期末复习模块01 图形与几何—长方体和正方体篇-【期末精讲】最新五下数学典型题型精讲（原卷版+解析版）

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1、注重基础知识和基本技能的培养。人教社编的小学数学教材，注重基础知识和基本技能的培养。在教材中，学生可以系统地学习和掌握数学的基本概念、原理和方法。
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最新五年级数学下册典型例题系列之
期末复习专题一：图形与几何—长方体和正方体篇（解析版）
编者的话：
《2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
本专题是期末复习专题一：图形与几何—长方体和正方体篇。本部分内容包括观察立体图形、长方体和正方体的应用、平移和旋转的认识及作图，其中以长方体和正方体内容为主，包括期末常考典型例题，涵盖较广，部分内容和题型比较复杂，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为六大篇目，欢迎使用。
【篇目一】观察立体图形：长方体和正方体。
【知识总览】
一、观察物体。
1.从不同位置观察立体图形的形状，一般是从前面、上面、左面三个方向观察，所看到的形状一般是不同的。
2.在画观察到的图形时，遵循三个原则：长对正、高平齐、宽相等。
二、还原立体图形。
1.从上面看到的图形中，小正方形内部的数表示的是在这个位置上所用的小正方体的个数。
2.从正面看到的图形中，视线从前往后，每列中最大的数即为这一列最高层的层数。
3.从左面看到的图形，视线从左往右，每行中最大的数即为这一行最高层的层数。
三、确定小正方体的数量。
1.标数法：
根据正面和侧面看到的形状在上面所看到的每个小正方形内标数，然后确定小正方体的个数。
2.分层记数。
根据三视图，了解层数，再分别判断每层的数量，最后把每层数量相加即可。
【典型例题1】观察物体。
一个几何体从上面看到的图形是，图形上的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数，这个几何体从正面看是（ ），从左面看是（ ）。
①②③④
A．①③B．②④C．③④D．②③
解析：B
【典型例题2】绘制三视图。
观察下面的物体，分别画出从正面、上面、左面看到的立体图形的形状。
解析：
如图：
【典型例题3】还原立体图形。
下面是笑笑从不同方向观察一个几何体看到的图形，这个几何体是（ ）。
A．B．C．D．
解析：A
【典型例题4】确定小正方体的数量。
1.一个由小正方体组成的立体图形，从不同的方向观察分别是正面，左面，上面，这个立体图形由( )个小正方体组成。
解析：6
2.一个立体图形，从左面看到的是，从正面看到的是。摆出这样的立体图形至少需要( )个相同的小正方体，最多需要( )个相同的小正方体。
解析：5；7
【典型例题5】三视图的变化。
1.给增加1个同样的小正方体，使几何体从上面看图形不变，有( )种摆法：若从正面看图形不变，有( )种摆法。
解析：4；4
2.小明用4个小正方体摆成了，他想再添一个小正方体。
（1）从前面看形状不变，有（ ）种添法；
（2）从右边看形状不变，有（ ）种添法。
解析：
小明用4个小正方体摆成了，他想再添一个小正方体。
（1）从前面看形状不变，有 6种添法；
（2）从右边看形状不变，有 5种添法。
【篇目二】长方体和正方体的棱长基本题型。
【知识总览】
一、长方体的认识。
1.长方体的特征：
注意：长方体的6个面都是长方形，特殊情况有两个面是正方形。
2.长方体的长、宽、高：
相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。
二、正方体的认识。
1.正方体的特征：
（1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。
（2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等。
2.正方体和长方体的关系：
总结：正方体是特殊的长方体。
三、长方体的棱长。
1.棱长和一般表示的是12条棱的长度之和.
2.长方体的棱长和=4x长+4×宽+4x高=4x（长+宽+高）。
3.根据棱长和公式反求长、宽、高。
长=棱长和÷4-宽-高
宽=棱长和÷4-长-高
高=棱长和÷4-长-宽
四、正方体的棱长。
1.正方体的棱长和=12x棱长
2.反求棱长，棱长=棱长和÷12
【典型例题1】长方体的棱长。
1.用铁丝焊接一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架，至少需要铁丝( )厘米。
解析：60
2.一个长方体的棱长总和是80cm，其中长是10cm，宽是7cm，高是( )cm。
解析：
80÷4－10－7
＝20－10－7
＝3（cm）
3.一个长、宽、高分别为40厘米、30厘米、20厘米的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？
解析：
（40＋30＋20）×4
＝90×4
＝360（厘米）
答：至少需要360厘米的胶带。
【典型例题2】正方体的棱长。
1.一根长96厘米的铁丝围成一个正方体，这个正方体的棱长是( )厘米。
解析：8
2.一个正方体棱长9cm，这个正方体的棱长总和是( )。
解析：108厘米
3.妈妈给奶奶买了一件母亲节礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要45厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？
解析：
8×25＋45
＝200＋45
＝245（厘米）
答：捆扎这个礼物一共需要245厘米丝带。
【典型例题3】棱长的综合应用。
一个棱长6分米的正方体钢块，把它融化后锻造成宽2.5分米，高3分米的长方体钢条，能锻造多长？
解析：
6×6×6÷（2.5×3）
＝216÷7.5
＝28.8（分米）
答：能锻造28.8分米长。
【篇目三】长方体和正方体的表面积基本题型。
【知识总览】
一、长方体的表面积。
1.长方体的表面积=2x（长x宽+长x高+宽x高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。
2.已知表面积，反求长、宽、高：方程法。
二、正方体的表面积。
正方体的表面积=6x棱长x棱长，用字母表示为：S=6a2。
三、长方体和正方体的棱长扩倍问题。
1.如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。
例如：若正方体的棱长扩大到原来的3倍，则它的表面积就扩大到原来的9倍。
如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。
四、染色问题。
三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面：
染三个面的小正方体数量∶8个。
染两个面的小正方体数量∶12×（a-2）。
染一个面的小正方体数量∶6×（a-2）x（a-2）。
没有染色的面的小正方体数量∶（a-2）×（a-2）×（a-2）。
【典型例题1】长方体的表面积。
1.一节长方体的通风管长是3分米，宽是2分米，高是8分米。做一节这样的通风管至少需要多大的铁皮？
解析：
3×2×2＋2×8×2
＝12＋32
＝44（平方分米）
答：做一节这样的通风管至少需要44平方分米的铁皮。
2.一个长方体的表面积是242平方厘米，它的宽是7厘米，高是3厘米。那么，聪明的你知道这个长方体的长是多少厘米吗?
解析：
方法一：用算术方法求解∶
（242÷2-21）÷（7+3）=10。
方法二：用方程求解∶
解：设长为c厘米，那么根据表面积公式可得出如下的方程：
2×（21+7×x+3×x）=242
解方程可得：x=10
答：这个长方体的长是10厘米。
【典型例题2】表面展开图求表面积。
下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？
解析：
高：8－5＝3（米）
长：（20－3×2）÷2
＝（20－6）÷2
＝14÷2
＝7（米）
宽：8－3×2
＝8－6
＝2（米）
（7×2＋7×3＋2×3）×2
＝（14＋21＋6）×2
＝41×2
＝82（平方米）
答：原来长方体盒子的表面积是82平方米。
【典型例题3】正方体的表面积。
1.一个玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长5分米，制作这个鱼缸至少需多少平方分米的玻璃？
解析：
5×5×5
＝25×5
＝125（平方分米）
答：制作这个鱼缸至少需要125平方分米的玻璃。
2.一个正方体的表面积是150平方分米，它的棱长是（ ）分米。
解析：5。
【典型例题4】棱长扩倍问题。
1.正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的（ ）倍。
A.3 B.9 C.12 D.27
解析：B
2.一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，把它的长、宽、高都扩大至原来的2倍，它的表面积扩大为原来的多少倍?
解析：4倍。
【典型例题5】组合立体图形的表面积。
1.把一个棱长为3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块的表面积是多少？
解析：
3×3×6－1×1×2＋3×1×2
＝54－2＋6
＝58（平方分米）
答：剩下部分的表面积是58平方分米。
2.求下面几何形体的表面积。（单位：厘米）
解析：
5×5×6＋5×2×4
＝25×6＋10×4
＝150＋40
＝190（平方厘米）
【典型例题6】染色问题。
将一个棱长5厘米的正方体表面涂色，再切割成棱长1厘米的小正方体，其中三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。
解析：8；36；54
【篇目四】长方体和正方体的表面积增减变化问题。
【知识总览】
表面积的增减变化问题主要有三种，一种是切片问题，表面积会相应增加，一种是拼接问题，表面积会相应减少，一种是高的变化引起的表面积变化。
1.切片问题：
（1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。
（2）刀数×2=切面个数。
2.拼接问题：
（1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。
（2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。
3.高的变化问题：
（1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。
（2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。
【典型例题1】切片问题。
1.把一个长12厘米，宽和高都是4厘米的长方体，分割成棱长4厘米的正方体，表面积比原来增加了多少？
解析：
4×4×4
＝16×4
＝64（平方厘米）
答：表面积比原来增加了64平方厘米。
2.把一个棱长是2cm的正方体切成两个完全一样的长方体后，表面积比原来增加了（ ）平方厘米，每个小长方体的表面积是（ ）平方厘米。
解析：8；16
3.一根长1米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了6平方分米。这根木料的体积是多少立方分米？如果每立方分米木料重1.5千克，这根木料重多少千克？
解析：
1米＝10分米
6÷2×10
＝3×10
＝30（立方分米）
1.5×30＝45（千克）
答：这根木料的体积是30立方分米，这根木料重45千克。
【典型例题2】拼接问题。
城关小学数学兴趣小组的同学将四个大小相同的正方体粘成一个长方体（如图）后，表面积减少54平方厘米，求长方体的表面积和体积。
解析：
54÷6＝9（平方厘米）
3×3＝9（平方厘米）
所以，正方体棱长是3厘米，那么有：
长方体长：4×3＝12（厘米）
长方体表面积：12×3×4＋3×3×2
＝144＋18
＝162（平方厘米）
长方体体积：12×3×3＝108（立方厘米）
答：它的表面积是162平方厘米，体积是108立方厘米。
【典型例题3】高的变化问题。
1.如果一个长方体的高减少4分米后，表面积就减少了1600平方厘米，这时正好变成了一个正方体，原长方体的体积是多少？
解析：
减少的面的宽（剩下正方体的棱长）
1600÷4÷40
＝400÷40
＝10（厘米）
原来长方体的高：
10＋40＝50（分米）
原来的体积：
10×10×50
＝100×50
＝5000（立方厘米）
答：原长方体的体积是5000立方厘米。
2.一个正方体的底面周长是40厘米，如果把它的高增加3厘米，则表面积比原来增加多少平方厘米？
解析：
根据题意可知，增加的面为前后、左右四个面，根据棱长＝底面周长÷4求出棱长，再根据“表面积增加的数量＝棱长×增加的高度×4”，解答即可。
40÷4＝10（厘米）
10×3×4
＝30×4
＝120（平方厘米）
3.一个长方体，如果高减少3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？
解析：
84÷4÷3
＝21÷3
＝7（厘米）
7＋3＝10（厘米）
7×7×10
＝49×10
＝490（立方厘米）
答：原长方体的体积是490立方厘米。
4.一个正方体的高增加了3厘米，得到一个新的长方体，这个长方体的表面积比原正方体的表面积增加了72平方厘米。新长方体的体积是多少？
解析：
72÷3＝24（厘米）
24÷4＝6（厘米）
6＋3＝9（厘米）
6×6×9＝324（立方厘米）
答：新长方体的体积是324立方厘米。
【篇目五】长方体和正方体的体积基本题型。
【知识总览】
一、体积及容积单位。
1.容积：
容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。
2.体积：
体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。
由于测量方法的不同，体积一般大于容积。
二、体积及容积单位换算。
1.体积及容积单位进率：
1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3；。
2.单位换算：
高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。
三、长方体的体积。
1.长方体的体积=长×宽×高，用字母表示V=abh。
2.长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。
3.宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。
4.高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。
四、正方体的体积。
正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。
五、体积的扩倍问题。
长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
六、排水法求不规则物体的体积。
形状不规则的物体可以用排水法求体积：
排水法的公式：V物体 =V现在－V原来
也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)
V物体 = S×h升高
【典型例题1】体积和容积单位。
在下面的横线上填上合适的单位名称。
工地上一堆沙子的体积约是8( )
一个水杯大约能盛水350( )
烧水壶能装水3( )
空调外机的体积约为420( )
解析：立方米；毫升；升；立方分米
【典型例题2】单位换算。
单位换算。
( )m2＝520dm2＝( )cm2
3.6L＝( )mL＝( )cm3=( )dm3
解析：5.2；52000；3600；3600；3.6
【典型例题3】长方体的体积。
1.某工地运来9.6立方米的沙子，铺在一个长6米、宽2.5米的沙坑里，可以铺多厚？
解析：
9.6÷6÷2.5＝0.64（米）
答：可以铺0.64米。
2.学校要砌一道长20米、宽2.4分米、高2米的墙，每立方米需要525块砖，学校需要买多少块砖？
解析：
2.4分米＝0.24米
20×0.24×2
＝4.8×2
＝9.6（立方米）
525×9.6＝5040（块）
答：学校需要买5040块砖。
【典型例题4】正方体的体积。
一个正方体玻璃容器的棱长是15厘米，体积是多少立方厘米？
解析：
15×15×15
＝225×15
＝3375（立方厘米）
答：体积是3375立方厘米。
【典型例题5】体积的扩倍问题。
长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的（ ）倍。
正方体的棱长扩大2倍，则体积扩大（ ）倍。
【典型例题6】折叠图形中的体积。
1.一块长、宽的长方形铁皮（如下图），从四个角各切掉一个边长的正方形，然后做成盒子。
（1）这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？
（2）它的容积是多少？
解析：
（1）80×40－10×10×4
＝3200－400
＝2800（平方厘米）
答：这个盒子用了2800平方厘米的铁皮。
（2）
（立方厘米）
答：它的容积是12000立方厘米。
2.在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个边长为的正方形后，正好可以折成一个无盖的铁盒，这个铁盒的表面积是多少？
解析：40×30-4×4×4=1136（平方厘米）
答：略。
【典型例题7】等积变形问题。
1.一个正方体实心铁块的棱长总和是48分米，现将它熔铸成一个底面积是32平方分米的实心长方体铁块，熔铸成的实心长方体铁块的高是多少分米？
解析：
48÷12＝4（分米）
4×4×4÷32
＝16×4÷32
＝64÷32
＝2（分米）
答：熔铸成的实心长方体铁块的高是2分米。
2.一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水深多少？
解析：
6×6×6÷30
＝216÷30
＝7.2（分米）
答：水深7.2分米。
3.如下图所示，密闭的容器中装有5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面把容器竖起来，这时水深多少厘米？
解析：
30×10×5÷（10×15）
＝300×5÷150
＝1500÷150
＝10（厘米）
答：这时水深10厘米。
【典型例题8】排水法求不规则物体的体积。
1.在一个底面长20厘米，宽15厘米的长方体水箱中，水面高度为10厘米，一块石头后水面上升到14厘米。这块石头的体积是多少？
解析：
20×15×（14－10）
＝300×4
＝1200（立方厘米）
答：这块石头的体积是1200立方厘米。
2.一个长为25厘米，宽为18厘米的长方形玻璃缸，水深20厘米，水下有一个棱长为3厘米的正方体铁块，若取出铁块，现在水深多少厘米？
解析：
现在水的体积：25×18×20=9000（立方厘米）
正方体铁块的体积：3×3×3=27（立方厘米）
取出铁块后的体积：9000-27=8973（立方厘米）
现在水深：8973÷25÷18=19.94（厘米）
答：略。
3.科学实验课上，乐乐先往一个棱长为2分米的正方体玻璃容器中倒入7升的水，再往容器中放入一块长15厘米、宽10厘米，高8厘米的铁块。请问。放入铁块后，玻璃容器里的水会溢出吗？如果会，溢出的水有多少升？
解析：
2×2×2＝8（立方分米）
7升＝7立方分米
15×10×8
＝150×8
＝1200（立方厘米）
1200立方厘米＝1.2立方分米
7＋1.2＝8.2（立方分米）
8.2立方分米＞8立方分米
8.2－8＝0.2（立方分米）
0.2立方分米＝0.2升
答：玻璃容器里的水会溢出，溢出的水有0.2升。
【典型例题9】组合例题图形的体积。
工程队要浇筑一个建筑构件（如图），这个建筑构件的体积是多少？
解析：
如图所示：
6×10×2＋2×（4－2）×10
＝60×2＋2×2×10
＝120＋40
＝160（立方米）
答：这个建筑构件的体积是160立方米。
【篇目六】图形的运动：平移和旋转。
【知识总览】
一、确定平移的方向和距离。
1.根据箭头指向确定平移方向。
2.找出平移前后的一组对应点，对应点之间格数表示的距离就是要平移的距离。
二、绘制平移后的图形。
1.在原图形上选几个能决定图形形状和大小的点；
2.按要求把所选的点向规定的方向平移规定的格数；
3.根据原图形的形状顺次连接平移后的点；
三、旋转及旋转现象。
1.旋转：旋转就是物体绕一个点向某一方向转动一定的角度。
2.旋转的特征：
旋转中心的位置不变，过旋转中心的所有边旋转的方向都相同，旋转的角
度也都相同；旋转后图形的形状、大小都没有发生变化，只是位置变了。
四、绘制旋转图形。
1.旋转中心：物体旋转时围绕的点；
2.旋转方向：与钟面上指针的旋转方向相同的方向称为顺时针方向，与钟面上指针的旋转方向相反的方向称为逆时针方向；
3.旋转角度：以旋转中心为顶点，物体绕旋转中心旋转的度数。
【典型例题1】平移的方向和距离。
1.如图，小狗先向( )平移1格，再向( )平移( )格才能吃到骨头。
解析：下；右；4
2.填一填。
（1）图①向（ ）平移了（ ）格。
（2）图②向（ ）平移了（ ）格。
（3）图③向（ ）平移了（ ）格。
（4）图④向（ ）平移了（ ）格。
解析：（1）左 ；7 ；（2）右；7 ；（3）下；6 ；（4）上；6
【典型例题2】绘制平移后的图形。
1.把向右平移3格后得到的图形涂上阴影。
解析：
作图如下：
2.画出三角形向下平移4格后的图形。
解析：
【典型例题3】确定旋转方向和角度。
1.如图，图1绕点O顺时针旋转90°得到图( )；图2绕点O( )时针旋转( )°，得到图3。
解析：4；逆；90
2.下图中图形②是图形①绕C点顺时针旋转（ ）°得到的。
A．180 B．45 C．90
解析：C
【典型例题4】绘制旋转图形。
1.把图A绕O点顺时针旋转90°。
解析：
如图：
2.在方格纸中，画出三角形AOB绕点O逆时针旋转90°后的图形。
解析：
如下图红色部分：
【典型例题5】钟表中的旋转问题。
1.钟表的分针从9到12，顺时针旋转( )°；从7到11，顺时针旋转( )°；从6开始，顺时针旋转180°正好到( )。
解析：90；120；12
2.钟表上的时针从数字“4”顺时针旋转90°到数字“( )”，从数字“10”逆时针旋转( )°到数字“8”。
解析：7；60
【典型例题6】平移和旋转综合作图。
1.画一画。
（1）画出图1的另一半，使它们成为轴对称图形。
（2）画出图2先向上平移3格，再向右平移7格后的图形。
（3）画出将图3绕点O沿逆时针方向旋转90°后的图形。
解析：
如图：
2.操作题。
（1）以直线MN为对称轴，画出与图形A轴对称的图形，得到图形B。
（2）将图形B绕点O顺时针旋转90°，得到图形C。
（3）将图形C向左平移6格，得到图形D。
解析：
（1）（2）（3）作图如下：