八年级第一学期期末数学试卷 (26)

这是一份八年级第一学期期末数学试卷 (26)，共28页。试卷主要包含了 下列各式，没有意义的是， 下列运算中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式，没有意义的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A 1，1，B. 3，4，5C. 2，3，4D. 5，7，9
5. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
7. 2022年扬帆中学招聘专任教师，对笔试和面试分别赋权4，6．李明笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么他的最后成绩是( )
A. 80分B. 84分C. 86分D. 90分
8. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度，使其与直线交点位于第二象限，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
11. 直线经过二、三、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，的两直角边分别为1，2，以的斜边为一直角边，另一直角边为1画第二个，再以的斜边为一直角边，另一直角边长为1画第三个；……，以此类推，第个直角三角形的斜边长是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13. 化简：_________．
14. 在中，若，则________°．
15. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移1个单位后，所得直线的解析式为 __________．
16. 如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C均在格点上，点D为的中点，则线段的长为______．

17. 某学校航模组设计制作的火箭升空高度与飞行时间满足函数关系式为，当火箭升空到最高点时，距离地面_________m．
18. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别在上．若，，则的长为_______．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19. 计算：
20. 解方程：．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．

（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出，并写出点的坐标；
（2）将绕着点O按逆时针方向旋转得到，画出，并写出点坐标；
（3）求出（2）中点A旋转到点所经过的路径长．
22. 某电动车品牌新推出的甲、乙两款车型颇受民众喜爱，于是某店从甲车型和乙车型车主中各随机抽取20名车主对其所使用车型的各项性能进行评分（满分30分，成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
甲车型20名车主评分为：11，15，16，19，19，20，21，21，23，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30；
乙车型车主评分在C组中的数据是：20，23，24，24，22，24．
甲车型和乙车型得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ______，
______，
______；
（2）根据以上数据，你认为哪款车型的性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该
店所有顾客中甲车型和乙车型的车主共有24000人，估计这些车主中对所使用的车型非常满意
的人数是多少？
23. 如图．在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交BC，AD边于点E、F，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AD＝4，AB＝3．求EF的长．
24. 在某次体育文化艺术节中，学校学生会开展“爱心义卖”体验活动，准备A种笔记本和B种笔记本共100本．若售出3本A种笔记本和2本B种笔记本收入65元，售出4本A种笔记本和3个B种笔记本收入90元．
（1）求A种笔记本和B种笔记本的价格；
（2）已知A种笔记本数量不超过B种笔记本的3倍，则准备A种笔记本和B种笔记本各多少本的时候总收入最多？求总收入的最大值？
25. 千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
（1）在图2中，通过描点的方法画出一次函数的图象，并求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式；
（2）当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少？
26. （1）证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．求证：；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，求的长．
八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 下列各式，没有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数进行判断即可．
【详解】解：、有意义，本选项不符合题意；
、有意义，本选项不符合题意；
、有意义，本选项不符合题意；
、没有意义，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类二次根式法则，二次根式性质，逐一判断即可．
【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，此运算错误，故此选项不符合题意；
B．是有理数，是无理数，不能合并，此运算错误，故此选项不符合题意；
C．，此运算正确，故此选项符合题意；
D．，此运算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算和二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
4. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A. 1，1，B. 3，4，5C. 2，3，4D. 5，7，9
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差作出决策即可．
【详解】∵平均成绩都是9环，甲方差最小，
∴甲最稳定，
故选A．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD＝4，再根据三角形中位线定理可得EF＝BO＝2．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD，
∴BO＝DO＝BD＝4，
∵点E、F是AB，AO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴EF＝BO＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，难度不大，关键熟练掌握知识点，并灵活运用．
7. 2022年扬帆中学招聘专任教师，对笔试和面试分别赋权4，6．李明的笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么他的最后成绩是( )
A. 80分B. 84分C. 86分D. 90分
【答案】B
【解析】
【分析】根据加权平均数的求法即可得出结果．
【详解】解：李明的最后成绩为：分；
故选B．
【点睛】本题考查加权平均数的求法，掌握加权平均数运算法则是解题的关键．
8. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一进行判断即可．
【详解】A、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
C、根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理，是解题的关键．
9. 如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中点得，然后从点向左平移即可；
【详解】解：点A是的中点，
，
点C所表示的数为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数与数轴的关系、线段的中点性质等知识点，中点性质的运用是解题关键．
10. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度，使其与直线的交点位于第二象限，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将直线图象向上平移个单位可得：，求出直线与直线的交点，再由此点在第二象限可得出的取值范围．
【详解】解：将直线向上平移个单位长度，可得：，
联立两直线解析式得，
解得，
即交点坐标为，
交点在第二象限，
，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0是解题的关键．
11. 直线经过二、三、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意知，，有，可知直线经过一、二、四象限，进而可得到答案．
【详解】解：由题意知，
∴
∴直线经过一、二、四象限
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．解题的关键在于明确的正负对函数图象的影响．
12. 如图，的两直角边分别为1，2，以的斜边为一直角边，另一直角边为1画第二个，再以的斜边为一直角边，另一直角边长为1画第三个；……，以此类推，第个直角三角形的斜边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在直角三角形中，利用勾股定理求出各自的斜边，归纳总结得到第个直角三角形的斜边上即可．
【详解】】解：在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，，
根据勾股定理得：，
依此类推，第个直角三角形的斜边长为．
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13. 化简：_________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据算术平平方根性质计算即可．
【详解】解：．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，牢记性质是解题关键．
14. 在中，若，则________°．
【答案】130
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，再利用平行四边形邻角互补得出，即可求得答案．
【详解】四边形是平行四边形，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补是解题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移1个单位后，所得直线的解析式为 __________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据一次函数的平移可进行求解．
【详解】解：直线沿轴向上平移1个单位后，所得直线的解析式 ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数的平移，熟练掌握函数图象平移的方法“左加右减，上加下减”是解题的关键．
16. 如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C均在格点上，点D为的中点，则线段的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理证明，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17. 某学校航模组设计制作的火箭升空高度与飞行时间满足函数关系式为，当火箭升空到最高点时，距离地面_________m．
【答案】52
【解析】
【分析】直接利用配方法将写成顶点式，进而求出即可．
【详解】由题意可得：，
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，取得最大值，当火箭升空到最高点时，距离地面．
故答案为：52．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法及二次函数的性质，是解题的关键．
18. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别在上．若，，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】延长到点G，使得，连接，证明，可得，再证明，可得，在中， 由勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理可得，然后在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长到点G，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴由勾股定理得：，
∴，
设，则，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先化简乘方，绝对值，算术平方根，然后去括号，最后算加减．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根的概念和绝对值的意义是解题关键．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．

（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出，并写出点的坐标；
（2）将绕着点O按逆时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标；
（3）求出（2）中点A旋转到点所经过的路径长．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角形在平面直角坐标系点的平移变化，记住对应点一定作相同的变化即可；
（2）根据旋转性质，绕点逆时针旋转，结合图形，对应点易求解；
（3）求点旋转到点所经过的路径长，转化为求弧长即可．
【小问1详解】
如图，

∵点的对应点，
∴横坐标，纵坐标，
∴点即，
【小问2详解】
如图，旋转点的坐标为，
【小问3详解】
如图，点旋转到点 所经过的路径是弧长，
由旋转性质可知，，，
∴点旋转到点所经过的弧长为．
【点睛】本题考查了旋转变换和平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，弧长公式的应用．
22. 某电动车品牌新推出的甲、乙两款车型颇受民众喜爱，于是某店从甲车型和乙车型车主中各随机抽取20名车主对其所使用车型的各项性能进行评分（满分30分，成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
甲车型20名车主评分为：11，15，16，19，19，20，21，21，23，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30；
乙车型车主评分在C组中的数据是：20，23，24，24，22，24．
甲车型和乙车型得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ______，
______，
______；
（2）根据以上数据，你认为哪款车型的性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该
店所有顾客中甲车型和乙车型的车主共有24000人，估计这些车主中对所使用的车型非常满意
的人数是多少？
【答案】（1）40；24；28
（2）甲车型的性能更好，理由见解析
（3）估计这些车主中对所使用的车型非常满意的人数是11400人
【解析】
【分析】（1）先求出乙车型C组所占百分比，然后求出a的值即可；先求出乙车型A、B组数据的个数，然后根据中位线的定义得出b的值即可；根据众数的定义求出c的值即可；
（2）根据平均数、中位数、众数和方差进行解答即可；
（3）用样本所占百分比估计总体即可．
【小问1详解】
解：∵乙车型C组所占百分比为，
∴，
∵A、B组数据的个数为，
∴排在第10和第11位的两个数都是24，
∴中位数为，即，
根据甲车型的评分可知众数为；
故答案为：40；24；28．
【小问2详解】
解：甲车型的性能更好，理由如下：
甲车型和乙车型的平均数相等，但甲车型的方差比乙车型的小，所以甲车型的性能更好；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计这些车主中对所使用的车型非常满意的人数是11400人．
【点睛】本题考查平均数，中位数，方差的意义，解题的关键是熟练掌握平均数是表示一组数据的平均程度，中位数是将（或从大到小）重新排列一组数据从小到大（或最中间两个数的平均后，最中间的那个数数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
23. 如图．在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交BC，AD边于点E、F，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AD＝4，AB＝3．求EF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明△AOF≌△COE，可得AF=CE，从而得到四边形AECF是平行四边形，即可求证；
（2）根据菱形的性质可得AE=CE，AC⊥EF，EF=2OE，再根据矩形的性质可得，然后设BE=x，则AE=CE=4-x，在中，根据勾股定理可得，从而得到，可求出OE，即可求解．
【小问1详解】
证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AFE=∠CEF，AF∥CE，
∵点O是对角线AC的中点，
∴OA=OC，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE=CE，AC⊥EF，EF=2OE，
在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=AD=4，AB=3，
∴，
∴，
设BE=x，则AE=CE=4-x，
在中，，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理，矩形的性质定理，勾股定理是解题的关键．
24. 在某次体育文化艺术节中，学校学生会开展“爱心义卖”体验活动，准备A种笔记本和B种笔记本共100本．若售出3本A种笔记本和2本B种笔记本收入65元，售出4本A种笔记本和3个B种笔记本收入90元．
（1）求A种笔记本和B种笔记本的价格；
（2）已知A种笔记本数量不超过B种笔记本的3倍，则准备A种笔记本和B种笔记本各多少本的时候总收入最多？求总收入的最大值？
【答案】（1）A种笔记本的价格是15元，B种笔记本的价格是10元；
（2）准备75本A种笔记本，25本B种笔记本时，总收入最多，总收入的最大值为1375元.
【解析】
【分析】（1）设A种笔记本的价格是元，B种笔记本的价格是元，根据题意列二元一次方程组求出x，y即可.
（2）设准备本A种笔记本，则准备本B种笔记本，根据题意列出关于m的不等式，求出m的范围.设准备的A种笔记本和B种笔记本全部售出后获得的总收入为元，根据题意列出w与m的函数关系式，根据函数的增减性求出w的最大值即可.
【小问1详解】
设A种笔记本的价格是元，B种笔记本的价格是元 ，
根据题意得 ，
解得 .
答：A种笔记本的价格是15元，B种笔记本的价格是10元 .
【小问2详解】
设准备本A种笔记本，则准备本B种笔记本，
根据题意得 ，
解得 .
设准备的A种笔记本和B种笔记本全部售出后获得的总收入为元，
则 ，
即 ，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，
最大值 ，
此时.
答：准备75本A种笔记本，25本B种笔记本时，总收入最多，总收入的最大值为1375元 .
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，以及根据一次函数的增减性解决实际问题.熟练掌握以上知识是解题的关键.
25. 千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
（1）在图2中，通过描点的方法画出一次函数的图象，并求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式；
（2）当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少？
【答案】（1）图象见解析；
（2）20厘米
【解析】
【分析】（1）先利用描点法画出图象，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）把代入（1）中解析式求值即可．
【小问1详解】
一次函数的图象，如图所示，
设y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为，
把，代入，得
，
解得：，
∴求y（斤）与x（厘米）之间函数表达式为；
【小问2详解】
当时，，
解得：
∴当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是20厘米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26. （1）证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．求证：；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，求的长．
【答案】（1）证明见详解；（2），理由见详解；（3）．
【解析】
【分析】（1）先证△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．再证四边形DQFG是平行四边形，即可解决问题．
（2）过G作GM⊥AB于M．证明，即可解决问题．
（3）过P作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM，即可解决问题．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，
∴∠QAO+∠OAD＝90°，
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠QAO＝∠ADO，
∴，
∴AE＝DQ，
∵DQ⊥AE，GF⊥AE，
∴DQ∥GF，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴GF＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴AE＝FG；
（2）结论：．理由如下：
如图2中，过G作GM⊥AB于M，
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴，
∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴，
（3）解：如图3中，过点P作PM⊥BC交BC的延长线于M．
∵，，
∴∠CGP＝∠BFE，
∴，
∴设，，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∴或（不合题意，舍去），
∴，，，，
∵，
∴BC＝4，
∴，，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴，
∴，
∴，
∴解之得：，，
∴，
∴．
平均数
中位数
众数
方差
甲车型
25
c
乙车型
b
28
x（厘米）
1
2
4
8
10
12
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.50
3.00
3.50
平均数
中位数
众数
方差
甲车型
25
c
乙车型
b
28
x（厘米）
1
2
4
8
10
12
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.50
3.00
3.50