[数学]广东省东莞市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份[数学]广东省东莞市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 复数（是虚数单位）等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：.
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，且，所以，解得，所以，
所以，所以.
故选：C.
3. 利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．利用计算机产生1~5之间的随机整数，约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛3局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数如下：
354 151 314 432 125 334 541 112 443 534 312 324 252 525 453 114 344 423 123 243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜的有：151，125，112，312，252，114，123，共7种情况，
所以可估计甲选手最终赢得比赛的概率为.
故选：B.
4. 已知不重合的直线，和不重合的平面，，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】C
【解析】对于A：若，，则或与相交，故A错误；
对于B：若，，，则或与相交（不垂直），故B错误；
对于C：若，，且与不重合，所以，故C正确；
对于D：若，，，则或或与相交（不垂直），
故D错误.
故选：C.
5. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．下面四幅频率分布直方图中，最能说明平均数大于中位数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于图象对称，平均数和中位数相等，中图象尾巴向右拖，
中图象尾巴靠左拖，故正确.
故选：.
6. 正方体中，与所成角为的直线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，在正方体中，
对于A中，，所以与所成的角，即为与所成的角，
在等腰直角中，可得，所以与所成的角为，不符合题意；
对于B中，在直角中，可得,不符合题意；
对于C中，连接，由正方形，可得，
又由正方体中，可得平面，
因为平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，所以与所成的角为，不符合题意；
对于D中，正方体中，连接，可得，
所以与所成的角，即为与所成的角，
在等边中，可得，即与所成的角为，符合题意.
故选：D.
7. 如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为在平行四边形中，，，，
所以，，
因为将三角形沿翻折得三角形，使得交于，
所以，
因为，所以≌，
所以，设，则，
在中由余弦定理得，
，解得，即.
故选：B.
8. 对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题：抽到红球，则回答问题，且箱子中只有白球和红球．
问题：你的生日的月份是否为偶数?（假设生日的月份为偶数的概率为）
问题：你是否有在校使用手机?
已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球个，红球个，调查结束后共收到张有效答卷，其中有张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是（精确到）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，回答问题的学生人数为，
其中回答问题回答“是”的人数为，
回答问题的学生人数为，
其中回答问题回答“是”的人数为，
因此，估计该校学生有在校使用手机的概率是.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9. 某学习小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生去参加知识竞赛，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件
B. 事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”是互斥事件
C. 事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”是对立事件
D. 事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件
【答案】AD
【解析】事件“恰有1名女生”等价于事件“一名男生和一名女生”，
该事件与事件“恰有2名女生”不可能同时发生，
故事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件，A正确；
事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”都包含事件“一名男生和一名女生”，
所以事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”不是互斥事件，B错误；
事件“恰有2名男生”发生时，事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”都没发生，
所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”和事件不是必然事件，
所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”不是对立事件，C错误；
事件“至少有1名女生” 与事件“全是男生”不可能同时发生，故两事件互斥，
又它们的和事件为必然事件，
所以事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件，D正确.
故选：AD.
10. 在中，，，，则可能的取值有（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】BD
【解析】在中，，，，
则由余弦定理得，
，整理得，
解得或.
故选：BD.
11. 已知复平面内复数对应的点为，复数对应的点为，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若与关于实轴对称，则为实数
B. 若与关于实轴对称，则
C. 若，则
D. 若，则：
【答案】ABD
【解析】若与关于实轴对称，则复数与虚部互为相反数，
设，所以，
所以，所以选项A、B正确；
若，设，
则，，
则，所以，可得，
而，无法判定，选项C错误；
，
，
所以，选项D正确.
故选：ABD.
12. 如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，，，分别为，的中点，记过，，三点的平面与的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A. 为的中点B. 三棱锥的体积为
C. 截面的周长为D. 截面的面积为24
【答案】BCD
【解析】延长交于点，
因为平面，，所以平面，
又平面，所以平面，
连接，则直线和的交点为平面和直线的交点，故该点为，
因为点为的中点，，所以，
又，所以，即，又，所以，
又点为线段的中点，所以，
因为，所以，A错误；
由已知，中，，所以，
中，，所以，
中，，所以，
中，，
所以，
所以截面的周长为，C正确；
连接，中，，所以，
因为，，所以为以为底边的等腰三角形，
且边上的高为，所以的面积为，
因为，，所以为以为底边的等腰三角形，
且边上的高为，所以的面积为，
所以截面的面积为，D正确；
三棱锥的体积，
因为，为的中点，
所以的面积，
所以，B正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．
13. 已知与为互斥事件，且，，则________．
【答案】
【解析】因为与为互斥事件，则，
因此，.
故答案为：.
14. 某射击运动员在射击测试中射靶10次，命中环数分别为：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，则该运动员本次射击测试命中环数的第百分位数为______.
【答案】
【解析】将命中的环数从小到大排列为：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，
因为，所以第百分位数为数据从小到大排列的第、两个数的平均数，
即.
故答案为：.
15. 已知是虚数，是实数，则________．
【答案】
【解析】依题意，设，
则
是实数，
故，又，所以，故.
故答案为：.
16. 已知正方体的棱长为1，从正方体的8个顶点中选出4个点构成一个体积大于的三棱锥，则这4个点可以是________．（写出一组即可）
【答案】或（写出一组即可）
【解析】若从正方体的某一面的四个顶点中任选3个顶点，
再从余下的点中选一个与它们不共面的点，例如选，
则由正方体性质可得平面，，，
所以三棱锥的体积，不满足要求，
若选某一面的一条对角线的端点，
再选与其平行的平面中与前一条对角线不平行的对角线的端点，例如，
设正方体的体积为，则，
则三棱锥的体积
，满足要求，
同理可得，选也满足要求，
故答案为：或（写出一组即可）.
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
解：（1）因为，，（为外接圆的半径），
又因为，所以，
即，所以，
由余弦定理得，
因为，所以．
（2）因为，所以，
因为，所以，所以，
所以的周长为6.
18. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次的点数大于3”，事件“两次点数之和为奇数”．
（1）求事件的概率
（2）判断事件与事件是否相互独立，并说明理由．
解：（1）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，每次有6种等可能的结果，
用数字表示第一次骰子出现的点数，数字表示第二次骰子出现的点数，
则数组表示这个试验的一个样本点，
因此该试验的样本空间，其中共有36个样本点，
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，这个试验是古典概型，
因为，其中共有18个样本点，
所以.
（2）因为
，其中共有18个样本点，
所以，
因为，
其中共有9个样本点，所以，
因为，所以事件与事件相互独立
19. 如图，在矩形中，点是的中点，点是的三等分点.
（1）用，表示，；
（2）如果，，求的面积．
解：（1）因为是的三等分点，
所以，
因为是的中点，
所以.
（2），
因为为矩形，所以，
又，，所以，即，
，
同理可得，
所以，，即三角形的面积为．
20. 如图，，都垂直于平面，平面平面，且，为的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面．
解：（1）如图所示，取的中点，连接，，
因为为的中点，为的中位线，所以，，
又因，都垂直于平面，且，所以，，
所以，，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）连接，因为，为的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为面，所以，
因平面，平面，所以，
又因为，所以，
因为，且平面，
所以平面.
21. 树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查．记男生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；女生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；总样本平均数、方差分别为、.
（1）证明：；
（2）该兴趣社团通过分析给出以下两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数；
（3）已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值.
解：（1）
，
因为，，
所以，则.
（2）因为每个组内的数据均匀分布，所以以各组的区间中点值代表该组的各个值，
由频率分布直方图估计男生样本课外体育锻炼时间的平均数为
，
由扇形图估计女生样本课外体育锻炼时间的平均数为
.
（3）因为采用按比例分配的分层随机抽样，所以，
估计树人中学学生课外运动时间的平均数为，
.
22. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，平面平面，，．
（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若存在球与三棱柱各个面都相切，求的正弦值．
解：（1）因为，所以异面直线与的所成角为或其补角，
如图，取的中点，连接、，
因为三角形为等边三角形，为的中点，所以，
且，
又因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为为的中点，在中，，，，
所以，
所以，
在中，，
所以，当时，异面直线与的所成角的余弦值为.
（2）在平面内过作的垂线，交于，交于，连接、，
由（1）知平面，因为平面，则，
又因为，，、平面，所以面，
因为平面，所以，平面平面，
同理可知，平面与平面、平面都垂直，
若存在球与三棱柱各个面都相切，则球的半径等于内切圆半径，
在中，，，则，
在中，，，
则，
同理可得，，
由，
得，即①，
因为球与三棱柱各个面都相切，所以等于三棱柱的高，
所以②，
联立①②得，
即，解得，所以的正弦值为．