故D正确，不符合题意．
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）因式分解：9a2﹣9＝ 9（a+1）（a﹣1） ．
【解答】解：原式＝9（a2﹣1）
＝9（a+1）（a﹣1）．
故答案为：9（a+1）（a﹣1）．
12．（4分）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是 76 度．
【解答】解：∵DC∥OB，
∴∠ADC＝∠AOB＝38°，
由光线的反射定理易得，∠ODE＝∠ADC＝38°，
∠DEB＝∠ODE+∠AOB＝38°+38°＝76°，
故答案为：76°．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＞﹣1 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0，
解得a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
14．（4分）如图△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中、、圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接．若AB＝1，则曲线CDEF长是 4π （结果保留π）．
【解答】解：弧CD的长是＝，
弧DE的长是：＝，
弧EF的长是：＝2π＝2π，
则曲线CDEF的长是：++2π＝4π，
故答案为：4π．
15．（4分）在扬州市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 10 米．
【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故答案为：10．
16．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4.5，S菱形ABCD＝36，则OH的长为 4 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝4.5，
∴OA＝OC，BD＝2OB＝9，
∵S菱形ABCD＝36，
∴，
∴AC＝8，
∵AH⊥BC，OA＝OC，
∴∠AHC＝90°，O为AC的中点；
在Rt△AHC中，O为AC的中点
∴．
故答案为：4．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝2+1﹣4×+2
＝2+1﹣2+2
＝3．
18．（6分）解不等式组：．
【解答】解：由3x≥x﹣4得：x≥﹣2，
由＞x﹣2得：x＜5，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜5．
19．（6分）化简：．
【解答】解：
＝
＝
＝x+1．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．
（1）在边BC上找一点D，使AC2+CD2＝BD2，请利用尺规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若AB＝5，AC＝3，求CD的长．
【解答】解：（1）如图所示，作AB的垂直平分线交BC于D，点D即为所求；
由线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，
∵∠C＝90°，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴AC2+CD2＝BD2；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴，
设CD＝x，则BD＝4﹣x，
∵AC2+CD2＝BD2，
∴32+x2＝（4﹣x）2，
解得，
∴CD的长为．
21．（10分）从华夏文明的发源地到丝绸之路的必经之地，这里承载着中华民族几千年的璀璨基因，这里是羲皇故里，这里有中国四大石窟之一的麦积山石窟．这里，就是甘肃天水．在不透明的袋子中装有4个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“最”、“美”、“天”、“水”，每次摸球前先摇匀．
（1）随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为 ；
（2）随机摸出一个小球后，不放回并摇匀，再随机摸出一个，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的概率．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸到“美”字的结果有1种，
∴随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的结果有：（天，水），（水，天），共2种，
∴两次摸到的球上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的概率为＝．
22．（10分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，将圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为 37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为 84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米，求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
设CD＝x米，
∵BD＝4米，
∴BC＝BD+CD＝（x+4）米，
在Rt△ACD中，∠ADC＝84°，
∴AC＝CD•tan84°≈x（米），
在Rt△ABC中，∠ABC＝37°，
∴AC＝BC•tan37°≈（x+4）米，
∴x＝（x+4），
解得：x＝，
∴AC＝x≈3.3（米），
∴表AC的长约为3.3米．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（8分）2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会将在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理数据】两组数据各分数段如下表所示：
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 2 ，b＝ 78.5 ，c＝ 80 ．
（2）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共1000人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数．
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
【解答】解：（1）将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在90≤x＜100范围内的数据有2个，
故a＝2．
中位数b＝＝78.5，
将八年级抽样成绩重新排列为：72，74，75，76，80，80，82，84，85，92，
其众数c＝80，
故答案为：2，78.5，80；
（2）由题意得：
＝340（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有340人；
（3）可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好，
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）．
24．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得求S△BCP＝2S△ABC．若存在，求出P点坐标，若不存在说明理由．
【解答】解：（1）∵A（2，3），B（﹣3，n）两点都在反比例函数图象上；
∴m＝2×3＝﹣3×n，
∴m＝6，n＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝，B（﹣3，﹣2），
∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点都在一次函数图象上，
，解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1；
（2）根据图像和所给条件，不等式kx+b＞的解集为：x＞2或﹣3＜x＜0；
（3）在一次函数y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1，设直线与x轴交于点D，则D（﹣1，0），
∴CD＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝＝5，
∵S△BCP＝2S△ABC．
∴S△BCP＝10，
设点P坐标为（m，m+1），
∴S△BCP＝丨m+3丨＝10，
∴m+3＝10或m+3＝﹣10，
∴m＝7，或m＝﹣13，
∴P（7，8）或（﹣13，﹣12）．
25．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AD＝10，csB＝，求FD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B＝∠ADC，csB＝，
∴cs∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cs∠ADC＝＝，AD＝10，
∴CD＝AD•cs∠ADC＝10×＝6，
∴AC＝＝8，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，
又∵FC2＝FD•FA，
即（4x）2＝3x（3x+10），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．
26．（10分）在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外）连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α°，α＝∠ABC，得到PE，连接CE．
（1）（观察发现）如图1，当BA＝BC，且∠ABC＝60°时，BP与CE的数量关系是 BP＝CE ．
（2）（猜想证明）如图2，当BA＝BC，且∠ABC＝90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2、图3中的一种情况予以证明或说理）．
（3）（拓展探究）在（2）的条件下，若AB＝8，，请直接写出CE的长．
【解答】解：（1）如图1：连接AE，
∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BD⊥AC，
∴，
∵PA＝PE，∠APE＝∠ABC＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°
∴∠BAC＝∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE，
在△BAP和△CAE中，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，
故答案为：BP＝CE．
（2）不成立，结论是；理由如下：
连接AE，如图2，
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，α＝∠ABC，
由旋转的性质得，∠APE＝α＝∠ABC＝90°
∴△ABC、△APE都是等腰直角三角形，
∴，，
∠BAC＝∠ACB＝∠PAE＝45°，
∴∠BAP＝∠CAE，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴，
∵，
∴△CAE∽△BAP
∴
∴，
∴BP＝CE不成立，结论是，
（3）当点P在线段BD上时，如图3.1中，
∵AB＝CB＝8，∠ABC＝90°，
∴，
∵BD⊥AC，
∴，
∵，
∴
＝，
∵，
∴，
∴；
如图3.2所示，当P在BD延长线上时，连接AE，
∵AB＝CB＝8，∠ABC＝90°，∠APE＝90°，PA＝PE，
∴∠BAC＝45°，∠PAE＝45°
∴∠BAD+∠PAD＝∠PAE+∠PAD，即∠BAP＝∠CAE，
同（2）可得，
∴△BAP∽△CAE，
，
∴，
同理可求得：，，
∴，
∴CE＝BP＝14，
综上所述：CE＝2或14．
27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝8，B点横坐标为2，延长矩形OBDC的DC边交抛物线于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P是直线EO上方的抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线EO于点M，求PM的最大值；
（3）如图3，如果点F是抛物线对称轴l上一点，抛物线上是否存在点G，使得以F，G，A，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，
B（2，0），A（﹣6，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式是：y＝﹣；
（2）∵抛物线对称轴是直线：x＝﹣2，C（0，4），
∴E（﹣4，4），
∴直线EO的解析式是：y＝﹣x，
设点P（m，﹣），M（m，﹣m），
∴PM＝（﹣﹣﹣（﹣m）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，PM最大值是；
（3）当以F，G，A，C为顶点的平行四边形是▱ACGF时，
∵点A（﹣6，0），C（0，4），F（﹣2，n），
∴点G的横坐标是：x＝4，
∴当x＝4时，y＝﹣﹣+4＝﹣，
∴G（4，﹣），
当以F，G，A，C为顶点的平行四边形▱ACFG时，
可得G点横坐标是x＝﹣8，
当x＝﹣8时，y＝﹣×（﹣8）2﹣+4＝﹣，
∴G（﹣8，﹣），
当以F，G，A，C为顶点的平行四边形▱AGCF时，
G点横坐标是：﹣6﹣（﹣2）＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）2﹣+4＝4，
∴G（﹣4，4），
综上所述点G（4，﹣）或（﹣8，﹣）或（﹣4，4）．成绩
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
七年级
1
5
2
a
八年级
0
4
5
1
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
b
72
66.6
八年级
80
80
c
33
最
美
天
水
最
（最，美）
（最，天）
（最，水）
美
（美，最）
（美，天）
（美，水）
天
（天，最）
（天，美）
（天，水）
水
（水，最）
（水，美）
（水，天）
成绩
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
七年级
1
5
2
a
八年级
0
4
5
1
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
b
72
66.6
八年级
80
80
c
33
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