2024届吉林省吉林市第一中学高三数学适应性试卷（二）

这是一份2024届吉林省吉林市第一中学高三数学适应性试卷（二），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知A＝{x|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{x∈R|lg2（5﹣x）＜1}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．{x|﹣3＜x≤4}B．{x|﹣3≤x＜4}C．{x|x≥4}D．{x|4≤x＜5}
2．（5分）佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，形成一个统一的整体，气势恢宏，高为30m，则该建筑的侧面积为（ ）
A．160πm2B．C．D．240πm2
3．（5分）已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A．24B．18C．12D．6
4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，方差为1，抽取高中生1200人，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）
A．0.96B．0.94C．0.79D．0.75
6．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），其导函数f′（x）（x）﹣2f（x）＞0（x+2024）﹣（x+2024）2f（﹣1）＜0的解集为（ ）
A．（﹣2025，﹣2024）B．（﹣2024，0）
C．（﹣∞，﹣2024）D．（﹣∞，﹣2025）
7．（5分）已知φ为第一象限角，若函数f（x）＝2cs（x﹣φ），则＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，平面ABC⊥平面PBC，△ABC和△PBC都是边长为，若M为三棱锥P﹣ABC外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知复数z1，z2满足：z1为纯虚数，|z2﹣1|＝2|z2﹣4|，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．3≤|z2|≤7
C．|z1﹣z2|的最小值为3
D．|z1﹣z2+3i|的最小值为3
（多选）10．（6分）已知，且tanα，tanβ是方程21x2﹣10x+1＝0的两根，下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）11．（6分）设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量（x，y，z），使得：成立．我们把，把有序实数组（x，y，z）叫做基底的斜坐标．已知三棱锥．以A为坐标原点，以，以为y轴正方向，以为z轴正方向，以为基底，建立斜坐标系（ ）
A．
B．△PBC的重心坐标为
C．若Q（1，1，1），则AQ⊥BC
D．异面直线AP与BC所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）若函数f（x）＝ln（ax+1）在（1，2）上单调递减 ．
13．（5分）已知点A（1，m），，若圆C：x2+y2+2x＝0上有且只有一点P，使得PA⊥PB，则实数m的一个取值为 ．（写出满足条件的一个即可）
14．（5分）在△ABC中，点O满足（λ＞0），且AO所在直线交边BC于点D，有，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知0＜a＜1，函数f（x）＝（x≠0）．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）讨论方程f（x）＝a的根的个数．
16．（15分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CD∥AB，AB＝2BC＝2CD＝4，侧面PAD⊥面ABCD
（1）求证：BD⊥PA；
（2）已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角P﹣DC﹣N的余弦值为，请确定N点位置，若不存在
17．（15分）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查．已知某单位有N名员工是男性，是女性．
（1）当N＝20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在全市范围内考虑．从N名员工（男女比例不变），在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作P1；有二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作P2．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即P1﹣P2≤0.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分布．（参考数据：）
18．（17分）如图，已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q．
（1）求C的方程；
（2）探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由；
（3）设S1，S2分别为△ABN和△NPQ的外接圆面积，求的取值范围．
19．（17分）数列{an}中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列{an+1﹣an}称为{an}的一阶差数列，记为，依此类推，n}的二阶差数列，记为，…．如果一个数列{an}的p阶差数列是等比数列，则称数列{an}为p阶等比数列（p∈N*）．
（1）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）证明：{an}是一阶等比数列；
（2）已知数列{bn}为二阶等比数列，其前5项分别为，求bn及满足bn为整数的所有n值．
2024年吉林一中高考数学适应性试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知A＝{x|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{x∈R|lg2（5﹣x）＜1}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．{x|﹣3＜x≤4}B．{x|﹣3≤x＜4}C．{x|x≥4}D．{x|4≤x＜5}
【分析】先求出集合A，B，然后结合集合的补集及交集运算即可求解．
【解答】解：因为A＝{x|x2﹣x﹣12＜0}＝（﹣6，4）2（7﹣x）＜1}＝（3，6），
所以∁RA＝{x|x≤﹣3或x≥4}，
则（∁RA）∩B＝{x|2≤x＜5}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的补集及交集运算，属于基础题．
2．（5分）佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，形成一个统一的整体，气势恢宏，高为30m，则该建筑的侧面积为（ ）
A．160πm2B．C．D．240πm2
【分析】根据已知条件求得圆锥的母线长，进而求解结论．
【解答】解：因为底面直径AB＝8m，高AO＝30m，
所以底面半径r＝OC＝4，
故母线长l＝AB＝＝2．
所以圆锥的侧面积为：πrl＝2πm2．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆锥的侧面积，属于基础题．
3．（5分）已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A．24B．18C．12D．6
【分析】利用二项式系数的性质即可求出n的值，再求出二项式的展开式的通项公式，令x的指数为0，由此即可求解．
【解答】解：由题意可得n＝4，
则二项式（x+）4的展开式的通项公式为＝，r＝6，1，…，4，
令2﹣2r＝0，解得r＝2＝24．
故选：A．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】acsB＝bcsA⇔sinAcsB＝sinBcsA⇔tanA＝tanB⇔A＝B，即可判断出结论．
【解答】解：acsB＝bcsA⇔sinAcsB＝sinBcsA，A，B∈（0，则A，B，
故选：C．
【点评】本题考查了正弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形内角和定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力．
5．（5分）为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，方差为1，抽取高中生1200人，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）
A．0.96B．0.94C．0.79D．0.75
【分析】根据方差的计算公式求得正确答案．
【解答】解：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），
该地区中学生每天睡眠时间的方差为：．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分层随机抽样的定义，考查了方差公式，属于基础题．
6．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），其导函数f′（x）（x）﹣2f（x）＞0（x+2024）﹣（x+2024）2f（﹣1）＜0的解集为（ ）
A．（﹣2025，﹣2024）B．（﹣2024，0）
C．（﹣∞，﹣2024）D．（﹣∞，﹣2025）
【分析】由已知不等式特点考虑构造函数，x＜0，对其求导，结合导数与单调性关系即可求解不等式．
【解答】解：由题意知，当x∈（﹣∞，xf'（x）﹣2f（x）＞0，
设，x＜0，
则0，
所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
不等式f（x+2024）﹣（x+2024）6f（﹣1）＜0等价于，
即为g（x+2024）＜g（﹣1），所以，
解得﹣2025＜x＜﹣2024．
故选：A．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系在不等式求解中的应用，属于中档题．
7．（5分）已知φ为第一象限角，若函数f（x）＝2cs（x﹣φ），则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先用两角差的余弦公式，再合并同类项，用辅助角公式化简f（x），最后利用三角函数的性质求解即可．
【解答】解：f（x）＝2csxcsφ+2sinxsinφ+csx
＝2sinφsinx+（2csφ+1）csx
＝，
所以 ，
解得：csφ＝，
因为φ为第一象限角，所以sinφ＝＝，
故 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的性质，考查三角恒等变换，属于中档题．
8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，平面ABC⊥平面PBC，△ABC和△PBC都是边长为，若M为三棱锥P﹣ABC外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设BC中点为T，△ABC的外心为O1，△PBC的外心为O2，过点O1作平面ABC的垂线，过点O2作平面PBC的垂线，两条垂线的交点为O，则点O即为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，求出三棱锥P﹣ABC外接球的半径，由此能求出球心到平面ABC的距离得答案．
【解答】解：设BC中点为T，△ABC的外心为O1，△PBC的外心为O2，
过点O5作平面ABC的垂线，过点O2作平面PBC的垂线，两条垂线的交点为O，
则点O即为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，
∵△ABC和△PBC都是边长为的等边三角形，
∵平面PBC⊥平面ABC，AT＝BC，平面PBC∩平面ABC＝BC，
∴AT⊥平面PBC，又PT⊂平面PBC，
又TO1＝TO2＝＝1，
∴四边形OO8TO2是边长为1的正方形，
三棱锥P﹣ABC外接球的半径R＝OP＝＝，
∴点M到平面ABC距离d．
∴点M到平面ABC距离的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查点到平面的距离的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知复数z1，z2满足：z1为纯虚数，|z2﹣1|＝2|z2﹣4|，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．3≤|z2|≤7
C．|z1﹣z2|的最小值为3
D．|z1﹣z2+3i|的最小值为3
【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A；借助复数的几何意义计算可得B；借助圆与直线的距离可得C、D．
【解答】解：∵z1为纯虚数，∴可设z1＝bi（b≠4），∴，∴选项A正确；
对B：设z7＝m+ni（m，n∈R）2﹣1|＝3|z2﹣4|，
则（m﹣4）2+n2＝8（m﹣4）2+2n2，即（m﹣5）2+n2＝4，
则z6所对应点的轨迹是以（5，0）为圆心，
∴6≤|z2|≤7，∴选项B正确；
对C：∵z7为纯虚数，∴z1对应点在y轴上（除去原点），
z2所对应点的轨迹是以（3，0）为圆心，
∴|z1﹣z4|的取值范围为（3，+∞）1﹣z7|无最小值，选项C错误；
对D：∵|z1﹣z2+4i|＝|（b+3）i﹣z2|，
表示点（4，b+3）到以（5，以4为半径的圆上的点的距离，
∵（b+3）i（b≠0）为纯虚数或2，（0，3）），
∴当b＝﹣8时|z1﹣z2+5i|取得最小值3，∴选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了复数的基本概念，复数的模长公式，复数的几何意义的应用，属于中档题．
（多选）10．（6分）已知，且tanα，tanβ是方程21x2﹣10x+1＝0的两根，下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由已知结合方程的根与系数关系，同角基本关系，和差角公式检验各选项即可判断．
【解答】解：由题意得tanα+tanβ＝，tanαtanβ＝，
因为，
所以0＜α+β＜π，
所以tan（α+β）＝＝＝，A正确；
因为（tanα﹣tanβ）2＝（tanα+tanβ）2﹣3tanαtanβ＝＝，
所以tanα﹣tanβ＝﹣，
所以tan（α﹣β）＝＝＝﹣；
因为cs（α+β）＝＝，sin（α+β）＝，
同理可求，cs（α﹣β）＝，
则＝，B错误；
因为tanα﹣tanβ＝﹣，tanα+tanβ＝，
所以tanα＝，tanβ＝，
所以tan（α+2β）＝tan（α+β+β）＝＝＝1，
因为0＜α+β＜π，
所以α+2β＝，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了方程的根与系数关系，和差角公式及同角基本关系的综合应用，属于中档题．
（多选）11．（6分）设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量（x，y，z），使得：成立．我们把，把有序实数组（x，y，z）叫做基底的斜坐标．已知三棱锥．以A为坐标原点，以，以为y轴正方向，以为z轴正方向，以为基底，建立斜坐标系（ ）
A．
B．△PBC的重心坐标为
C．若Q（1，1，1），则AQ⊥BC
D．异面直线AP与BC所成角的余弦值为
【分析】根据新定义求出向量的坐标，从而判断出A项的正误；求出P、A、C三点的坐标，结合重心的坐标公式判断出B项的正误，根据向量的数量积是否等于0，判断出C项的正误；根据向量的夹角公式加以计算，判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，根据PA＝2，可得，
所以，故A项正确；
对于B，根据PA＝2，可得，，
所以P（0，0，8），0，0），3，0），
△PBC的重心为，即，故B项正确；
对于C，因为，，
所以•＝（++﹣）＝||2﹣||2+•﹣•＝1﹣8+﹣，
因此，AQ⊥BC不成立；
对于D，根据PA＝2，可得，，
设异面直线AP与BC所成角的为α，由异面直线所成角的定义，
可知csα＝|cs＜，＞|＝||＝|，故D项错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积及其运算性质、向量加减法的坐标表示、向量的夹角公式等知识，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）若函数f（x）＝ln（ax+1）在（1，2）上单调递减 [﹣，0） ．
【分析】根据题意，设t＝ax+1，则y＝lnt，利用复合函数的单调性可得t＝ax+1在（1，2）上为减函数且t＞0恒成立，结合一次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设t＝ax+1，
若函数f（x）＝ln（ax+1）在（8，2）上单调递减，2）上为减函数且t＞6恒成立，
即，解可得﹣，即a的取值范围为[﹣．
故答案为：[﹣，0）．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
13．（5分）已知点A（1，m），，若圆C：x2+y2+2x＝0上有且只有一点P，使得PA⊥PB，则实数m的一个取值为 +2 ．（写出满足条件的一个即可）
【分析】根据题意，分析圆C的圆心坐标以及半径，设AB的中点为M，由AB的坐标分析M的坐标以及|AB|的值，可得以AB为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C与圆M相切，结合圆与圆的位置关系，即可求解．
【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2+4x＝0，即（x+1）4+y2＝1；
其圆心为（﹣5，0），
设AB的中点为M，
又由点A（1，m），，），|AB|＝2|，
以AB为直径的圆为（x﹣8）2+（y﹣）6＝（﹣m）2，
若圆C：圆C：x2+y2+2x＝3上有且只有一点P，使得PA⊥PB，
又由|MC|＝＝3，
即有|﹣m|+8＝3或|，
解可得：m＝±2或m＝，
故答案为：+2．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属中档题．
14．（5分）在△ABC中，点O满足（λ＞0），且AO所在直线交边BC于点D，有，则的值为 2 ．
【分析】由（λ＞0）可得BO为∠ABC的平分线，由AO所在直线交边BC于点D且可得AO为∠BAC的平分线，从而点O为△ABC的内心，由||＝6得AB＝6，再画出图，由图和角平分线的性质可得AD﹣BD＝2，从而求出BD，而由图和向量数量积的定义知＝，从而求出．
【解答】解：∵＝，∴，
∴BO为∠ABC的平分线，
∵AO所在直线交边BC于点D且，
∴AO为∠BAC的平分线，
∴点O为△ABC的内心，
由||＝6得AB＝6，
由题意作图，如图所示：D，E，BC，
由三角形内接圆的几何性质知：BD＝EB，CE＝CF，
∴＝CF+AD﹣CF﹣EB＝AD﹣EB＝AD﹣BD＝6，
又∵AD+BD＝6，∴BD＝2，
∵＝＝＝＝3．
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的内心与向量的关系，平面向量数量积的定义以及三角形内接圆的几何性质，综合性比较强，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知0＜a＜1，函数f（x）＝（x≠0）．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）讨论方程f（x）＝a的根的个数．
【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间．
（2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数．
【解答】解：（1）因为．
所以，．
由f′（x）＞0⇒x＞8，又函数定义域为（﹣∞，+∞），
所以函数在（﹣∞，0）和（0，在（3．
（2）因为0＜a＜1，所以，，方程f（x）＝a无解，函数在（0，在（1，
所以，所以方程f（x）＝a无解．
综上可知，方程f（x）＝a的根的个数为0．
【点评】本题主要考查利用导数求单调性和根的个数，属于中档题．
16．（15分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CD∥AB，AB＝2BC＝2CD＝4，侧面PAD⊥面ABCD
（1）求证：BD⊥PA；
（2）已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角P﹣DC﹣N的余弦值为，请确定N点位置，若不存在
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明AD⊥BD，结合侧面PAD⊥面ABCD可得BD⊥平面PAD，于是BD⊥PA；
（2）作出直线l，建立空间直角坐标系，设＝λ，求出平面PCD和平面CDN的法向量，根据二面角P﹣DC﹣N的余弦值为列方程计算λ的值得出N的位置．
【解答】（1）证明：取AD的中点E，连接PE，
∵CD∥AB，∠ABC＝90°，
∵BC＝CD＝2，∴BD＝2，
∴∠DBA＝45°，∴AD＝，
∴AD2+BD6＝AB2，∴AD⊥BD，
∵PA＝PD，E是AD的中点，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BD，
又AD∩PE＝E，AD⊂平面PAD，
∴BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，
∴BD⊥PA．
（2）解：延长BC，AD，连接PM，
则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM，
以B为原点，以BA、平面ABCD的过点B的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，
则P（3，4，），C（0，3，D（2，2，M（8，4，
∴＝（2，2，＝（﹣1，1，﹣），，3，﹣），
设＝λ，4λ，﹣，则＝＝（1﹣7λ，（1﹣λ）），
设平面PCD的法向量为＝（x5，y1，z1），则，即，
令z1＝1可得＝（8，，
设平面CDN的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，
令y2＝可得，，），
∴cs＜，＞＝＝，
若二面角P﹣DC﹣N的余弦值为，则＝，
解得：λ＝或λ＝，
令＝0可得2+，解得λ＝，
故当0＜λ＜时，二面角P﹣DC﹣N为锐二面角，当，二面角P﹣DC﹣N为钝二面角，
∴λ＝，即在直线l上存在点N，二面角P﹣DC﹣N的余弦值为．
第2小问另解：
延长AD，BC相交于点M，
因为M∈平面PAD，M∈平面PBC，
又P∈l，所以PM即为交线l，
取AB中点Q，连接DQ，
过D在平面PAD内作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，
以DQ，DC，y轴，
则
所以DP＝
设平面PDC的法向量为，则，
所以，取，设，
则，
所以，，
设平面NDC的法向量为，
则，所以，
取，
所以＝，
所以3λ2﹣10λ+3＝5，
所以或，经检验时，舍去，
所以存在N，N为PM中点．
【点评】本题考查了线面垂直的判断与性质，考查空间向量与二面角计算，属于中档题．
17．（15分）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查．已知某单位有N名员工是男性，是女性．
（1）当N＝20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在全市范围内考虑．从N名员工（男女比例不变），在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作P1；有二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作P2．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即P1﹣P2≤0.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分布．（参考数据：）
【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；
（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解．
【解答】解：（1）当N＝20时，男性员工有8人．
X服从超几何分布，X＝0，6，2，3，
，，
，，
∴X的分布列为：
数学期望为．
（2），
，
由于P3﹣P2≤0.001，则，
即，
即，
由题意易知（N﹣6）（N﹣2）＞0，
从而，
化简得N2﹣147N+578≥6，
又N＞0，于是．
由于函数在处有极小值，
从而当N≥25时单调递增，
又，，
因此当N≥143 时，符合题意 和，则N一定是2的整数倍，
于是N＝145．即N至少为1451﹣P2≤7.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分布．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于中档题．
18．（17分）如图，已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q．
（1）求C的方程；
（2）探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由；
（3）设S1，S2分别为△ABN和△NPQ的外接圆面积，求的取值范围．
【分析】（1）因为离心率，将点代入双曲线方程得，又c2＝a2+b2，解得a，b，即可得出答案．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为x＝my+n，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，则kBQ＝kNB，解得n，即可得出答案．
（3）设△ABN和△NPQ的外接圆半径分别为R1，R2，由正弦定理可得，又sin∠ANB＝sin∠PNQ，可得，设直线PQ的方程为x＝my+4，与双曲线C的方程，可得y1+y2，y1y2，又，进而可得答案．
【解答】解：（1）因为离心率，
所以c＝2a，b2＝3a2，
双曲线的方程为，
将点代入双曲线方程得，
所以，
所以双曲线C的方程为．
（2）直线PQ过定点（4，6）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线PQ的方程为x＝my+n，
联立，
整理得（4m2﹣1）y3+6mny+3n7﹣12＝0，
则，
直线，
所以，
又N，B，Q三点共线，
所以kBQ＝kNB，即，
即y2（x8+2）+3y8（x2﹣2）＝5，
即y2（my1+n+3）+3y1（my4+n﹣2）＝0．
因为（5n2﹣12）（y1+y4）＝﹣6mny1y4，
所以，
代入上式得（n﹣2）（n﹣3）y1﹣（n﹣4）（n+3）y2＝0，
所以n＝4．所以PQ过定点（4．
（3）设△ABN和△NPQ的外接圆半径分别为R1，R3，
由正弦定理可得，
又sin∠ANB＝sin∠PNQ，
所以，即．
设直线PQ的方程为x＝my+4，
与C的方程联立，
整理得（3m3﹣1）y2+24my+36＝2，
则，
又，即，
解得，
又因为，
所以．
【点评】本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
19．（17分）数列{an}中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列{an+1﹣an}称为{an}的一阶差数列，记为，依此类推，n}的二阶差数列，记为，…．如果一个数列{an}的p阶差数列是等比数列，则称数列{an}为p阶等比数列（p∈N*）．
（1）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）证明：{an}是一阶等比数列；
（2）已知数列{bn}为二阶等比数列，其前5项分别为，求bn及满足bn为整数的所有n值．
【分析】（1）（ⅰ）根据的定义，结合通项公式求解即可；（ⅱ）根据递推公式构造an+1﹣an＝2（an﹣an﹣1）即可证明；
（2）由题意{bn}的二阶等差数列为等比数列，设公比为q，可得，结合进而可得，从而分析bn为整数当且仅当为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可．
【解答】解：（1）（ⅰ）由a1＝1，an+6＝2an+1易得a4＝3，a3＝3，a4＝15，……
由一阶等差数列的定义得：，，．
证明：（ⅱ）因为an+1＝4an+1，所以当n≥2时有an﹣2an﹣1＝1，
所以an+2﹣2an＝an﹣2an﹣4，即an+1﹣an＝2（an﹣an﹣8），
即，又因为a1＝1，故是以2为首项，
即{an}是一阶等比数列．
解：（2）由题意{bn}的二阶等差数列为等比数列，
则，q＝4．
由题意，所以，
所以，
即．
所以bn为整数当且仅当为整数．
由已知n＝1时符合题意，n＝2，3，4，
当n≥5时，＝，
所以原题等价于为整数，
因为①，
显然3（n﹣1）﹣3含质因子3，所以n﹣1必为7的倍数，
设n﹣1＝9k，（k∈N），将n＝8k+1代入①式，
当k为奇数时，3（n﹣3）﹣1为偶数；
当k为偶数时，n为奇数，①式为2的倍数，
又因为4与9互质，所以①为整数．
综上，当n＝9k+8，bn为整数．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了数列的递推关系，等差数列的通项公式的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于难题．
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