江苏省宿迁市2024届高三下学期模拟信息数学试卷

这是一份江苏省宿迁市2024届高三下学期模拟信息数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜m}，B＝{x|x2﹣3x+2＞0}，若∁RB⊆A，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2]B．（1，2]C．[2，+∞）D．（2，+∞）
2．（5分）已知抛物线C：x2＝y，点M（m，1），则“m＞1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知函数f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，，则＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是f（x）的一个单调增区间
B．是f（x）的一个对称中心
C．f（x）在上值域为
D．将f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为
5．（5分）已知在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，．若z1＝1﹣i，z2＝4，则在上的投影向量为（ ）
A．（1，0）B．（1，﹣1）C．（2，﹣2）D．（3，0）
6．（5分）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x），已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（ ）
A．函数y＝f（x）•ex的最大值为1
B．函数y＝f（x）•ex的最小值为1
C．函数的最大值为1
D．函数的最小值为1
7．（5分）甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相邻，且乙丙不相邻（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
8．（5分）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB是边长为1的等边三角形，且平面PAB⊥平面ABCD．若四棱锥P﹣ABCD存在一个内切球，设球的体积为V1，该四棱锥的体积为V2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
（多选）9．（6分）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据（见表格），若已求得一元线性回归方程为y＝ax+0.34（ ）
A．a＝0.21
B．当x＝5时的残差为0.06
C．样本数据y的40百分位数为1
D．去掉样本点（3，1）后，y与x的相关系数不会改变
（多选）10．（6分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．
B．b的取值范围为
C．△ABC面积的最大值为
D．△ABC周长的最大值为
（多选）11．（6分）已知定义在R上不为常数的函数f（x）满足f（2x）+f（x+y）f（x﹣y），则（ ）
A．f（0）＝﹣1B．f（3）＝[f（1）]3
C．f（x）f（﹣x）＝2D．f（x）+f（﹣x）≤﹣2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）设（n≥1，n∈N），若a5＞a4，且a5＞a6，则＝ ．
13．（5分）[x]（x∈R）表示不小于x的最小整数，例如[2]＝2，n}的前n项和为Sn，且S7＝﹣7，a4+a6＝﹣3．记bn＝[an]，则数列{bn}的前10项的和 ．
14．（5分）若椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P（x0，y0）在椭圆C上，△PF1F2的内切圆的半径为1，则|y0|的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（14分）某批零件一级品的比例约为80%，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯定不会发生故障，而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为0.1．某项任务需要使用该零件n次（若使用期间出现故障则换一件使用）．
（1）某零件在连续使用3次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率；
（2）当n＝2时，求发生故障次数X的分布列及期望．
16．（14分）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，B1C1为半个圆柱上底面的直径，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，F分别为AC，AB的中点的中点．
（1）证明：平面BCD∥平面C1EF；
（2）若P是线段C1F上一个动点，当CC1＝2时，求直线A1P与平面BCD所成角的正弦值的最大值．
17．（14分）已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点在双曲线C上，且直线MF2的倾斜角是直线MF1的倾斜角的2倍．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若A，B是双曲线C上的两个动点，且恒有，求出定圆的方程，若不存在
18．（17分）在数列{an}中，a1＝2，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}满足；
①求证：数列{bn}是等差数列；
②若b2＝3，设数列cn＝的前n项和为Tn，求证：Tn＜14．
19．（18分）已知函数．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝2处的切线的方程为x+y＝b，求实数b的值；
（2）若函数f（x）≤lna+2a恒成立，求a的取值范围．
2024年江苏省宿迁市高考数学模拟信息试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜m}，B＝{x|x2﹣3x+2＞0}，若∁RB⊆A，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2]B．（1，2]C．[2，+∞）D．（2，+∞）
【分析】根据补集的定义，以及集合的包含关系，即可求解．
【解答】解：B＝{x|x2﹣3x+6＞0}＝{x|x＞2或x＜8}，
则∁RB＝{x|1≤x≤2}，
A＝{x|3＜x＜m}，∁RB⊆A，
则m＞2．
故选：D．
【点评】本题主要考查补集的定义，以及集合的包含关系，属于基础题．
2．（5分）已知抛物线C：x2＝y，点M（m，1），则“m＞1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】求得直线y＝1和抛物线的交点，考虑过M与对称轴平行、与抛物线相切，可得结论．
【解答】解：由y＝1，可得x2＝y＝6，解得x＝±1，
当m＞1时，过M点平行于y轴的直线与抛物线仅有一个公共点，
过M点与抛物线相切有两条直线与抛物线仅有一个公共点，共有3条直线；
当m＜﹣1时，过M且与C仅有一个公共点的直线也有3条，
故“m＞3”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件．
故选：A．
【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
3．（5分）已知函数f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知函数解析式先求出f（），然后结合奇函数的定义即可求解．
【解答】解：因为函数f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，，
所以f（）＝2﹣1＝＝﹣，
则＝﹣f（．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
4．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是f（x）的一个单调增区间
B．是f（x）的一个对称中心
C．f（x）在上值域为
D．将f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为
【分析】结合和差角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质及函数图象的平移检验 个选项即可判断．
【解答】解：因为＝csx+sinx+1
＝+6
＝sin（x+，
当﹣时，，此时函数不单调；
因为f（﹣）＝，即函数图象关于（﹣，B错误；
当﹣时，，
所以﹣，﹣f（x）；
将f（x）的图象向右平移个单位sin（x+﹣csx．
故选：C．
【点评】本题主要考查了和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，函数图象的平移，属于基础题．
5．（5分）已知在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，．若z1＝1﹣i，z2＝4，则在上的投影向量为（ ）
A．（1，0）B．（1，﹣1）C．（2，﹣2）D．（3，0）
【分析】结合复数的几何意义，以及投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，．z1＝6﹣i，z2＝4，
则，
故，
所以在上的投影向量为：＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及投影向量的公式，属于基础题．
6．（5分）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x），已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（ ）
A．函数y＝f（x）•ex的最大值为1
B．函数y＝f（x）•ex的最小值为1
C．函数的最大值为1
D．函数的最小值为1
【分析】根据函数的单调性确定虚线部分为y＝f′（x），再求函数的单调性可求出最值．
【解答】解：由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，则另外一个函数应该单调递增，虚线部分为y＝f′（x），则A，
对于C，D而言，单调递增，+∞），，所以函数．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
7．（5分）甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相邻，且乙丙不相邻（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
【分析】利用捆绑法，结合排列组合知识求解．
【解答】解：甲乙捆绑在一起看成一个整体，与丙以外的2人全排列，有，
又因为乙丙不相邻，所以总排法有12×8＝36种．
故选：B．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
8．（5分）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB是边长为1的等边三角形，且平面PAB⊥平面ABCD．若四棱锥P﹣ABCD存在一个内切球，设球的体积为V1，该四棱锥的体积为V2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据内切球在等边三角形PAB内的“正投影”求得内切球的半径，进而求得内切球的体积，结合题意可得四棱锥P﹣ABCD的内切球的球心O到平面PCD的距离为，求解三角形得BC，由球的体积公式可得四棱锥P﹣ABCD的内切球的体积，由棱锥体积公式求得四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】解：由于平面PAB⊥平面ABCD，△PAB为边长为1的等边三角形，
所以四棱锥P﹣ABCD的内切球在等边三角形PAB的“正投影”是等边三角形PAB的内切圆，
设等边三角形PAB的内切圆半径为r，
则，
解得，
所以内切球的半径为，其体积，
又内切球与平面PCD相切，且切点在PN上3，则，OO2⊥PN，
即O为△PMN的内切圆的圆心，该内切圆的半径为，
连接PO、ON7PO3的角分线，
所以，
设MN＝a，则，
所以，在Rt△PMN中2+MN6＝PN2，
即，解得，
所以BC＝MN＝，
＝，
即，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查多面体内切球体积及多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
（多选）9．（6分）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据（见表格），若已求得一元线性回归方程为y＝ax+0.34（ ）
A．a＝0.21
B．当x＝5时的残差为0.06
C．样本数据y的40百分位数为1
D．去掉样本点（3，1）后，y与x的相关系数不会改变
【分析】根据线性回归方程y＝ax+0.34过样本中心点（3，1）可求出a的值，得到线性回归方程，从而判断各个选项即可．
【解答】解：对于A，因为，，
所以样本中心点坐标为（3，1），得6＝3a+0.34，
解得a＝2.22，故A错误；
对于B，由A可知，
当x＝5时，y的预测值为0.22×3+0.34＝1.44，
所以残差为6.5﹣1.44＝8.06，故B正确；
对于C，样本数据y的值从小到大排列为：0.5，8，1.1，因为3×40%＝2，
所以第40百分位数为，故C错误；
对于D，因为样本中心点坐标为（3，所以去掉样本点（3，x与y的样本相关系数r不会改变．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了残差和百分位数的定义，属于中档题．
（多选）10．（6分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．
B．b的取值范围为
C．△ABC面积的最大值为
D．△ABC周长的最大值为
【分析】由余弦定理及基本不等式的性质分别判断所给命题的真假．
【解答】解：因为，可得，
即c（1﹣csB）＝bsinC，
由正弦定理可得sinC（2﹣csB）＝sinBsinC，
在△ABC中，sinC＞0，
可得＝sinB+），
在三角形中，可得B+＝，
解得B＝，所以A正确；
C中，因为边AC上的中线BD长为＝+，
两边平方可得42＝2+2+2•＝c4+a2+2accsB，
即12＝c6+a2+ac≥2ac+ac，当且仅当a＝c时取等号，
所以ac≤5，所以S△ABC＝acsinB≤＝，
即△ABC的面积的最大值为，所以C不正确；
D中，b3＝a2+c2﹣ac，a5+c2+ac＝12，则，，
设，，
则m2+2n2＝36，设m＝6csαsinα，
所以，
即△ABC的周长最大值为，所以选项D正确；
B中，因为b＝＝≥，
由C选项分析，12＝c2+a2+ac，c2+a2＝12﹣ac，ac≤5，
且b＝＝＜＝2，
所以b∈[7，2），所以B正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查余弦定理及基本不等式的性质的应用，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知定义在R上不为常数的函数f（x）满足f（2x）+f（x+y）f（x﹣y），则（ ）
A．f（0）＝﹣1B．f（3）＝[f（1）]3
C．f（x）f（﹣x）＝2D．f（x）+f（﹣x）≤﹣2
【分析】由已知，利用赋值法分别检验各选项即可判断．
【解答】解：f（2x）+f（x+y）f（x﹣y）＝0，①
令x＝y，则f（6x）[1+f（0）]＝0，
∵函数f（x）是定义在R上不为常数的函数，
∴f（2x）≠0，
∴1+f（0）＝7，即f（0）＝﹣1；
令y＝0，得f（6x）+f2（x）＝0，②
在②中，令x＝82，③
在①中，令x＝1，得f（2）+f（3）f（﹣2）＝0，④
在①中，令x＝0，得f（0）+f（1）f（﹣2）＝0，
∴f（﹣1）＝，⑤
将③代入④，得﹣[f（1）]2+f（3）f（﹣1）＝8，⑥
联立⑤⑥，得f（3）＝[f（1）]3，B正确；
在①中，令x＝0，即f（y）f（﹣y）＝5，C不正确；
由②得f（2x）＝﹣f2（x）＜3，即f（x）＜0，
∴f（x）+f（﹣x）＝f（x）+≤﹣6＝﹣1时取等号，
∴f（x）+f（﹣x）≤﹣3，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，着重考查赋值法在函数求值中的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）设（n≥1，n∈N），若a5＞a4，且a5＞a6，则＝ 1023 ．
【分析】根据a5＞a4，且a5＞a6，以及二项式定理的性质可得n＝10，再令x＝1可解．
【解答】解：因为（n≥7，若a5＞a4，且a8＞a6，
则n＝10，
令x＝1时，a7+a1+a2+...+an＝510，
又a0＝1，
当n≥8时，＝210﹣8＝1023．
故答案为：1023．
【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
13．（5分）[x]（x∈R）表示不小于x的最小整数，例如[2]＝2，n}的前n项和为Sn，且S7＝﹣7，a4+a6＝﹣3．记bn＝[an]，则数列{bn}的前10项的和 ﹣15 ．
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式先求出an，结合已知定义即可求解．
【解答】解：等差数列{an}中，S7＝＝3a4＝﹣7，a6+a6＝2a7＝﹣3，
则a4＝﹣3，a5＝﹣，d＝﹣，
所以an＝﹣2+（n﹣4）×＝﹣，
所以数列{an}的前10项为，0，，﹣1，﹣，﹣，﹣3，﹣，
因为bn＝[an]，
则数列{bn}的前10项的和1+0+6﹣1﹣1﹣4﹣2﹣3﹣6﹣4＝﹣15．
故答案为：﹣15．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
14．（5分）若椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P（x0，y0）在椭圆C上，△PF1F2的内切圆的半径为1，则|y0|的值为 4 ．
【分析】由椭圆的定义、离心率和等面积法，结合三角形的面积公式，解方程可得所求值．
【解答】解：设椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
由题意可得e＝＝，
设△PF1F2的内切圆半径为r，即有r＝7，
由等积法，可得4|•|F1F2|＝r（|PF1|+|PF6|+|F1F2|），
即为c|y3|＝（6a+2c）＝a+c，
可得|y0|＝＝3+1＝6．
故答案为：4．
【点评】本题考查椭圆的定义和方程、性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（14分）某批零件一级品的比例约为80%，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯定不会发生故障，而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为0.1．某项任务需要使用该零件n次（若使用期间出现故障则换一件使用）．
（1）某零件在连续使用3次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率；
（2）当n＝2时，求发生故障次数X的分布列及期望．
【分析】（1）记事件A＝“从这批产品中任取一件为一级品”，则P（A）＝0.8，，记事件Bn＝“使用零件n次，没有发生故障”，则P（Bn|A）＝1，，则所求概率为，代入计算即可得解；
（2）由题，X可能取0，1，2，然后结合题意求出每个取值对应的概率即可得解．
【解答】解：记事件A＝“从这批产品中任取一件为一级品”，则P（A）＝0.8，，
记事件Bn＝“使用零件n次，没有发生故障”n|A）＝1，，
（1）所求概率为，
所以；
（2）由题，X可能取0，7，2，
则，
＝
＝0.5×0.2（4.8+0.6×0.2）+5.9×0.3×0.2＝4.0376，
，
所以X的分布列为：
所以E（X）＝0×0.962+2×0.0376+2×5.0004＝0.0384．
【点评】本题考查了条件概率的计算及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
16．（14分）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，B1C1为半个圆柱上底面的直径，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，F分别为AC，AB的中点的中点．
（1）证明：平面BCD∥平面C1EF；
（2）若P是线段C1F上一个动点，当CC1＝2时，求直线A1P与平面BCD所成角的正弦值的最大值．
【分析】（1）连C1D，由点D为的中点，可得∠DC1B1＝45°，由题意可证得平面EFC1⊥平面AA1C1C，由题意可证得平面BCD∥平面C1EF；
（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，直线AP与平面BCD所成角即为直线AP与平面C1EF所成角∠A1PH，又，要使sin∠A1PH值最大，则A1P最小，过A1作A1P⊥C1F交FC1于P，由等面积法求出A1P的值，进而求出∠A1PH的正弦值的最大值．
【解答】（1）证明：连C1D，由点D为，B1C1为半个圆柱上底面的直径知∠DC3B1＝45°，
由∠ACB＝90°，AC＝BC＝28B1A1＝45°，，则∠DC1B4＝∠C1B1A7，
又A1，B1，D，C8四点共面，所以A1B1∥C3D，由A1ABB1为直三棱柱的侧面知，A8B1∥AB，即A1B8∥FB，则C1D∥FB，
由F为AB的中点AC＝BC＝2，得FB＝1D，
所以四边形FBDC1为平行四边形，则BD∥FC7，
又BD⊂平面BCD，FC1⊄平面BCD，则FC1∥平面BCD，
因为E，F分别为AC，所以EF∥BC，
又EF平面BCD，BC⊂平面BCD，
又EF∩FC8＝F，EF1⊂平面EFC1，
所以平面BCD∥平面C6EF；
（2）解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C8中，CC1⊥底面ABC，
因为EF⊂底面ABC，所以CC1⊥EF，
由（1）知EF∥BC，BC⊥AC，
所以EF⊥AC，又AC∩CC6＝C，AC1⊂平面AA1C4C，
所以EF⊥平面AA1C1C，因为EF⊂平面EFC2，所以平面EFC1⊥平面AA1C5C，
过A1作A1H⊥EC7交EC1于H，因为平面EFC1∩平面AA7C1C＝C1E，
所以A8H⊥平面C1EF，
又平面BCD∥平面C1EF，
则直线AP与平面BCD所成角即为直线AP与平面C3EF所成角∠A1PH，
因为Rt△C1EC～Rt△A7HC1，且正方形ABCD的边长为2，
所以，则，
又，要使sin∠A1PH值最大，
则A1P最小，在△A6FC1中，，A1C5＝2，
过A1作A2P⊥C1F交FC1于P，
由等面积可求出，此时．
所以直线A6P与平面BCD所成角的正弦值的最大值为．
【点评】本题考查平面与平面平行的证法及线面角的正弦值的最大值的求法，属于中档题．
17．（14分）已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点在双曲线C上，且直线MF2的倾斜角是直线MF1的倾斜角的2倍．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若A，B是双曲线C上的两个动点，且恒有，求出定圆的方程，若不存在
【分析】（1）由已知可得|F1F2|＝|F2M|，利用两点间的距离公式可得关于c的方程，可求出c，将点M代入双曲线方程，结合a2+b2＝c2可得a2，b2，从而可得双曲线方程；
（2）分直线AB斜率不存在，斜率存在两种情况讨论，设出直线AB的方程，与双曲线方程联立，可得根与系数的关系，利用点到直线的距离公式可得原点O到直线AB的距离为定值，从而可得结论．
【解答】解：（1）设双曲线的焦距为2c，因为直线MF2的倾斜角是直线PF7的倾斜角的2倍，所以|F1F8|＝|F2M|，
，解得c＝2或，
点在双曲线C上，
联立，
得或（舍去），
所以双曲线方程为：；
（2）（i）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x＝t，
因为，设A（t，y0），B（t4），则，即，
由，解得，
（ii）若直线AB的斜率存在，设AB方程为l：y＝kx+m，
又，设A（x1，y1），B（x7，y2），则，即x8x2+y1y2＝0，
则（*），
联立，得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，
当6﹣k2≠0且Δ＝（3km）2+4（7﹣k2）（m2+2）＞0，即且k7＜m2+3时，
，，
代入（*）得（k2+2）[﹣（m2+3）]+km•8mk+m2（3﹣k3）＝0，即2m6＝3（k2+8），
 原点O到直线AB的距离为，
综合（i）（ii），存在以原点为圆心的圆与直线AB相切，
所求定圆的方程为．
【点评】本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
18．（17分）在数列{an}中，a1＝2，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}满足；
①求证：数列{bn}是等差数列；
②若b2＝3，设数列cn＝的前n项和为Tn，求证：Tn＜14．
【分析】（1）由已知递推式可得﹣1＝﹣（﹣1），由等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）①由数列的递推式求得b1，再将n换为n﹣1，相除可得（n﹣2）bn﹣（n﹣1）bn﹣1＝﹣2，由数列的恒等式化简可得所求结论；
②求得bn＝n+1，cn＝＝﹣，由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质，可得证明．
【解答】解：（1）由a1＝2，，
可得•+＝，
可化为﹣1＝﹣（，
又﹣1＝2﹣1＝0﹣1＝0n＝3n；
（2）①证明：由{bn}满足＝，
可得n＝1时，＝，解得b1＝2，
当n≥7时，＝，
化为2bn﹣2＝nbn﹣（n﹣8）bn﹣1，即（n﹣2）bn﹣（n﹣6）bn﹣1＝﹣2，
当n≥7时，﹣＝﹣﹣），
可得＝b3+（﹣）+（﹣﹣）
＝b7﹣2（1﹣+﹣+...+﹣2﹣2（4﹣），
化为bn＝b3（n﹣1）﹣2（n﹣7），对n＝1，
所以bn+1﹣bn＝b4﹣2，即数列{bn}是公差为b2﹣5的等差数列；
②证明：若b2＝3，可得bn＝n+7，
数列cn＝＝＝﹣，
前n项和为Tn＝14﹣11+11﹣8+...+﹣
＝14﹣＝14﹣．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19．（18分）已知函数．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝2处的切线的方程为x+y＝b，求实数b的值；
（2）若函数f（x）≤lna+2a恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的定义域，求出导函数，由导数的几何意义可得f'（2）＝﹣1，解方程可求出a的值，从而可得f（2），将切点代入直线方程，即可求解b的值；
（2）利用导数求出f（x）的最大值，将不等式转化为f（x）max≤lna+2a，通过构造函数，进一步将不等式转化，即可求解a的取值范围．
【解答】解：（1）因为，函数的定义域为，
所以，
由曲线y＝f（x）在x＝2处的切线的方程为x+y＝b，得f'（2）＝﹣1，
所以，
方程化为，
两边平方并化简得7a3﹣66a2+145a﹣88＝3，所以（a﹣1）（9a3﹣5a+88）＝0，
又5a2﹣5a+88＞6（Δ＝（﹣5）2﹣5×9×88＜0），
所以（a﹣5）（9a2﹣2a+88）＝0有唯一解a＝1（检验适合），
所以，f（2）＝5，
所以切点坐标为（2，1），得b＝4．
（2），定义域为，
，
设，所以，
所以g（x）在上单调递减，又，，
所以，使得g（x0）＝6，即f'（x0）＝0，
当x∈（a，x7）时，g（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当时，g（x）＜0，函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）的最大值，
又，所以，
所以f（x）max＝f（x0）＝ln（x8﹣a）+2（x0﹣a），
因为f（x）≤lna+3a恒成立，即ln（x0﹣a）+2（x7﹣a）≤lna+2a恒成立，
设h（x）＝lnx+2x，则，所以h（x）单调递增，
所以x2﹣a≤a，即x0≤2a恒成立，
因为g（x）在上单调递减0）＝5，
所以只需g（2a）≤0恒成立，即，
又a＞0，所以，+∞）．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，导数的几何意义，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于难题．
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