咸阳市实验中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份咸阳市实验中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部复数”,若为“等部复数”,则实数a的值为( )
A.-1B.0C.3D.-3
2．已知向量,,若向量在向量上的投影向量为,则( )
A.2B.C.-2D.
3．已知,则的值为( )
A.iB.C.D.
4．已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中,,,,则原四边形的面积为( )
A.B.C.D.
5．如果球、正方体与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等,设它们的表面积依次为,,,那么,,的大小关系为( )
A.B.C.D.
6．已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则B.若,,,则
C.若,,,则D.若,,,则
7．在正四棱台中,,且三棱锥的体积为12,则该正四棱台的体积为( )
A.B.36C.108D.
8．已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c下列说法正确的是( )
A.若,则是等腰三角形
B.若,,则是直角三角形
C.若,则是直角三角形
D.“”是“是等边三角形”的充分不必要条件
二、多项选择题
9．欧拉公式(其中为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式建立了三角函数与指数函数的关系,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式,下列结论中正确的是( )
A.的实部为0
B.在复平面内对应的点位于第二象限
C.
D.的共轭复数为1
10．在正方体中,M,N分别为,的中点,P为线段上的动点,则平面PMN截正方体形成的截面图形可能为( )
A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形
11．如图,在直三棱柱中,D,G,E分别为所在棱的中点,,三棱柱挖去两个三棱锥,,后所得的几何体记为,则( )
A.EG与为异面直线B.有13条棱
C.有7个顶点D.平面平面EFG
三、填空题
12．已知复数,其中a,且,则的最小值是____________.
13．设M,N是圆O上两点,若,则____________.
14．已知直三棱柱外接球直径为5,且,,则该棱柱体积的最大值为____________.
四、解答题
15．已知z是复数,和均为实数,,其中i是虚数单位.
（1）求复数z的共轭复数;
（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.
16．如图,在正四棱台中,E,F,G,H分别为棱,,,的中点.证明：
（1）E,F,G,H四点共面;
（2）多面体是三棱台.
17．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c已知.
（1）求角A的大小;
（2）若,,求的面积;
（3）若,,D为BC的中点,求AD的长.
18．如图,在四棱锥中,E是线段PD上的点,且,,,,．
（1）求证：平面PAB;
（2）若M是线段CE上一动点,则线段AD上是否存在点N,使平面PAB？若存在,求出MN的最小值;若不存在,说明理由．
19．设平面内两个非零向量,的夹角为,定义一种运算“”.试求解下列问题:
（1）若向量,,求的值;
（2）试探求的值与平面向量,的坐标的关系;
（3）设点,,,求的面积.
参考答案
1．答案：D
解析：因,依题意得,.
故选：D.
2．答案：C
解析：因向量在向量上的投影向量为,
依题意,,即,解得,
则,于是.
故选：C.
3．答案：B
解析：由,,,,,
故,是一个周期数列,最小正周期为4,
且,
则
.
故选：B.
4．答案：B
解析：根据直观图知,
又因为,
所以,
故选：B.
5．答案：B
解析：设球的半径为R,正方体的棱长为a,等边圆柱的底面半径为r,且它们的体积都为V,
则,
解得,,
所以,
,
,
所以,
故选：B.
6．答案：D
解析：对于A,若,,则或,故A错误;
对于B,若,,,则或m与n相交或m与n异面,故B错误;
对于C,若,,,则或与相交,故C错误;
对于D,若,则存在直线（a不与m重合）,使得,又,则或a与m相交,
若,则,此时可以满足,只需即可,所以,
若与相交,则a与也相交,又,所以n与也相交,与相矛盾,
所以,则,故D正确;
故选：D.
7．答案：D
解析：设正四棱台的高为,则,,
,又,,
正四棱台体积
.
故选：D.
8．答案：C
解析：对于A项,由和正弦定理,,
即,故得或,
即或,即是等腰三角形或直角三角形,故A项错误;
对于B项,因,由余弦定理,,
代入化简得,,即得,故是等边三角形,故B项错误;
对于C项,由和正弦定理,,化简得,(*),
因,则,代入(*),得,
因,,则,故,即C项正确;
对于D项,若是等边三角形,则,即必成立,
故“”是“是等边三角形”的必要条件,故D项错误.
故选：C.
9．答案：BC
解析：对于A,,所以的实部为-1,故A错误;
对于B,,在复平面内对应的点为,为第二象限点,故B正确;
对于C,,故C正确;
对于D,,其共轭复数为,故D错误,
故选：BC.
10．答案：BCD
解析：在正方体中,由M,N分别为,的中点,
得截面与正方体的3个面,,必有交线,而点P在线段上,
截面与正方形或正方形有交线,即截面至少与正方体4个面有交线,
因此截面不可能是三角形,即A不可能;
取P与重合,此时截面为四边形,如图,B可能;
当截面与棱的交点Q在线段（不含点D）上时,截面与正方体
除正方形外的另5个正方形都有交线,此时截面是五边形,如图,C可能;
当点P为棱的中点时,截面为六边形,如图,D可能.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：对于A项,因平面,平面且,平面,故EG与为异面直线,故A项正确;
对于B项,组成几何体的棱有,,;,,,,,;,,,共13条棱,故B项正确;
对于C项,几何体的顶点有,D,,E,G,C,B,F共8个,故C项错误;
对于D项,如图,取中点H,连接,,,
因,则F是的中点,
又D,G,E分别为所在棱的中点,故得,,
因,,则得,故,
则,又平面,而平面,故平面;
易证,且,故得,则,
故,又平面,而平面,故平面;
又,故得平面平面,故D项正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：因,,
因,则,,
故当时,取得最小值2,此时的最小值为.
故答案为：.
13．答案：8
解析：如图,过点O作于点C,则,
于是.
故答案为：8.
14．答案：
解析：如图,将直三棱柱补成长方体,
则长方体的外接球即直三棱柱的外接球,
且长方体的体对角线长为直三棱柱的外接球的直径5,
设,,则,
所以由,得,即,
所以三棱柱的体积,
当且仅当时,等号成立,
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,则,
为实数,,解得,
为实数,
,解得,
,
;
（2）由（1）可知,,
复数在复平面内对应的点在第一象限,
,解得,
故实数m的取值范围为.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析.
解析：（1）连接,如图所示,
在正四棱台中,,
E,F,G,H分别为棱,,,的中点,
,,
E,F,G,H四点共面.
（2）,,且,
四边形EFHG为梯形,
延长GE、HF,则GE与HF必相交,不妨设,
平面,平面,
平面,平面,
又平面平面,,
,,交于一点.
又平面平面,
多面体是三棱台.
17．答案：（1）;
（2）;
（3）
解析：（1）,
,
即.
由正弦定理得,由余弦定理得,
,;
（2）,
由余弦定理得,
,;
（3）在中,由余弦定理得,
即,又,得,
为BC的中点,,
两边平方得,
,
即中线AD的长度为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）存在,1
解析：（1）证明：如图1,在PA上取点F使,连接EF,BF．
,
且,
又,且,
,,
四边形BCEF为平行四边形,
,
而平面PAB,平面PAB,则平面PAB．
（2）线段AD上存在点N且,使得平面PAB．
理由如下：
如图2,在AD上取点N使,连接CN,EN．
,,
．
平面PAB,平面PAB,
平面PAB．
由（1）知平面PAB,又,
平面平面PAB,又M是CE上的动点,平面CEN,
平面PAB,
线段AD上存在点N,使得平面PAB．
,,
．
在中, ,,由余弦定理知CN=2．
中, ,,
由余弦定理知,
MN的最小值为,
线段AD上存在点N,使平面PAB,且MN的最小值为1．
19．答案：（1）2;
（2）;
（3）
解析：（1）由已知,得,
由,可得,
又,,
（2）设,,则,,
,
,
又,,
.
（3）,,,
,,
由（2）知.
.