长春市第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份长春市第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则集合( )
A.B.C.D.
2．已知，则( )
A.B.
C.D.
3．函数的图象在点处的切线斜率为( )
A.1B.2C.－1D.
4．一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比( )
A.B.C.D.
5．设函数，则f(x)( )
A.是偶函数，且在单调递增B.是奇函数，且在单调递减
C.是偶函数，且在单调递增D.是奇函数，且在单调递减
6．若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足，，.则下列结论正确的是( )
A.B.
C.的最大值为D.的最大值为
二、多项选择题
9．设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知定义在的函数满足：当时，恒有，则( )
A.
B.函数在区间为增函数
C.函数在区间为增函数
D.
11．已知，函数，则( )
A.的图像关于y轴对称B.恰有2个极值点
C.在上单调递增D.最小值小于
三、填空题
12．已知，，且，则的最小值为_________.
13．已知是数列的前n项和，，，若存在，使得，则__________.
14．，记为不大于x的最大整数，，若，则关于x的不等式的解集为________.
四、解答题
15．若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数a、b、c依次成调和数列，则称b是a和c的调和中项.
（1）求和4的调和中项；
（2）已知调和数列，，，求数列的前n项和.
16．某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
17．已知等比数列的公比，记其前n项和为，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设数列，求的前n项和.
18．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
19．已知函数，，.
（1）若的最小值为0，求a的值；
（2）当时，证明：方程在上有解.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意，，，所以.
故选：D.
2．答案：D
解析：对于A，因为，所以，即，故错误；
对于B，取，则，故错误；
对于C，由，得，所以，故错误；
对于D，由，得，所以，故正确.
故选：D.
3．答案：D
解析：因为，所以.
故选：D
4．答案：A
解析：由题意得：，
所以，即，
解得或（舍去），
故选：A
5．答案：D
解析：由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D
6．答案：D
解析：依题意，，解不等式，得，
由不等式成立的充分条件是，得，
于，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
7．答案：D
解析：函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以a的取值范围是.
故选：D
8．答案：D
解析：，故，故A错误.
因为，或，
而，且，结合可得，
故，故B错误.
因为，，故，故的无最大值，故C错误.
因为，，，，故，
故，，故最大值，故D正确.
故选：D.
9．答案：ABC
解析：对选项A，若图中的直线为的图象，曲线为的图象，
因为的图象先负后正，的图象先减后增，故A可能正确.
对选项B，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为的图象在处先负后正，的图象在处先减后增，
故B可能正确.
对选项C，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为恒成立，的图象为增函数，故C可能正确.
对选项D，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为的图象先负后正，的图象为增函数，不符合，
若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为恒成立，的图象为增函数，不符合，故D错误.
故选：ABC
10．答案：ABD
解析：依题意，当时，恒有，
令，，则，，，
所以A选项正确.
不妨设，
设，，
由于，所以，
所以，，
所以在为增函数，所以B选项正确.
设，的符号无法判断，
所以的单调性无法判断，所以C选项错误.
由上述分析可知，函数在为增函数，
所以，
所以，，
同理，
所以，，
所以
，所以D选项正确.
故选：ABD
11．答案：BCD
解析：对于A中，由，可得其定义域为R，且，
所以函数为奇函数，所以A不正确；
对于B中，由，令，
则，
当时，可得，所以，单调递减；
当时，可得，所以，单调递增，
由且，
可得，所以在和上各有一个零点，
设两个零点分别为，，不妨设
当时，，可得，单调递减；
当时，，可得，单调递增；
当时，，可得，单调递减，
所以，时函数的2个极值点，且只有2个极值点，所以B正确；
对于C中，由B知，在单调递增，在单调递减，
又由，且，
则当时，，即，所以函数单调递增，所以C正确；
对于D中，由，所以D正确.
故选：BCD.
12．答案：4
解析：，，，，
，当且仅当=4时取等号，
结合，解得，或，时，等号成立.
故答案为：4
13．答案：11
解析：，，逐个计算
，，，，，，
，，，，，，
故答案为：11
14．答案：
解析：由题意当时，，，
原不等式变为了，解得，即此时满足题意的x的范围为，
当时，，，
原不等式变为了，解得，即此时满足题意的x的范围为；
综上所述：关于x的不等式的解集为.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）设和4的调和中项为b，依题意得：
（2）依题意，设公差为d，
所以，
所以，
所以，
所以.
16．答案：（1）；
（2）公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片
解析：（1）根据题意得，
当时，，
当时，，
故
（2）当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减，
此时.
当时，，当且仅当时，等号成立.
因为，故当时，取得最大值24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，，成等差数列，所以，
得，即，解得，
所以.
（2），
故①，
②，
①-②得，
故.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）设，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
因此，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得，
由①②得，
所以
，
即.
19．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）由已知得，则.
令，解得
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，所以.
（2）要证在上有解，即证在上有解，
即证在上有解.
令，则.
设，则.
当时，；当时，.
所以即在上单调递增，在上单调递减.
又因为，，
，
所以由零点存在性定理知，，使，即，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
因为，所以，即，且时，
，所以当时，直线与函数图像在上有交点，即在上有解.