北师大版六年级数学上册第二单元：单位“1”转化问题“拓展型”专项练习(原卷版+解析)

这是一份北师大版六年级数学上册第二单元：单位“1”转化问题“拓展型”专项练习(原卷版+解析)，共23页。


2．在某大坝截流时，用载重卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的少2万方，第二次运了剩下的多3万方，此时还剩下12万方未运，则这堆石料共有多少万方？
3．某厂第一车间的人数比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调10人到第一车间，这时第一车间的人数是第二车间人数的。原来两个车间各有多少人？
4．风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的发给一等奖的同学，剩下的发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下15份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？
5．果园里有苹果树和梨树一共800棵，其中苹果树占总棵数的。后来又栽种了一些梨树后，这时苹果树占总棵数的。后来又栽种了多少棵梨树？
6．有两箱苹果，乙箱是甲箱的，从甲箱取出3千克苹果放入乙箱后，乙箱的苹果是甲箱的。甲、乙两箱苹果共重多少千克？
7．甲、乙共同运送一批货物，甲计划运送这批货物的，当他完成计划后，又帮乙运送了12吨，这时甲运送货物的吨数是乙的。乙计划运送多少吨货物？
8．人民商场原来的女员工占员工总数的，后来男、女员工都增加了6名，这时女员工占员工总数的，这个商场原来有多少名员工？
9．12路公共汽车到达广场时，有的乘客下车，又有11人上车，这时车上的乘客此下车前多了，下车前车上有乘客多少人？
10．果果和妈妈一起去超市，买洗漱用品花了总钱数的少100元，买小食品花了余下的多20元，又买了一个580元的饮水机，正好花完所带的钱，果果妈妈一共带了多少钱？
11．东风机械厂有两个车间，甲车间人数是乙车间人数的，如果从乙车间调18人到甲车间，则两个车间人数相等，甲、乙两个车间原来各有多少人？
12．某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等。这个工厂原有男工多少人？
13．阳光学校买回四种图书，故事书的本数是其它三种书本数的，连环画的本数是其它三种书本数的，科技书的本数是其它三种书本数的，科技书比文艺书少18本，买回的四种图书共有多少本？
14．某校派出100名学生参加竞赛，其中女生占，后来有几名女生因故退出，这样参赛女生占参赛人数的，正式参赛的女生有多少名？
15．育英小学六年级的原有学生中，男生占。后来又转来12名男生，这时男生人数占六年级总数的。六年级原有学生多少人？
16．王大伯屋后有一棵桃树，他调皮的孙子每天从树上摘下一些桃子和邻居的小伙伴分吃。第一天摘下桃子总个数的，以后的8天分别摘下当天现有桃子的、、…、，摘了9天，树上还留下10个桃子。树上原来有多少个桃子？
17．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？
18．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？
19．甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的，乙修的是其他三队的，丙修的是其他三队的，丁修了米，这条路全长多少米？
20．读书是一种生活方式，它关乎人的心灵。为进一步打造“书香校园”，希望小学举办了校园第四届“读书节”活动。刚开始女生报名人数占报名总人数的，后来又报了3名女生，这时女生报名人数占报名总人数的，在这次活动中有多少个男生报名？
2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列
第二单元：单位“1”转化问题“拓展型”专项练习
1．有一根铁丝，第一次用去它的一半多1米，第二次用去余下的少1米，这时还剩下15米。求这根铁丝原来长多少米？
【答案】44米
【分析】如图，先将第一次用后余下长度看作单位“1”，剩下的15米减去1米刚好是第一次用后余下长度的（1－），根据部分数量÷对应分率＝整体数量，求出第一次用后余下长度；再将铁丝原来长度看作单位“1”，第一次用后余下长度加上1米，刚好是铁丝原来长度的（1－），再根据部分数量÷对应分率＝整体数量，即可求出铁丝原来长度。
【详解】（15－1）÷（1－）
＝14÷
＝14×
＝21（米）
（21＋1）÷（1－）
＝22÷
＝22×2
＝44（米）
答：这根铁丝原来长44米。
【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义。
2．在某大坝截流时，用载重卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的少2万方，第二次运了剩下的多3万方，此时还剩下12万方未运，则这堆石料共有多少万方？
【答案】42万方
【分析】方法一：把这堆石料的总方数设为未知数，用含有字母的式子表示出第一次和第二次运走的石料，等量关系式：这堆石料的总方数－第一次运走的方数－第二次运走的方数＝剩下石料的方数；
方法二：运用逆推还原的方法解答，先把第一次运走之后剩下的方数看作单位“1”，（12＋3）万方刚好占单位“1”的（1－），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出第一次运走之后剩下的方数，再把这堆石料的总方数看作单位“1”，第一次运走之后剩下的方数减去2万方刚好占单位“1”的（1－），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出这堆石料的总方数，据此解答。
【详解】方法一：解：设这堆石料共有x万方。
第一次运走的石料：（x－2）万方
第二次运走的石料：[x－（x－2）]×＋3
＝[x－x＋2]×＋3
＝[x＋2]×＋3
＝x×＋2×＋3
＝x＋1＋3
＝（x＋4）万方
x－（x－2）－（x＋4）＝12
x－x＋2－x－4＝12
（x－x－x）－（4－2）＝12
x－2＝12
x＝12＋2
x＝14
x＝14÷
x＝14×3
x＝42
方法二：
第一次运走之后剩下的方数：（12＋3）÷（1－）
＝15÷
＝15×2
＝30（万方）
这堆石料的总方数：（30－2）÷（1－）
＝28÷
＝28×
＝42（万方）
答：这堆石料共有42万方。
【点睛】用方程解答时准确表示出第一次运走的方数和第二次运走的方数，用逆推法还原时多就加，少就减，再除以1减分率的差，分步计算，求出最初的结果。
3．某厂第一车间的人数比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调10人到第一车间，这时第一车间的人数是第二车间人数的。原来两个车间各有多少人？
【答案】原来第一车间有170人，第二车间有250人
【分析】根据“第一车间的人数比第二车间人数的少30人”，可知第二车间人数第一车间人数；又“从第二车间调10人到第一车间，这时第一车间的人数是第二车间人数的”，可知第一车间人数（第二车间人数；据此可设原来第二车间有人，那么第一车间就有人；进而列方程得解。
【详解】解：设原来第二车间有人，那么第一车间就有人。
第一车间有：（人）。
答：原来第一车间有170人，第二车间有250人。
【点睛】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为，另一个未知数用含的式子来表示，进而列并解方程即可。
4．风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的发给一等奖的同学，剩下的发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下15份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？
【答案】45份
【分析】先把一、二等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么箱子里还剩下15份奖品占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出一、二等奖发完后剩下奖品的份数；
再把一等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么一、二等奖发完后剩下奖品的份数占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出一等奖发完后剩下奖品的份数；
最后把箱子里原来有奖品的总数看作单位“1”，那么一等奖发完后剩下奖品的份数占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出箱子里原来有奖品的总数。
【详解】一、二等奖发完后剩下：
（份）
一等奖发完后剩下：
（份）
原来的奖品总数：
（份）
答：箱子里原来有45份奖品。
【点睛】本题考查复杂的分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义列式计算；注意三个单位“1”的不同，采用倒推法解答。
5．果园里有苹果树和梨树一共800棵，其中苹果树占总棵数的。后来又栽种了一些梨树后，这时苹果树占总棵数的。后来又栽种了多少棵梨树？
【答案】400棵
【分析】先用800乘，求出苹果树的棵数，再根据种了一些梨树之后，苹果树占总棵数的，求出此时的总棵数，再用现在的总棵数减去之前的，求出后来又栽种了多少棵梨树即可。
【详解】之后种的梨树：
（棵）
答：后来又栽种了400棵梨树。
【点睛】本题考查分数乘除法，解答本题的关键是掌握题中的数量关系式。
6．有两箱苹果，乙箱是甲箱的，从甲箱取出3千克苹果放入乙箱后，乙箱的苹果是甲箱的。甲、乙两箱苹果共重多少千克？
【答案】48千克
【分析】根据题意，两箱苹果的总质量不变，把两箱苹果的总质量看作单位“1”；
原来乙箱是甲箱的，则原来乙箱苹果的质量占两箱苹果总质量的；
从甲箱取出3千克苹果放入乙箱后，乙箱的苹果是甲箱的，则现在乙箱苹果的质量占两箱苹果总质量的；
那么现在乙箱比原来多的3千克苹果质量，占两箱苹果总质量的（－），单位“1”未知，用除法计算，即可求出总质量。
【详解】3÷（－）
＝3÷（－）
＝3÷（－）
＝3÷
＝3×16
＝48（千克）
答：甲、乙两箱苹果共重48千克。
【点睛】本题考查分数除法的应用，抓住两箱苹果的总质量不变，把它看作单位“1”，单位“1”未知，用具体的数量除以它对应的分率，即可求出单位“1”的量。
7．甲、乙共同运送一批货物，甲计划运送这批货物的，当他完成计划后，又帮乙运送了12吨，这时甲运送货物的吨数是乙的。乙计划运送多少吨货物？
【答案】192吨
【分析】把这批货物的总吨数看作单位“1”，甲计划运送这批货物的，则乙计划运送这批货物的（1－），甲帮乙运送12吨货物后，甲运送货物的吨数占总吨数的，那么12吨货物刚好占这批货物的（－），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出这批货物的总吨数，最后用分数乘法求出乙计划运送的吨数，据此解答。
【详解】12÷（－）
＝12÷（－）
＝12÷
＝12×40
＝480（吨）
480×（1－）
＝480×
＝192（吨）
答：乙计划运送192吨货物。
【点睛】确定题目中的单位“1”，找出量和对应的分率并求出这批货物的总吨数是解答题目的关键。
8．人民商场原来的女员工占员工总数的，后来男、女员工都增加了6名，这时女员工占员工总数的，这个商场原来有多少名员工？
【答案】24名
【分析】将商场原来人数看作单位“1”，原来人数×原来女员工对应分率＝原来女员工人数；原来人数＋增加的人数＝现在人数，再将现在人数看作单位“1”，现在人数×现在女员工对应分率＝现在女员工人数；根据原来女员工人数＋6＝现在女员工人数，列出方程解答即可。
【详解】解：设这个商场原来有x名员工。
x＋6＝（x＋6＋6）
x＋6＝（x＋12）
x＋6＝x＋4
x－x＝6－4
x×12＝2×12
x＝24
答：这个商场原来有24名员工。
【点睛】关键是理解分数的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
9．12路公共汽车到达广场时，有的乘客下车，又有11人上车，这时车上的乘客此下车前多了，下车前车上有乘客多少人？
【答案】12人
【分析】由题意，此时车上的乘客比下车前多了，可以把下车前乘客看作4份，现在就是5份，则下车前乘客人数是现在的，因为是有的乘客下车，所以车上还剩×（1－）＝的乘客，这些乘客加上后上来的11人，是现在的人数，把现在的人数看作单位“1”，则11人对应的分率是1－，根据：对应量÷对应分率＝单位“1”，可以求得现在的人数，列式为：11÷[1－×（1－）]；
再结合，现在的人数比下车前多，根据已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数用除法计算，要求得下车前人数，列式为：15÷（1＋）。
【详解】11÷[1－×（1－）]
＝11÷[1－×]
＝11÷[1－]
＝11÷
＝15（人）
15÷（1＋）
＝15÷
＝12（人）
答：下车前车上有乘客12人。
【点睛】本题题意较为复杂，需要先确定好单位“1”，再找出与相应数量对应的分率，这个过程可借助线段图辅助思考。
10．果果和妈妈一起去超市，买洗漱用品花了总钱数的少100元，买小食品花了余下的多20元，又买了一个580元的饮水机，正好花完所带的钱，果果妈妈一共带了多少钱？
【答案】1000元
【分析】先把用完总钱数的后剩下的钱数看作单位“1”，饮水机的钱数加上多出的20元刚好占单位“1”的（1－），根据“量÷对应的分率”求出用完总钱数的后剩下的钱数，再把妈妈一共带的钱数看作单位“1”，从剩下的钱数里面拿出100元给洗漱用品花的钱数，则（900－100）元占全部钱数的（1－），根据“量÷对应的分率”求出妈妈带的总钱数，据此解答。
【详解】
（580＋20）÷（1－）
＝600÷
＝900（元）
（900－100）÷（1－）
＝800÷
＝1000（元）
答：果果妈妈一共带了1000元钱。
【点睛】本题属于比较复杂的分数除法应用题，两个分数的单位“1”不相同，找出量和对应的分率是解答题目的关键。
11．东风机械厂有两个车间，甲车间人数是乙车间人数的，如果从乙车间调18人到甲车间，则两个车间人数相等，甲、乙两个车间原来各有多少人？
【答案】甲车间原来有60人，乙车间原来有96人
【分析】把乙车间原来的人数看作单位“1”，由题意可知，乙车间比甲车间多2个18人，即（18×2）人，这（18×2）人正好是乙车间人数的（1－），根据分数除法的意义，用（18×2）人除以（1－），就是乙车间原来的人数。再根据分数乘法的意义，用乙车间原来的人数乘，就是甲车间原来的人数。
【详解】18×2÷（1－）
＝36÷
＝96（人）
96×＝60（人）
答：甲车间原来有60人，乙车间原来有96人。
【点睛】此题是考查分数乘、除法的意义及应用。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率；求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。
12．某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等。这个工厂原有男工多少人？
【答案】656人
【分析】设这个工厂原有男工x人，则女生人数有人，变动后男生有人，女工人有人，再根据这时男、女工人数相等，列出方程解答即可。
【详解】解：设这个工厂原有男工x人。
答：这个工厂原有男工656人。
【点睛】本题考查列方程解决问题、分数除法，解答本题的关键是掌握题中的数量关系式。
13．阳光学校买回四种图书，故事书的本数是其它三种书本数的，连环画的本数是其它三种书本数的，科技书的本数是其它三种书本数的，科技书比文艺书少18本，买回的四种图书共有多少本？
【答案】1080本
【分析】把四种图书的总本数看作单位“1”，故事书的本数占图书总本数的，连环画的本数占图书总本数的，科技书的本数占图书总本数的，用减法求出文艺书的本数占图书总本数的分率，最后根据“量÷对应的分率”求出四种图书的总本数，据此解答。
【详解】1－（＋＋）
＝1－（＋＋）
＝1－
＝
18÷（－）
＝18÷
＝1080（本）
答：买回的四种图书共有1080本。
【点睛】本题主要考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。
14．某校派出100名学生参加竞赛，其中女生占，后来有几名女生因故退出，这样参赛女生占参赛人数的，正式参赛的女生有多少名？
【答案】15名
【分析】根据题意可知，把原来参赛的人数看作单位“1”，根据“某校派出100名学生参加竞赛，其中女生占”，求男生人数：100×（1－）＝80（名）；再根据“有几名女生因故退出，这样参赛女生占参赛人数的”，再把正式参赛的人数看作单位“1”，则现在男生人数占参赛人数的（1－），求现在的参赛人数，用除法计算：80÷（1－）＝95（名）。用正式参赛的总人数减去男生人数，就是女生人数。
【详解】100×（1－）
＝100×
＝80（名）
80÷（1－）
＝80
＝95（名）
95－80＝15（名）
答：正式参赛的女生有15名。
【点睛】本题主要考查分数四则运算的应用，关键找对单位“1”，利用数量关系做题。
15．育英小学六年级的原有学生中，男生占。后来又转来12名男生，这时男生人数占六年级总数的。六年级原有学生多少人？
【答案】288人
【分析】设六年级原有学生x人，根据原有人数×男生对应分率＋转来的男生人数＝现在总人数×现在男生对应分率，列出方程解答即可。
【详解】解：设六年级原有学生x人。
x＋12＝（x＋12）×
x＋12＝x＋
x－x＝12－
x×60＝×60
x＝288
答：六年级原有学生288人。
【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。
16．王大伯屋后有一棵桃树，他调皮的孙子每天从树上摘下一些桃子和邻居的小伙伴分吃。第一天摘下桃子总个数的，以后的8天分别摘下当天现有桃子的、、…、，摘了9天，树上还留下10个桃子。树上原来有多少个桃子？
【答案】100个
【分析】根据题意，把当天桃子总数看作单位“1”，则第9天摘之前树上的桃子数是10÷（1－），同理，第8天摘之前树上的桃子是第9天桃子总数（第8天剩下的桃子数）的（1－），依此类推，用除法求出桃子总数即可。
【详解】10÷（1－）÷（1－）÷…÷（1－）
＝10÷÷…
＝10×2××…×
＝10×10
＝100（个）
答：树上原来有100个桃子。
【点睛】本题主要考查逆推问题，关键求摘之前树上桃子的数量。
17．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？
【答案】
【分析】把甲仓库现在的粮食吨数假设为100吨，则乙仓库现在的粮食吨数＝甲仓库现在的粮食吨数×，用分数除法计算出从甲仓库运出到乙仓库后乙仓库的粮食吨数，再计算出甲仓库原来的粮食吨数和乙仓库原来的粮食吨数，据此解答。
【详解】假设甲仓库现在的粮食为100吨
则乙仓库现在的粮食吨数为：100×＝90（吨）
从甲仓库运出到乙仓库后乙仓库的粮食吨数：90÷（1－）
＝90÷
＝150（吨）
甲仓库原来的粮食吨数：（100－150×）÷（1－）
＝（100－60）÷
＝40÷
＝60（吨）
乙仓库原来的粮食吨数：150－60×
＝150－20
＝130（吨）
60÷130＝
答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的。
【点睛】解答本题的关键在于用倒退法根据题意计算出甲乙两仓库原来的粮食吨数。
18．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？
【答案】
【分析】假设现在甲乙两仓库的粮食分别为60吨，用分数除法计算出从甲仓库运出到乙仓库后乙仓库的粮食吨数，根据“量÷对应的分率”计算出甲仓库原来的粮食吨数，最后计算出乙仓库原来的粮食吨数，根据A是B的几分之几计算方法：A÷B＝，即可求得。
【详解】假设甲乙两仓库现在的粮食均为60吨
从甲仓库运出到乙仓库后乙仓库的粮食吨数：60÷（1－）
＝60÷
＝80（吨）
此时乙仓库的：80×＝20（吨）
甲仓库原来的粮食吨数：（60－20）÷（1－）
＝40÷
＝50（吨）
乙仓库原来的粮食吨数：60×2－50
＝120－50
＝70（吨）
50÷70＝
答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的。
【点睛】本题主要考查用倒推法解决分数除法应用题，计算出甲乙两仓库原来的粮食吨数是解答题目的关键。
19．甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的，乙修的是其他三队的，丙修的是其他三队的，丁修了米，这条路全长多少米？
【答案】米
【分析】甲修的是其他三队的，所以甲修了全部的÷（1＋）＝；乙修的是其他三队的，所以乙修了全部的；丙修的是其他三队的，所以丙修了全部的；丁修了1－－－＝，为68米，据此可求得全长多少米。
【详解】甲修了全部的÷（1＋）＝
乙修了全部的；
丙修了全部的；
丁修了全部的：1－－－＝；
全长：68÷＝（米）
答：这条路全长米。
【点睛】此题是考查分数除法的意义及应用，关键，也就是难点是求丁修了全长的几分之几。
20．读书是一种生活方式，它关乎人的心灵。为进一步打造“书香校园”，希望小学举办了校园第四届“读书节”活动。刚开始女生报名人数占报名总人数的，后来又报了3名女生，这时女生报名人数占报名总人数的，在这次活动中有多少个男生报名？
【答案】60个
【分析】把刚开始报名总人数看作单位“1”，设为x人，3名女生报名前男生人数表示为（1－）x，3名女生报名后，男生人数表示为（1－）×（x＋3），根据前后男生人数不变，列方程解答。
【详解】解：设刚开始报名总人数为x人。
（1－）x＝（1－）×（x＋3）
（－）x＝
x＝
x＝×63
x＝105
105×（1－）
＝105×
＝60（个）
答：在这次活动中有60个男生报名。
【点睛】此题考查的是分数乘法的应用，解答此题应注意单位“1”的不同。