湛江市第二十一中学2024届高三下学期模拟预测数学试卷(含答案)

这是一份湛江市第二十一中学2024届高三下学期模拟预测数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知，，若在上的投影向量为，则与的夹角为( )
A.60°B.120°C.135°D.150°
3．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为.最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为( )
A.B.C.D.
4．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则( )
A.B.C.D.
5．若函数是定义在R上的奇函数，则( )
A.3B.2C.D.
6．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是( )
A.156B.210C.211D.216
7．设，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆C的左、右焦点分别为，，下顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点P.若，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、填空题
9．下列说法正确的是( )
A.，
B.
C.若，，则的最小值为1
D.若是关于x的方程的根，则
10．已知F为抛物线的焦点，点在抛物线上C，直线与抛物线C的另一个交点为A，则_________.
11．数列满足，则_________..
12．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是_________..
三、多项选择题
13．已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列结论正确的是( )
A.
B.的图象关于对称
C.的图象关于对称
D.在上单调递增
14．如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有( )
A.动点F轨迹的长度为
B.三棱锥体积的最小值为
C.与不可能垂直
D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和.
16．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，.
（1）求和.
（2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，
（3）为进一步验证（2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为的样本（假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的k倍，且新列联表中的数据都为整数）.若要使得依据的独立性检验可以肯定（2）中的判断，试确定k的最小值
参考公式及数据：，.
17．如图，在四棱台中，底面为正方形，为等边三角形，E为的中点.
（1）证明：；
（2）若，，求直线与平面所成角的余弦值.
18．已知函数.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求k的值；
（2）讨论的单调性.
19．已知椭圆C：的上顶点为A，左焦点为F，点为C上一点，且以为直径的圆经过点F.
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l交C于D，E两点，线段上存在点M满足，过G与l垂直的直线交y轴于点N，求面积的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：由，可得，即，
由，
故.
故选：D.
2．答案：B
解析：易知在上的投影向量为，
而，所以与的夹角为.
故选：B
3．答案：C
解析：根据题意，最短拉索的锚，满足，，
且均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为，
则，即点，
同理，
又，即点，
所以，，
故选：C.
4．答案：A
解析：由，则，
则，即，
则，
故.
故选：A.
5．答案：A
解析：设，则，即，
即，所以.
因为，所以，.
故选：A
6．答案：D
解析：若三人站在一个台阶上，有种站法，
若三人站在两个台阶上，有种站法，
若三人站在三个台阶上，有种站法，
所以，一共有种站法.
故选：D.
7．答案：D
解析：，即，，即，
因为，所以，即，
且，则，
所以.
故选：D
8．答案：B
解析：设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，，
设的内切圆与，相切于点M，N，如图所示，
则，，，
所以，
所以的周长为，
由椭圆定义可得，，
所以，则，
故选：B.
.
9．答案：ACD
解析：对于A，，设复数，，则，，，
故，A正确；
对于B，由于，，故，B错误；
对于C，，设，，由于，则，，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，，D正确，
故选：ACD.
10．答案：2
解析：由题意可得，解得，则.
所以直线与x轴垂直，，.
故答案为：2.
11．答案：
解析：因为，
当时，
当时，
所以，
所以，
当时不成立，所以.
故答案为：.
12．答案：
解析：当时，，
函数在上的两个零点只能满足或，
所以，解得①.
由题意，得，
当时，.
由①知，
函数在上的两个零点只能满足或，
所以，解得②.
由①②，得的取值范围是.
故答案为：.
13．答案：BCD
解析：，故A错误；
由，故B正确；
由，得C正确；
由，令，，得，，
当时，，故D正确.
故选:BCD.
14．答案：ABD
解析：对A，如图，令中点为M，中点为N，连接，
又正方体中，E为棱的中点，可得，，
平面，平面，又，
且，平面，平面平面，
又平面，且平面，平面，
又F为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，
，即F的轨迹为线段.
由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确；
对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为，
所以面积最小时，体积最小，如图，，易得F在N处时最小，
此时，所以体积最小值为，故选项B正确；
对C，当F为线段中点时，由可得，又中点为M，中点为N，
，而，，故选项C不正确；
对D，如图，当F在M处时，三棱锥的体积最大时，
由已知得此时，所以F在底面的射影为底面外心，
，，，所以底面为直角三角形，
所以F在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为R，
由，，可得外接球半径，
外接球的表面积为，故选项D正确.
故选：ABD.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，.
当时，，
当时，也符合.
综上，.
（2）由，
则
，
故的前项和.
16．答案：（1），
（2）表格见解析，有关
（3）
解析：（1）因为，，
所以，，
由于，解得，所以.
，解得.
（2）
零假设为：期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关.
根据列联表中的数据，经计算得到.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
（3），解得.
要使新列联表中的数据都为整数，则需.
又因为，所以的最小值为5，故k的最小值是.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接，因为为等边三角形，所以，
因为为正方形，所以
在四棱台中，，
所以，又，，平面，
所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以；
.
（2）因为底面为正方形，为等边三角形，
所以，所以，
因为，，所以，所以，
又由（1），且，，平面，
所以平面，即平面，
取的中点F，连接，
以点E为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
所以，即，得，
直线与平面所成角正弦值为，
则直线与平面所成角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）因为，，所以，
曲线在处的切线与垂直，
所以，得；
（2）由得，
当时，的定义域为，
令得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，的定义域为，
令得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
19．答案：（1）
（2）7
解析：（1）由题意知，，因为点在椭圆C上，
所以，
由以为直径的圆经过点F，知，得①，
又②，
由①②得，，
所以C的方程为：.
（2）如图：
由题意，直线l斜率存在且不为0，设直线l的方程为，
且，，，
将代入，
整理可得，
，
解得，
由根与系数的关系可得，，
根据，得，
解得，
设与直线l垂直的直线方程为，
令，则，即，
故，
，
记面积为S，
则
，当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为7.
个性化错题本
期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建立
未建立
合计
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
个性化错题本
期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建立
20
4
24
未建立
4
8
12
合计
24
12
36