2024安徽中考数学二轮专题训练 题型一 “一题多解法”“破解”“代数推理题” (含答案)

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例1已知三个实数a，b，c满足ab＜0，a＋b＋c＝0，a－b＋c＞0，则下列结论成立的是( )
A. a＞0，b2≥4ac B. a＞0，b2≤4ac
C. a＜0，b2≥4ac D. a＜0，b2≤4ac
【思维教练】
思路一：联立两个代数式，即可得到b的取值范围，进而得到a的取值范围，再运用作差法比较b2与4ac的大小关系即可得出正确答案；
思路二(构造法)：设y＝ax2＋bx＋c，由ab＜0可得出抛物线对称轴的位置，再分别将x＝1和x＝－1代入函数，画出函数的大致图象，结合图象即可得出正确答案．
【自主作答】
解法一：
解法二：
满分技法
1. 等式(不等式)性质：①直接根据等式或不等式的性质进行变形直接得到答案；②选择其中一个式子为突破口，表示出一个未知字母代入另外一个代数式，进而对选项进行判断分析；
2. 利用函数思想：根据题干选择合适的函数进行分析：①若函数为二次函数，可根据代数关系判断出二次函数的开口方向及对称轴位置，进而画出二次函数图象，再逐项判断分析；②若函数为反比例函数，可根据函数的增减性或对称性进行判断分析；③若函数为一次函数，可先判断系数k、b的正负，再结合其他条件进行分析判断；
3. 特殊值法：通过设题中某个未知量为特殊值，进而表示出题干中的其他未知量，使得题干的等式或不等式得到简化，得出最终答案．
安徽近年真题精选
1. 设a，b，c为互不相等的实数，且b＝eq \f(4,5)a＋eq \f(1,5)c，则下列结论正确的是( )
A. a＞b＞c B. c＞b＞a C. a－b＝4(b－c) D. a－c＝5(a－b)
针对训练
2. 已知三个实数a、b、c满足a＋b＋c＝0，ac＋b＋1＝0(c≠1)，则( )
A. a＝1，b2－4ac＞0 B. a≠1，b2－4ac≥0 C. a＝1，b2－4ac＜0 D. a≠1，b2－4ac≤0
3. 已知实数a、b、c满足a－b＋c＝0，4a＋2b＋c＞0，则下列结论成立的是( )
A. a＋b＞0，b2－4ac≤0 B. a＋b＞0，b2－4ac≥0 C. a＋b＜0，b2－4ac≤0 D. a＋b＜0，b2－4ac≥0
参考答案
典例精讲
例1 A 【解法一】a－b＋c＞0，a＋b＋c＝0，∴a－b＋c－(a＋b＋c)＞0，即－2b＞0，∴b＜0，又∵ab＜0，∴a＞0，∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)，∴b2－4ac＝[－(a＋c)]2－4ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2≥0.
【解法二】设y＝ax2＋bx＋c，∵ab＜0，∴二次函数对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＞0，∵a＋b＋c＝0，∴当x＝1时，y＝0，∵a－b＋c＞0，∴当x＝－1时，y＞0，∴函数图象过点(1，0)，(－1，p)(p＞0)，对称轴大于0，如解图，函数图象大致有两种情况，由函数图象开口向上，得a＞0，由函数图象与x轴有交点得b2－4ac≥0.
例1题解图
安徽近10年真题精选
1. D 【解析】等式两边同时乘以5，得5b＝4a＋c，等式两边同时加上a－5b－c，得a－c＝5a－5b，即a－c＝5(a－b)．
针对训练
2. A 【解析】联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0①，,ac＋b＋1＝0②.))由②－①，得ac－a－c＋1＝0，整理，得(a－1)(c－1)＝0.∵c≠1，∴a－1＝0，即a＝1.由ac＋b＋1＝0得到b＝－(ac＋1)．则b2－4ac＝[－(ac＋1)]2－4ac＝(ac－1)2≥0.当b2－4ac＝0，即(ac－1)2＝0时，ac＝1.由a＝1得到c＝1，与c≠1相矛盾，故b2－4ac＞0.
3. B 【解析】由题可知4a＋2b＋c－(a－b＋c)＞0，3a＋3b＞0，即a＋b＞0，设y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0，当x＝2时，y＝4a＋2b＋c>0，函数与x轴有一个或两个交点，∴b2－4ac≥0.