2024年中考真题—四川省遂宁市数学试题（解析版）

这是一份2024年中考真题—四川省遂宁市数学试题（解析版），共27页。

试卷满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念，根据无限不循环小数为无理数即可求解，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：1、开方开不尽的数， 2、无限不循环小数，3、含有的数．
【详解】解： ，，0都是有理数，是无理数，
故选：C．
2. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键．
【详解】解：由实物图可知，从从正面看到的图形是，
故选：．
3. 中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达．将销售数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：万，
故选：．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方运算、平方差公式分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
故选：．
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为，
故选：．
6. 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：设这个正多边形的边数为，
则，
∴，
∴这个正多边形的每个外角为，
故选：．
7. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范围为且，
故选：．
8. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：过点作于，则，，
∵圆直径为米，
∴，
∴在中，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴淤泥横截面的面积，
故选：．
9. 如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，，
在中，，
中，，
在中，
综上所述，共有4对“伪全等三角形”，
故选：D．
10. 如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确．
【详解】解：由图可知，
∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，，
则，
∵抛物线与轴的交点在，之间，
∴，
则，故①错误；
设抛物线与轴另一个交点，
∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，解得，
则，故②错误；
∵，，，
∴，解得，故③正确；
根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为满足，故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答．
【详解】解：
故答案为：
12. 反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限．
【答案】四##
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴
∴
∴点在第四象限，
故答案为：四．
13. 体育老师要在甲和乙两人中选择人参加篮球投篮大赛，下表是两人次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选______参加比赛．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题考查了方差，分别求出甲乙的方差即可判断求解，掌握方差计算公式是解题的关键．
【详解】解：甲的平均数为，
∴，
乙的平均数为，
∴，
∵，
∴甲成绩更稳定，
∴应选甲参加比赛，
故答案为：甲．
14. 在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则
如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
直接写出，当时，______．
【答案】##0.73
【解析】
【分析】本题主要考查数字规律性问题，首先根据已知求得比例为n时，，代入即可．
【详解】解：根据题意可得，当时，，
则当时，，
故答案为：．
15. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是______．（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而根据余弦的定义，即可判断④，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵为的中点，
∴
设正方形的边长为，
则
∵折叠，
∴，
∴
∴是等腰三角形，故①正确；
设，
∴
∴
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，即是的中点，故②正确；
∵，
∴
在中，，
∵
∴
设，则，
∴
∴
∴，，
∴，故③正确；
连接，如图所示，
∵，，
又
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
∴，故④不正确
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键．
【详解】解：
．
17. 先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将字母的值代入求解．
【详解】解：
∵
∴当时，原式
18. 康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作

①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；
③顺次连结所得的四点得到四边形．
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形平行四边形，．求证：四边形是矩形．

【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；
（2）先证明，再证明，可得，从而可得结论．
【小问1详解】
解：由作图可得：，，
∴四边形是平行四边形，
该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形与矩形的判定方法是关键．
19. 小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（）
【答案】此时台灯最高点到桌面的距离为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在图1中，，在图2中求得，进而根据灯柱高，点到桌面的距离为，即可求解．
【详解】解：由已知，，
在图1中，
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
在中，
在图2中，过点作于点，
∴
∵灯柱高，
点到桌面的距离为
答：此时台灯最高点到桌面的距离为．
20. 某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元．
（1）求两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？
【答案】（1）种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；
（2）当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．
【解析】
【分析】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解；
（）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，
由题意可得，，
解得，
答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；
【小问2详解】
解：设种客房每间定价为元，
则，
∵，
∴当时，取最大值，元，
答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．
21. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）或．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．
【小问1详解】
证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
22. 遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
【答案】（1），，；（2）见解析；（3）；（4）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，列表法求概率；
（1）根据组的人数除以占比，即可得出总人数，进而求得组的人数，得出的值，根据的占比乘以，即可得出对应圆心角的度数；
（2）根据组的人数补全统条形计图，
（3）用乘以组的占比，即可求解．
（4）用列表法求概率，即可求解．
【详解】解：（1）本次被抽样调查的学生总人数为，
组的人数为：，
∴，
∴
B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是
故答案为：，，．
（2）根据（1）可得组人数为人，补全统计图，如图所示，
（3）解：
答：请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数为人；
（4）列表如下，
共有种等可能结果，其中他们选择同一景点的情形有种，
∴他们选择同一景点的概率为
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出时，的取值范围；
（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
（）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解；
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数表达式为，
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数表达式为；
小问2详解】
解：由图象可得，当时，的取值范围为或；
【小问3详解】
解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则，
∴，
∵点关于原点对称，
∴，
∴，，
∴
，
即的面积为．
24. 如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．
（1）求证：；
（2）延长至点，使，连接．
①求证：是的切线；
②若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析，②的半径为．
【解析】
【分析】（1）如图，连接，证明，可得，证明，可得，进一步可得结论；
（2）①证明，可得是的垂直平分线，可得，，，而，可得，进一步可得结论；②证明，可得，求解，，结合，可得答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：①∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，，
而，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴是的切线；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弧与圆心角之间的关系，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
25. 二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；
（3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，最小值为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）可求，设，由，得，则
，解得，（舍去），故；
（3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可．
【小问1详解】
解：把，代入得，
，解得，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：如图：
由得抛物线对称轴为直线，
∵两点关于抛物线对轴对称，
∴，
设，
∵，
∴，
∴
，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴；
【小问3详解】
存在，理由：
当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，
设点，则点，设直线交轴于点，
设直线表达式为：，
代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
令，得
则，
则，
则
，
即存在最小值为；
当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，
同上可求直线表达式为：，
令，得
则，
则，
则
即存在最小值为；
当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求，
即存在最小值为，
综上所述，的面积是否存在最小值，且为．甲
乙
xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式
抽样调查
调查对象
xx学校学生
数据的整理与描述
景点
A：中国死海
B：龙凤古镇
C：灵泉风景区
D：金华山
E：未出游
F：其他
数据分析及运用
（1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______，“：龙凤古镇”对应圆心角的度数是______；
（2）请补全条形统计图；
（3）该学校总人数为人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；
（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．