高中物理重难点96讲专题37力学中的功能关系固定斜面上滑动摩擦力做功的一个有用结论能量守恒定律(原卷版+解析)

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考点一 力学中的功能关系
考点二 固定斜面上滑动摩擦力做功的一个有用结论
考点三 能量守恒定律的理解和应用
考点一 力学中的功能关系
1．(多选)2022年冬季奥会在北京顺利举行，让我们领略了冰雪运动的魅力。如图所示我国小将苏翊鸣在一次自由式滑雪空中技巧训练中保持同一姿态沿斜坡下滑了一段距离，如果重力对他做功为1000J，他克服阻力做功500J，则他在此过程中（ ）
A．可能在做匀速直线运动B．动能增加了500J
C．重力势能减少了500JD．机械能减少了500J
2．一个质量为m的物体以a=2g的加速度竖直向下运动，则在物体下降h高度的过程中物体的（ ）
A．重力势能减少了 2mgh
B．合外力做功为mgh
C．合外力做功为2mgh
D．动能增加了mgh，重力势能减少了mgh
3． (多选)比赛开始之前，裁判员利用掷硬币的方法让双方球队的队长来挑选一侧的场地，若裁判员以初速度v0竖直向上掷出一枚质量为m的硬币，硬币升到最高点之后，又落回掷出点。假设硬币所受空气阻力大小恒为f，运动的最高点距掷出点为h，重力加速度大小为g。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中空气阻力对硬币做功之和为0
B．整个过程中硬币损失的机械能为2fh
C．下降过程中有fℎ=mgℎ−12mv02
D．上升过程中有mgℎ+fℎ=12mv02
4．(多选)如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，质量为m的小物块自斜面底端以某一初速度沿斜面向上做匀减速直线运动。已知小物块与斜面间的动摩擦因数为0.75，小物块沿斜面上升的最大高度为H，重力加速度大小为g，取sin37°=0.6，则在小物块上升的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小物块的重力势能增加了mgHB．小物块的初动能为65mgH
C．小物块的机械能损失了mgHD．小物块克服摩擦力做功0.6mgH
5.如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R的圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动．设开始时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力．下列分析正确的是( )
A．小球过B点时，弹簧的弹力为mg－meq \f(v2,R)
B．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋meq \f(v2,2R)
C．从A到B的过程中，小球的机械能守恒
D．从A到B的过程中，小球的机械能减少
6．(多选)在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为m的木块相连，木块处于静止状态。现给木块一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动h，力F做功W1，此后木块静止，如图所示。则（ ）
A．在木块下移h的过程中重力势能的减少量mgh
B．在木块下移h的过程中弹性势能的增加量F+mgℎ
C．在木块下移h的过程中弹簧弹力做功W1+mgℎ
D．在木块下移h的过程中弹性势能的增加量W1+mgℎ
7．（2022·全国·高三课时练习）(多选)篮球运动员的定点跳投动作可分解如下：静止在地面上的运动员先屈腿下蹲，然后突然蹬地，重心上升双脚离开地面，离地后重心继续上升，到达最高点后投出篮球。已知某运动员的质量为m，双脚离开地面时的速度为v，从下蹲到最高点的过程中重心上升的高度为h，下列说法正确的是（ ）
A．从下蹲到离开地面，地面对运动员做的功为mgℎ
B．从下蹲到离开地面，地面对运动员做的功为零
C．从下蹲到离开地面，运动员的机械能增加了mgℎ+12mv2
D．从下蹲到最高点，运动员先超重后失重
8．(多选)如图所示，倾角为30°的斜面上，质量为m的物块在恒定拉力作用下沿斜面以加速度a=g2（g为重力加速度）向上加速运动距离x的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．重力势能增加12mgxB．动能增加mgx4
C．机械能增加mgxD．拉力做功为mgx2
9．节日燃放礼花弹时，要先将礼花弹放入一个竖直的炮筒中，然后点燃礼花弹的发射部分，通过火药剧烈燃烧产生的高压燃气，将礼花弹由炮筒底部射向空中。若礼花弹在由炮筒底部击发至炮筒口的过程中，克服重力做功W1，克服炮筒阻力及空气阻力做功W2，高压燃气对礼花弹做功W3，则礼花弹在炮筒内运动的过程中（设礼花弹发射过程中质量不变）（ ）
A．礼花弹的动能变化量为W3+W2+W1
B．礼花弹的动能变化量为W3−W2−W1
C．礼花弹的机械能变化量为W3−W1
D．礼花弹的机械能变化量为W3−W2−W1
10. （2020·全国Ⅰ卷·T20）(多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2。则（ ）
A. 物块下滑过程中机械能不守恒
B. 物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C. 物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D. 当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
11．(多选)如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A静止于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时用手托住B，让细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是（ ）
A．B物体的机械能一直减小
B．B物体的动能增加量等于B物体重力势能的减少量
C．B物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的增加量
D．细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量
12．(多选)如图所示，轻质弹簧一端固定，伸长后另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连。圆环从A处由静止开始下滑，经过B处时弹簧水平，到达C处时圆环的速度为零，然后在C处给圆环一竖直向上的初速度v，圆环恰好能回到A处，在上述过程中，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，则圆环（ ）
A．下滑过程中，弹簧的弹性势能一定先减小后增大
B．下滑过程中，经过B时的速度最大
C．上滑过程中，摩擦产生的内能为14mv2
D．上滑过程中经过B处的动能大于下滑过程中经过B处的动能
13．（2022·全国·高三专题练习）(多选)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m的圆环相连，圆环套在倾斜的粗糙固定杆上，杆与水平面之间的夹角为α，圆环在A处时弹簧竖直且处于原长。将圆环从A处由静止释放，到达C处时速度为零。若圆环在C处获得沿杆向上的速度v，恰好能回到A。已知AC=L，B是AC的中点，弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为g，则（ ）
A．下滑过程中，圆环到达C处时弹簧的弹性势能为mgLsinα
B．下滑过程中，环与杆摩擦产生的热量为12mv2
C．从C到A过程，弹簧对环做功为mgLsinα−14mv2
D．环经过B时，上滑的速度大于下滑的速度

考点二 固定斜面上滑动摩擦力做功的一个有用结论
如图，设斜面与物体间的动摩擦因数为μ，斜面长L ,底边长x,斜面倾角为θ，则物体在斜面上下滑L的过程中滑动摩擦力对物体做的功：wf = −μmgcsθL = −μmgx
结论：在固定斜面上运动的物体，滑动摩擦力对物体做的功只与μ，mg，水平位移有关，与斜面斜长及斜面倾角无关．
14．（2022·全国·高三专题练习）(多选) 如图所示，物体在平行于斜面向上拉力作用下，分别沿倾角不同的斜面由底端匀速运动到高度相同的顶端，物体与各斜面间的动摩擦因数相同，则（ ）
A．无论沿哪个斜面拉，克服重力做的功相同
B．无论沿哪个斜面拉，克服摩擦力做的功相同
C．无论沿哪个斜面拉，拉力做的功均相同
D．沿倾角较小的斜面拉，拉力做的功较多
15.如图所示，将3个木板1、2、3固定在墙角，现将一个可以视为质点的物块分别从3个木板的顶端由静止释放，物块沿木板下滑到底端，物块与木板之间的动摩擦因数均为μ。下列说法正确的是（ ）
A．物块沿着1和2下滑到底端时速度大小相等
B．物块沿着3下滑到底端时速度最大
C．物块沿着1下滑到底端的过程中，产生的热量最多
D．物块沿着1和2下滑到底端的过程中，产生的热量一样多
考点三 能量守恒定律的理解和应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
表达式
E初＝E末 或 E增＝E减．
3．应用能量守恒定律解题的步骤
16．（2022·山东·高考真题）我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭。如图所示，发射仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太空。从火箭开始运动到点火的过程中（ ）
A．火箭的加速度为零时，动能最大
B．高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C．高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D．高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
17．（2022·江苏苏州·高一期末）泉州小岞风电场利用风能发电，既保护环境，又可创造很高的经济价值。如图所示，风力发电机的叶片半径为R。某段时间内该区域的风速大小为v，风恰好与叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为ρ，风力发电机的发电效率为η，下列说法错误的是（ ）
A．单位时间内通过叶片转动圆面的空气质量为ρπvR2
B．此风力发电机发电的功率为12ρπv3R2η
C．若仅风速减小为原来的12，发电的功率将减小为原来的18
D．若仅叶片半径增大为原来的2倍，发电的功率将增大为原来的8倍
18．如图所示，轨道AB部分为光滑的14圆弧，半径R＝0.2m，A点与圆心等高。BC部分水平但不光滑，C端固定一轻质弹簧，OC为弹簧的原长。一个可视为质点、质量m＝1kg的物块从A点由静止释放，物块将弹簧压缩至最短的M点（图中未画出），又经弹簧反弹后停在D点（不再滑上轨道AB段）。已知物块与BC之间的动摩擦因数μ＝0.1，BO间距离xBO＝1.0m， OM间距离xOM＝0.25m，重力加速度g取10m/s2，试求：
（1）物块运动到B点时，轨道对物块的支持力FN；
（2）整个过程中弹簧的最大弹性势能；
（3）BD间距离xBD。
19.如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),4)，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离L＝1 m，现给A、B一初速度v0＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹回到C点．已知重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于伸直状态．求在此过程中：
(1)物体A向下运动刚到C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧的最大弹性势能．
20．如图所示，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A点，另一端位于直轨道上B点，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达距A点为R的E点（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度大小为g，取sin37°=0.6，cs37°=0.8，求：
（1）物块P从C点到第一次通过B点所用时间t；
（2）F点到A点的距离；
（3）改变物块P的质量为km，然后将P推至E点从静止释放，物块P通过圆弧上的D点时，对圆弧轨道的压力在竖直方向且大小等于物块现有重力的0.2倍，求k的数值。
21．某弹射游戏的轨道装置如图所示，倾斜直轨道AB长为2R、倾角为37°，其末端B与光滑圆弧轨道BD在B点相切，圆弧半径为R，末端D点的切线水平。游戏时操作者将质量m的小球用弹簧从斜轨底端A点发射（弹簧长度很短，可以认为小球就是从A点射出），某次弹射时发现小球刚好能通过最高点D点，已知小球与AB间的动摩擦因数μ=0.5，sin37°=0.6，cs37°=0.8，则
（1）小球刚好到达D点时的速度多大？
（2）若弹簧储存的弹性势能不变，而弹射小球的质量改为m2，则该小球到达D点时对轨道的压力多大？
（3）若要使质量为m的小球不脱离轨道，弹簧在弹射小球时应储存多少弹性势能？
能量
功能关系
表达式
势能
重力做的功等于重力势能减少量
W＝Ep减＝Ep1－Ep2
弹力做的功等于弹性势能减少量
动能
合外力做功等于动能变化量
W合＝Ek2－Ek1
机械能
除重力和系统内弹力之外，其他力做功等于机械能变化量
W其他＝E2－E1
摩擦产生
的内能
一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能，即：因摩擦而产生的内能等于摩擦力和相对路程的乘积
Q＝f·x相对
专题37 力学中的功能关系 能量守恒定律
固定斜面上滑动摩擦力做功的一个有用结论
考点一 力学中的功能关系
考点二 固定斜面上滑动摩擦力做功的一个有用结论
考点三 能量守恒定律的理解和应用
考点一 力学中的功能关系
1．(多选)2022年冬季奥会在北京顺利举行，让我们领略了冰雪运动的魅力。如图所示我国小将苏翊鸣在一次自由式滑雪空中技巧训练中保持同一姿态沿斜坡下滑了一段距离，如果重力对他做功为1000J，他克服阻力做功500J，则他在此过程中（ ）
A．可能在做匀速直线运动B．动能增加了500J
C．重力势能减少了500JD．机械能减少了500J
【答案】BD
【解析】AB．重力对苏翊鸣做功1000J，他克服阻力做功500J，即阻力做功为-500J，所以外力对他做的总功为 W外=1000J−500J=500J
根据动能定理可知，苏翊鸣的动能增加了500J，因此速度增大，故A错误，B正确；
C．重力对他做功1000J，因此重力势能减小了1000J，故C错误；
D．机械能减少量等于苏翊鸣克服阻力做功，为500J，故D正确。
2．一个质量为m的物体以a=2g的加速度竖直向下运动，则在物体下降h高度的过程中物体的（ ）
A．重力势能减少了 2mgh
B．合外力做功为mgh
C．合外力做功为2mgh
D．动能增加了mgh，重力势能减少了mgh
【答案】C
【解析】A．物体下降h高度的过程中，重力做功mgh，则重力势能减小mgh．故A错误．
BC．根据牛顿第二定律知，合力为2mg，根据动能定理知，合力做功为2mgh，则动能增加2mgh．故B错误，C正确．
D．重力势能减小mgh，动能增加2mgh，则机械能增加了mgh．故D错误．
故选C．
3． (多选)比赛开始之前，裁判员利用掷硬币的方法让双方球队的队长来挑选一侧的场地，若裁判员以初速度v0竖直向上掷出一枚质量为m的硬币，硬币升到最高点之后，又落回掷出点。假设硬币所受空气阻力大小恒为f，运动的最高点距掷出点为h，重力加速度大小为g。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中空气阻力对硬币做功之和为0
B．整个过程中硬币损失的机械能为2fh
C．下降过程中有fℎ=mgℎ−12mv02
D．上升过程中有mgℎ+fℎ=12mv02
【答案】BD
【解析】A．整个过程中阻力做负功，代数和不可能为零，故A错误；
B．阻力做负功，阻力所做的功即为机械能的损失量，即损失的机械能为2fh，故B正确；
CD．下降过程中，克服阻力所做的功等于上升过程中克服阻力的功，即fℎ=12mv02−mgℎ
故C错误，D正确。
4．(多选)如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，质量为m的小物块自斜面底端以某一初速度沿斜面向上做匀减速直线运动。已知小物块与斜面间的动摩擦因数为0.75，小物块沿斜面上升的最大高度为H，重力加速度大小为g，取sin37°=0.6，则在小物块上升的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小物块的重力势能增加了mgHB．小物块的初动能为65mgH
C．小物块的机械能损失了mgHD．小物块克服摩擦力做功0.6mgH
【答案】AC
【解析】A．小物块沿斜面上滑的最大高度为H，克服重力做功mgH，所以小物块的重力势能增加了mgH，选项A正确；
B．对小物块受力分析得F合=mgsin37°+μmgcs37°=1.2mg
由几何关系可得，小物块沿斜面上滑的距离x=Hsin37°
根据动能定理可得W合=F合x=−2mgH=0−Ek0
则小物块的初动能为2mgH，选项B错误；
C．由功能关系可知，小物块机械能的改变量等于摩擦力所做的功ΔE机=−fx=mgH
即小物块机械能损失了mgH，选项C正确；
D．损失的机械能等于克服摩擦力做的功，选项D错误。
5.如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R的圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动．设开始时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力．下列分析正确的是( )
A．小球过B点时，弹簧的弹力为mg－meq \f(v2,R)
B．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋meq \f(v2,2R)
C．从A到B的过程中，小球的机械能守恒
D．从A到B的过程中，小球的机械能减少
【答案】D
【解析】 从A到B的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能增大，小球的机械能减小；由于小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力，根据牛顿第二定律，F弹－mg＝meq \f(v2,R)，即F弹＝mg＋meq \f(v2,R)，故只有选项D正确．
6．(多选)在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为m的木块相连，木块处于静止状态。现给木块一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动h，力F做功W1，此后木块静止，如图所示。则（ ）
A．在木块下移h的过程中重力势能的减少量mgh
B．在木块下移h的过程中弹性势能的增加量F+mgℎ
C．在木块下移h的过程中弹簧弹力做功W1+mgℎ
D．在木块下移h的过程中弹性势能的增加量W1+mgℎ
【答案】AD
【解析】A．在木块下移h的过程中，重力做功为 WG=mgℎ
由功能关系，可得 ∆Ep=−WG=−mgℎ
可知重力势能的减少量为mgh。故A正确；
C．设在木块下移h的过程中弹簧弹力做功为W弹，由动能定理可得W弹+W1+WG=0
联立，可得W弹=−W1−mgℎ故C错误；
BD．由功能关系，可得 ∆E弹=−W弹=W1+mgℎ
物块在缓慢向下移动，因此力F是一个变力，因此做功不等于Fℎ，易知在木块下移h的过程中弹性势能的增加量为W1+mgℎ。故B错误；D正确。
7．（2022·全国·高三课时练习）(多选)篮球运动员的定点跳投动作可分解如下：静止在地面上的运动员先屈腿下蹲，然后突然蹬地，重心上升双脚离开地面，离地后重心继续上升，到达最高点后投出篮球。已知某运动员的质量为m，双脚离开地面时的速度为v，从下蹲到最高点的过程中重心上升的高度为h，下列说法正确的是（ ）
A．从下蹲到离开地面，地面对运动员做的功为mgℎ
B．从下蹲到离开地面，地面对运动员做的功为零
C．从下蹲到离开地面，运动员的机械能增加了mgℎ+12mv2
D．从下蹲到最高点，运动员先超重后失重
【答案】BD
【解析】AB．从地面跃起过程中，人在地面支持力方向上的位移为零，地面支持力对运动员所做的功为0，故A错误，B正确；
C．从下蹲到离开地面，运动员的动能增量12mv2，重力势能增加小于mgh，则运动员的机械能增加量小于mgℎ+12mv2，选项C错误；
D．从下蹲到最高点，运动员先加速向上，后减速向上，即超重后失重，选项D正确。
8．(多选)如图所示，倾角为30°的斜面上，质量为m的物块在恒定拉力作用下沿斜面以加速度a=g2（g为重力加速度）向上加速运动距离x的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．重力势能增加12mgxB．动能增加mgx4
C．机械能增加mgxD．拉力做功为mgx2
【答案】AC
【解析】A．根据题意可知，重力做功为 WG=mgΔℎ=−mgxsin30°=−12mgx
则物块的重力势能增加为 ΔEp=12mgx 故A正确；
B．根据牛顿第二定律可知，物体所受合力为 F合=ma=12mg
则合力做功为 W=F合x=12mgx
根据动能定理可知，物块的动能增加为 ΔEk=12mgx 故B错误；
C．由AB分析可知，物块的机械能增加为 ΔE=ΔEp+ΔEk=12mgx+12mgx=mgx 故C正确；
D．由牛顿第二定律可得 F−mgsin30°−f=ma
可得 F=mg+f W=Fx=mgx+fx 故D错误。
9．节日燃放礼花弹时，要先将礼花弹放入一个竖直的炮筒中，然后点燃礼花弹的发射部分，通过火药剧烈燃烧产生的高压燃气，将礼花弹由炮筒底部射向空中。若礼花弹在由炮筒底部击发至炮筒口的过程中，克服重力做功W1，克服炮筒阻力及空气阻力做功W2，高压燃气对礼花弹做功W3，则礼花弹在炮筒内运动的过程中（设礼花弹发射过程中质量不变）（ ）
A．礼花弹的动能变化量为W3+W2+W1
B．礼花弹的动能变化量为W3−W2−W1
C．礼花弹的机械能变化量为W3−W1
D．礼花弹的机械能变化量为W3−W2−W1
【答案】B
【解析】AB．根据动能定理 −W1−W2+W3=ΔEk 故B正确，A错误；
CD．机械能变化量等于除重力以外的其他力做功 W3−W2=ΔE 故CD均错误。
10. （2020·全国Ⅰ卷·T20）(多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2。则（ ）
A. 物块下滑过程中机械能不守恒
B. 物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C. 物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D. 当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
【答案】AB
【解析】A．下滑5m的过程中，重力势能减少30J，动能增加10J，减小的重力势能并不等与增加的动能，所以机械能不守恒，A正确；
斜面高3m、长5m，则斜面倾角为θ＝37°。令斜面底端为零势面，
则物块在斜面顶端时的重力势能mgh＝30J
可得质量m＝1kg
下滑5m过程中，机械能的减少量等于克服摩擦力做的功μmg·csθ·s＝20J
求得μ＝0.5 B正确；
C．由牛顿第二定律 mgsinθ－μmgcsθ＝ma 求得 a＝2m/s2 C错误；
D．物块下滑2.0m时，重力势能减少12J，动能增加4J，所以机械能损失了8J，D选项错误。
11．(多选)如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A静止于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时用手托住B，让细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是（ ）
A．B物体的机械能一直减小
B．B物体的动能增加量等于B物体重力势能的减少量
C．B物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的增加量
D．细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量
【答案】AD
【解析】A．根据题意可知，从开始运动到B获得最大速度的过程中，绳子拉力一直对B物体做负功，则B物体的机械能一直减小，故A正确；
BC．根据题意可知，A物体、B物体和弹簧组成的系统机械能守恒，则B物体重力势能的减少量等于A、B物体动能的增加量和弹簧弹性势能增加量之和，B物体机械能的减少量等于A物体动能增加量和弹簧弹性势能增加量之和，故BC错误；
D．根据功能关系除重力和弹簧弹力以外的力即绳子的拉力等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量，故D正确。
12．(多选)如图所示，轻质弹簧一端固定，伸长后另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连。圆环从A处由静止开始下滑，经过B处时弹簧水平，到达C处时圆环的速度为零，然后在C处给圆环一竖直向上的初速度v，圆环恰好能回到A处，在上述过程中，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，则圆环（ ）
A．下滑过程中，弹簧的弹性势能一定先减小后增大
B．下滑过程中，经过B时的速度最大
C．上滑过程中，摩擦产生的内能为14mv2
D．上滑过程中经过B处的动能大于下滑过程中经过B处的动能
【答案】CD
【解析】A．设弹簧的固定点为O，由于初始时刻弹簧处于伸长状态，在圆环从A到C下滑过程中，若OB大于等于弹簧原长，弹簧的弹性势能先减小后增大，若OB小于弹簧原长，在B点弹簧处于压缩状态，则在B点前弹簧的弹性势能先减小后增大，过B点后弹簧的弹性势能先减小后增大，A错误；
B．下滑过程中，当合力为零时速度最大，此位置应在B、C间，此时弹力向上的分量与摩擦力之和等于圆环的重力，B错误；
C．下滑过程中由动能定理可得WG−W弹−Wf=0
上滑过程由动能定理可得−WG+W弹−Wf=0−12mv2
解得上滑过程中克服摩擦力做功为Wf=14mv2
则上滑过程中，摩擦产生的内能为Q=14mv2 C正确；
D．从B到A上滑过程中 −WG1−W弹1−Wf1=0−12mvB上2
从A到B下滑过程中 WG1+W弹1−Wf1=12mvB下2
则 12mvB上2−12mvB下2=2Wf1>0
故上滑过程中经过B处的动能大于下滑过程中经过B处的动能。 D正确。
13．（2022·全国·高三专题练习）(多选)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m的圆环相连，圆环套在倾斜的粗糙固定杆上，杆与水平面之间的夹角为α，圆环在A处时弹簧竖直且处于原长。将圆环从A处由静止释放，到达C处时速度为零。若圆环在C处获得沿杆向上的速度v，恰好能回到A。已知AC=L，B是AC的中点，弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为g，则（ ）
A．下滑过程中，圆环到达C处时弹簧的弹性势能为mgLsinα
B．下滑过程中，环与杆摩擦产生的热量为12mv2
C．从C到A过程，弹簧对环做功为mgLsinα−14mv2
D．环经过B时，上滑的速度大于下滑的速度
【答案】CD
【解析】A．下滑过程中，圆环重力势能的减少量为mgLsinα，由于摩擦力做负功，圆环到达C处时弹簧的弹性势能小于mgLsinα，故A错误；
B．根据对称性，下滑和上滑过程中摩擦力做功大小相同。从C到A过程动能减少12mv2，由于重力势能增加，环与杆摩擦产生的热量小于12mv2，故B错误；
C．设圆环在下滑和上滑过程中由于摩擦产生的热为Q，圆环在C处时弹簧的弹性势能为EP，根据能量的转化与守恒，A到C过程 mgLsinα=Q+Ep
C到A过程 12mv2+EP=Q+mgLsinα
联立两式解得 EP=mgLsinα−14mv2 故C正确。
D．根据动能定理，A到B过程 mgℎAB−WfAB−W弹=12mvB2
B到A过程 W弹−WfAB−mgℎAB=0−12mv'B2
得 mgℎAB+WfAB−W弹=12mv'B2
故 v'B>vB 故D正确。

考点二 固定斜面上滑动摩擦力做功的一个有用结论
如图，设斜面与物体间的动摩擦因数为μ，斜面长L ,底边长x,斜面倾角为θ，则物体在斜面上下滑L的过程中滑动摩擦力对物体做的功：wf = −μmgcsθL = −μmgx
结论：在固定斜面上运动的物体，滑动摩擦力对物体做的功只与μ，mg，水平位移有关，与斜面斜长及斜面倾角无关．
14．（2022·全国·高三专题练习）(多选) 如图所示，物体在平行于斜面向上拉力作用下，分别沿倾角不同的斜面由底端匀速运动到高度相同的顶端，物体与各斜面间的动摩擦因数相同，则（ ）
A．无论沿哪个斜面拉，克服重力做的功相同
B．无论沿哪个斜面拉，克服摩擦力做的功相同
C．无论沿哪个斜面拉，拉力做的功均相同
D．沿倾角较小的斜面拉，拉力做的功较多
【答案】AD
【解析】A．重力做功为 WG= -mgh
质量m和高度h均相同，则重力做功相同，克服重力做功相同，A正确；
B．设斜面倾角为θ，斜面高度h，斜面长度 L=ℎtanθ
克服摩擦力做的功 Wf=μmgcsθ⋅L=μmgℎtanθ 所以倾角越大，摩擦力做功越小，B错误；
CD．物体匀速被拉到顶端，根据动能定理得 WF-mgh-μmgcs θ·L=0
解得拉力做功 WF=mgℎ+μmg⋅ℎtanθ
则h相同时，倾角较小，拉力做的功较多，C错误，D正确。
15.如图所示，将3个木板1、2、3固定在墙角，现将一个可以视为质点的物块分别从3个木板的顶端由静止释放，物块沿木板下滑到底端，物块与木板之间的动摩擦因数均为μ。下列说法正确的是（ ）
A．物块沿着1和2下滑到底端时速度大小相等
B．物块沿着3下滑到底端时速度最大
C．物块沿着1下滑到底端的过程中，产生的热量最多
D．物块沿着1和2下滑到底端的过程中，产生的热量一样多
【答案】D
【解析】A．设木板的长度为L，与竖直方向的夹角为θ，物块下滑到底端的过程，
据动能定理可得 12mv2=mgℎ−μmgcsθ⋅L=mgℎ−μmg⋅x
由于木板1和2在水平方向的投影x相同，物块沿着1下滑的高度h较大，可知沿着1到达底端的速度大于沿着2到达底端的速度，A错误；
B．与物块沿着2下滑过程对比，物块沿着3下滑到底端的过程，h相同，x较大，故沿着3下滑到底端时速度最小，B错误；
CD．据功能关系可得，产生的热量为 Q=μmgcsθ⋅L=μmgx
物块沿着3下滑到底端的过程中，产生的热量最多，沿着1和2下滑到底端的过程中，产生的热量一样多，C错误，D正确。
考点三 能量守恒定律的理解和应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
表达式
E初＝E末 或 E增＝E减．
3．应用能量守恒定律解题的步骤
16．（2022·山东·高考真题）我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭。如图所示，发射仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太空。从火箭开始运动到点火的过程中（ ）
A．火箭的加速度为零时，动能最大
B．高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C．高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D．高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
【答案】A
【解析】A．火箭从发射仓发射出来，受竖直向下的重力、竖直向下的空气阻力和竖直向上的高压气体的推力作用，且推力大小不断减小，刚开始向上的时候高压气体的推力大于向下的重力和空气阻力之和，故火箭向上做加速度减小的加速运动，当向上的高压气体的推力等于向下的重力和空气阻力之和时，火箭的加速度为零，速度最大，接着向上的高压气体的推力小于向下的重力和空气阻力之和时，火箭接着向上做加速度增大的减速运动，直至速度为零，故当火箭的加速度为零时，速度最大，动能最大，故A正确；
B．根据能量守恒定律，可知高压气体释放的能量转化为火箭的动能、火箭的重力势能和内能，故B错误；
C．根据动量定理，可知合力冲量等于火箭动量的增加量，故C错误；
D．根据功能关系，可知高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭机械能的增加量，故D错误。
17．（2022·江苏苏州·高一期末）泉州小岞风电场利用风能发电，既保护环境，又可创造很高的经济价值。如图所示，风力发电机的叶片半径为R。某段时间内该区域的风速大小为v，风恰好与叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为ρ，风力发电机的发电效率为η，下列说法错误的是（ ）
A．单位时间内通过叶片转动圆面的空气质量为ρπvR2
B．此风力发电机发电的功率为12ρπv3R2η
C．若仅风速减小为原来的12，发电的功率将减小为原来的18
D．若仅叶片半径增大为原来的2倍，发电的功率将增大为原来的8倍
【答案】D
【解析】A．由于风速为v，可以理解为单位时间内通过叶片转动圆面的空气柱长度，所以单位时间内通过叶片转动圆面的空气质量为m=ρV=ρπvR2
故A正确，不符合题意；
B．根据能量的转化与守恒可知，风的一部分动能转化为发电机发出的电能，而发电功率为单位时间内参与能量转化的那一部分动能，
所以发电机发电功率为P=12mv2η=12ρπv3R2η 故B正确，不符合题意；
CD．根据P的表达式可知，若仅风速减小为原来的12，发电的功率将减小为原来的18，若仅叶片半径增大为原来的2倍，发电的功率将增大为原来的4倍，故C正确，不符合题意；D错误，符合题意。
18．如图所示，轨道AB部分为光滑的14圆弧，半径R＝0.2m，A点与圆心等高。BC部分水平但不光滑，C端固定一轻质弹簧，OC为弹簧的原长。一个可视为质点、质量m＝1kg的物块从A点由静止释放，物块将弹簧压缩至最短的M点（图中未画出），又经弹簧反弹后停在D点（不再滑上轨道AB段）。已知物块与BC之间的动摩擦因数μ＝0.1，BO间距离xBO＝1.0m， OM间距离xOM＝0.25m，重力加速度g取10m/s2，试求：
（1）物块运动到B点时，轨道对物块的支持力FN；
（2）整个过程中弹簧的最大弹性势能；
（3）BD间距离xBD。
【答案】（1）30N；（2）0.75J；（3）0.5m
【解析】（1）物块由A运动到B的过程，根据动能定理有 mgR=12mvB2 解得 vB=2gR=2m/s
在B点，重力和支持力的合力提供向心力有 FN−mg=mvB2R 解得 FN=30N
故轨道对物块的支持力大小为30N，方向竖直向上；
（2）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，此时物块速度为零，
根据能量守恒定律有 mgR=μmg(xBO+xOM)+Epm 解得 EPm=0.75J
（3）从M点到D点，根据能量守恒定律有 Epm=μmgxMD 解得 xMD=0.75m
故BD间的距离 xBD=xBO+xOM−xMD=0.5m
19.如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),4)，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离L＝1 m，现给A、B一初速度v0＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹回到C点．已知重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于伸直状态．求在此过程中：
(1)物体A向下运动刚到C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧的最大弹性势能．
【答案】 (1)2 m/s (2)0.4 m (3)6 J
【解析】(1)在物体A向下运动刚到C点的过程中，对A、B组成的系统应用能量守恒定律可得
μ·2mgcs θ·L＝eq \f(1,2)×3mv02－eq \f(1,2)×3mv2＋2mgLsin θ－mgL 解得v＝2 m/s.
(2)对A、B组成的系统分析，在物体A从C点压缩弹簧至将弹簧压缩到最大压缩量，又恰好返回到C点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量，即 eq \f(1,2)×3mv2－0＝μ·2mgcs θ·2x
其中x为弹簧的最大压缩量 解得x＝0.4 m.
(3)设弹簧的最大弹性势能为Epm，从C点到弹簧最大压缩量过程中由能量守恒定律可得
eq \f(1,2)×3mv2＋2mgxsin θ－mgx＝μ·2mgcs θ·x＋Epm 解得Epm＝6 J.
20．如图所示，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A点，另一端位于直轨道上B点，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达距A点为R的E点（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度大小为g，取sin37°=0.6，cs37°=0.8，求：
（1）物块P从C点到第一次通过B点所用时间t；
（2）F点到A点的距离；
（3）改变物块P的质量为km，然后将P推至E点从静止释放，物块P通过圆弧上的D点时，对圆弧轨道的压力在竖直方向且大小等于物块现有重力的0.2倍，求k的数值。
【答案】（1）5ggR；（2）4R；（3）13
【解析】（1）物块从C点到B点的过程中，由牛顿第二定律得 mgsin37°−μmgcs37°=ma
解得 a=0.4g
物块从C点到B点的过程中做初速度为零的匀加速直线运动，有 7R−2R=12at2
解得 t=5ggR
（2）设E、F间的距离为s，物块从C点到E点最终达到F点的过程，
由能量守恒定律得 mg(7R−R−s)sin37°=μmgcs37°[(7R−R)+s] 解得 s=3R
F点到A点的距离 LFA=AE+s=R+3R=4R
（3）设弹簧被压缩到E点时具有的弹性势能为EP，改变前物块从C到E的过程中，
由能量守恒定律得 mg(7R−R)sin37°=Ep+μmgcs37°×(7R−R) 解得 Ep=2.4mgR
由题意知，轨道对物块的支持力大小为0.2kmg，设物块在D点的速度大小为v，
在D点，由牛顿第二定律得 kmg+0.2kmg=kmv2R
解得 v=65gR
物块从E点到D点的过程中，
由能量守恒定律得 EP=kmg(7R−R)sin37°+R+Rcs37°+μkmgcs37°×(7R−R)+12kmv2
解得 k=13
21．某弹射游戏的轨道装置如图所示，倾斜直轨道AB长为2R、倾角为37°，其末端B与光滑圆弧轨道BD在B点相切，圆弧半径为R，末端D点的切线水平。游戏时操作者将质量m的小球用弹簧从斜轨底端A点发射（弹簧长度很短，可以认为小球就是从A点射出），某次弹射时发现小球刚好能通过最高点D点，已知小球与AB间的动摩擦因数μ=0.5，sin37°=0.6，cs37°=0.8，则
（1）小球刚好到达D点时的速度多大？
（2）若弹簧储存的弹性势能不变，而弹射小球的质量改为m2，则该小球到达D点时对轨道的压力多大？
（3）若要使质量为m的小球不脱离轨道，弹簧在弹射小球时应储存多少弹性势能？
【答案】（1）Rg；（2）4.3mg；（3）EP≤2.8mgR或EP≥4.3mgR
【解析】（1）在D点 mg=mvD2R 解得 vD=Rg
要使小球m刚能过D点，在小球被弹出前弹簧具有的弹性势能为
EP=mgABsin37°+μmgABcs37°+mgR（1+cs37°）+12mvD2=4.3mgR
质量为m2的小球从A→D有
EP−（12m）gABsin37°−μ（12m）gABcs37°−（12m）gR（1+cs37°）=12（12m）vD＇2
在D点FN+12mg=12mvD＇2R
得FN=4.3mg
根据牛顿第三定律得F′N=4.3mg
（3）设圆弧上与O点等高的点为C，小球不脱离轨道，分两种情况：
（a）最高点到达C点或C点以下，有EP≤mgABsin37°+μmgABcs37°+mgRcs37°=2.8mgR
（b）最高点能过D点，有EP≥mgABsin37°+μmgABcs37°+mgR（1+cs37°）+12mvD2=4.3mgR
弹簧的弹性势能范围是EP≤2.8mgR或EP≥4.3mgR
能量
功能关系
表达式
势能
重力做的功等于重力势能减少量
W＝Ep减＝Ep1－Ep2
弹力做的功等于弹性势能减少量
动能
合外力做功等于动能变化量
W合＝Ek2－Ek1
机械能
除重力和系统内弹力之外，其他力做功等于机械能变化量
W其他＝E2－E1
摩擦产生
的内能
一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能，即：因摩擦而产生的内能等于摩擦力和相对路程的乘积
Q＝f·x相对