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山东省泰安第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题(01)
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这是一份山东省泰安第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题(01)，共5页。试卷主要包含了下列说法中，正确的个数为，下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。
出题人：侯衍翠 审题人：宁淼淼
满分：150分 时间：120分钟
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合A={x|1x-1<12}，B={x|x2-6x+8<0}，则∁RA∪B=（ ）
A．{x|22}D．{x|x<4}
2．设a∈R，则“a>-2”是“函数fx=2x2+4ax+1在2,+∞上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列说法中，正确的个数为（ ）
①样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
③随机变量ξ服从正态分布N1,σ2，若Pξ<3=0.8，则P1<ξ<3=0.3
④随机变量X服从二项分布B4,p，若方差DX=34，则PX=1=364
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球n∈N*，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为920，设X为取出白球的个数，则EX=（ ）
A．32B．12C．1D．2
5．下列判断正确的是（ ）
A．函数fx=x2+9+1x2+9的最小值为2
B．命题“∀x>0,2021x+2021>0”的否定是“∃x0≤0,2021x0+2021≤0”
C．若mx2-mx-2<0对∀x∈R恒成立，则-8D．“x+y≠4”是“x，y不都是2”的充分条件
6．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48B．32C．24D．16
7．已知由样本数据点集合{xi,yi|i=1,2,⋯,n}，求得回归直线方程为y=2x-1，且x=3，现发现两个数据点2.4,3.1和3.6,6.9误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则错误的是（ ）
A．变量x与y具有正相关关系B．去除后的回归方程为y=1.2x+1.4
C．去除后y的估计值增加速度变慢D．去除后相应于样本点2.5,4的残差为0.4
8．若0A．12B．1C．eD．2e
二.多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5（例如10100），其中A的各位数中akk=2,3,4,5出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X=a2+a3+a4+a5，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布B．PX=1=881C．X的均值EX=83D．X的方差DX=83
10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球、A1表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A2表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是（ ）
A．A1、A2为对立事件B．PB|A1=411
C．PA1B=211D．PB|A1+PB|A2=1
11．已知函数fx=x2+1lnx-mx2-1，则下列说法正确的是（ ）
A．当m=-1时，曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=2x-2
B．若对任意的x1,x2∈0,+∞x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2>0，则实数m的取值范围是(-∞,1]
C．当m>1时，fx既存在极大值又存在极小值
D．当m>1时，fx恰有3个零点x1,x2,x3，且x1x2x3=1
三.填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．记f'x，g'x分别为函数fx，gx的导函数.若存在x0∈R，满足fx0=gx0且f'x0=g'x0，则称x0为函数fx与gx的一个“S点”.已知：m,n∈R，若函数fx=mx2+nx与gx=lnx存在“S点”，则实数m的取值范围为 .
13．已知1-2x51+ax4的展开式中x2的系数为-26，则实数a的值为 .
14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用Ai表示i号箱有奖品i=1,2,3，用Bi表示主持人打开i号箱子i=2,3，则PA2|B3= .
四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知集合A={x|-3（1）当a=1时，求A∩B；
（2）设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
16．（15分）在x-2x28的展开式中：
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第k项是有理项，求k的取值集合.
（3）系数的绝对值最大的项是第几项.
17．（15分）新冠肺炎疫情防控时期，各级各类学校纷纷组织师生开展了“停课不停学”活动，为了解班级线上学习情况，某位班主任老师进行了有关调查研究.
（1）从班级随机选出5名同学，对比研究了线上学习前后两次数学考试成绩，如表：
求y关于x的线性回归方程：
参考公式：在线性回归方程y=bx+a中，b=∑ni=1xi-xyi-y∑ni=1xi-x2=∑ni=1xiyi-nxy∑ni=1xi2-nx2，a=y-bx.
（2）针对全班45名同学（25名女生，20名男生）的线上学习满意度调查中，女生满意率为80%，男生满意率为75%，填写下面列联表，判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为线上学习满意度与学生性别有关？
参考公式和数据：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d.
18．（17分）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神.甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元.
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开.当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
19．（17分）已知fx=-12e2x+4ex-ax-5.
（1）当a=3时，求fx的单调区间；
（2）若fx有两个极值点x1,x2，证明：fx1+fx2+x1+x2<0.
【参考答案】
泰安二中2022级高二下学期6月月考
数学试题
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．B
二.多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．ABC 10．ABC 11．BCD
三.填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．[-12e3,+∞)
13．3或113
14．23
四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1） 解：当a=1时，gx=x-a+1x-a=x-2x-1，
由题意x-2x-1≥0，解得x<1或x≥2，所以B={x|x<1或x≥2}，
又A={x|-3所以A∩B=-3,1∪{2}.…………8’
（2） 由题意x-a+1x-a≥0，即x-a[x-a+1]≥0x-a≠0，解得：x≥a+1或x所以B={x|x≥a+1或x因为p是q的充分不必要条件，
所以A⊂≠B，
所以a>2或a+1≤-3，…………12’
解得a>2或a≤-4，…………13’
故实数a的取值范围(-∞,-4]∪2,+∞.
16．（1） 解：Tr+1=C8rx8-r-2x2r=-1rC8r2rx4-52r，r=0,1,⋯,8，
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
所以T5=-14C8424x4-202=1120x-6；…………5’
（2） Tr+1=C8rx8-r-2x2r=-1rC8r2rx4-52r，r=0,1,⋯,8，当4-52x为整数时为有理项，即r=0,2,4,6,8，
则k的取值集合为{1,3,5,7,9}；…………10’
（3） 设第r+1项的系数的绝对值最大，
即C8r2r≥C8r-12r-1C8r2r≥C8r+12r+1，所以2r≥19-r18-r≥2r+1，解得5≤r≤6，
故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项.…………15’
17．（1） 解 由题可得线上学习前后两次数学考试的平均成绩：x=100，y=120，…………2’
在线性回归方程y=bx+a中，b=∑ni=1xi-xyi-y∑ni=1xi-x2=∑ni=1xiyi-nxy∑ni=1xi2-nx2，a=y-bx.
所以在线性回归方程b=∑ni=1xi-xyi-y∑ni=1xi-x2=20×25+10×10+0+15×10+20×20202+102+02+102+202=1.15，
a=y-bx=120-1.15×100=5.…………7’
故线性回归方程为：y=1.15x+5，…………8’
（2） 列联表如下：
则K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d=45×75-100220×25×35×10=956≈0.161.…………13’
因为0.161<6.635，
所以在犯错误概率不超过0.01的前提下，不能认为线上学习满意度与学生性别有关.……15’
故答案为：在犯错误概率不超过0.01的前提下，不能认为线上学习满意度与学生性别有关.
18．（1） 解：由题意可知X所有可能取值为2，3，4，PX=2=332=13，PX=3=A32C2133=49，PX=4=A3333=29，…………3’
所以X的分布列如下：
（2） 设甲一次性购买x个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为Z，
依题意，x可取0，1，2，3，…………6’
方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用Z1=3×30=90元；…7’
方案2：购买1个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用Z2=19+2×30=79元；…………9’
方案3：购买2个盲盒时，
当2个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下一款吉祥物，
总费用Z2=2×19+30=68，PZ3=68=A3232=23，
当2个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外2款吉祥物，
总费用Z3=2×19+2×30=98，PZ3=98=C31×13×13=13，
所以EZ3=68×23+98×13=78元；…………12’
方案4：购买3个盲盒时，
当3个盲盒打开后款式各不相同，则总费用Z4=3×19=57，PZ4=A33133=29，
当3个盲盒打开后恰有2款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，
总费用Z4=3×19+30=87，PZ4=87=C32C21C31×13×13×13=23，
当3个盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用Z4=3×19+60=117，PZ4=117=C31×133=19，
所以EZ4=57×29+87×23+117×19=2513元；…………16’
对比4个方案可知，第3个方案总费用的期望值最小，
故应该一次性购买2个吉祥物盲盒.…………17’
19．（1） 解：当a=3时，f'x=-e2x+4ex-3=-ex-1ex-3，
令f'x>0得0ln3；
故fx的单调递增区间为0,ln3，单调递减区间为-∞,0和ln3,+∞，…………4’
（2） 证明：f'x=-e2x+4ex-a，令t=ex，
则-t2+4t-a=0有两个不相等的正实数解为t1=ex1，t2=ex2，
则Δ=16-4a>0，t1+t2=4，t1t2=a>0，即0则ex1+ex2=4，ex1⋅ex2=a（或x1+x2=lna），
fx1+fx2+x1+x2=-12e2x1+4ex1-ax1-5-12e2x1+4ex1-ax1-5+x1+x2
=-12e2x1+e2x2+6-alna+lna=-1216-2a+6+1-alna=1-alna+a-2，…10’
设ga=1-alna+a-20设ha=g'a=1a-lna，h'a=-1a2-1a<0，故ha单调递减，…………12’
而h1=1>0，ln2=12-ln2<0，
故存在唯一的实数a0∈1,2使ha0=0，即lna0=1a0，…………14’
当00，此时ga单调递增；当a0所以ga的最大值为ga0=1-a0lna0+a0-2=a0+1a0-3，…………16’
由a0∈1,2得a0+1a0∈2,52，故ga0<0，从而ga<0，
即fx1+fx2+x1+x2<0，得证.…………17’线上学习前成绩x
120
110
100
90
80
线上学习后成绩y
145
130
120
105
100
满意人数
不满意人数
合计
男生
女生
合计
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
满意人数
不满意人数
合计
男生
15
5
20
女生
20
5
25
合计
35
10
45
X
2
3
4
P
13
49
29
出题人：侯衍翠 审题人：宁淼淼
满分：150分 时间：120分钟
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合A={x|1x-1<12}，B={x|x2-6x+8<0}，则∁RA∪B=（ ）
A．{x|2
2．设a∈R，则“a>-2”是“函数fx=2x2+4ax+1在2,+∞上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列说法中，正确的个数为（ ）
①样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
③随机变量ξ服从正态分布N1,σ2，若Pξ<3=0.8，则P1<ξ<3=0.3
④随机变量X服从二项分布B4,p，若方差DX=34，则PX=1=364
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球n∈N*，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为920，设X为取出白球的个数，则EX=（ ）
A．32B．12C．1D．2
5．下列判断正确的是（ ）
A．函数fx=x2+9+1x2+9的最小值为2
B．命题“∀x>0,2021x+2021>0”的否定是“∃x0≤0,2021x0+2021≤0”
C．若mx2-mx-2<0对∀x∈R恒成立，则-8
6．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48B．32C．24D．16
7．已知由样本数据点集合{xi,yi|i=1,2,⋯,n}，求得回归直线方程为y=2x-1，且x=3，现发现两个数据点2.4,3.1和3.6,6.9误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则错误的是（ ）
A．变量x与y具有正相关关系B．去除后的回归方程为y=1.2x+1.4
C．去除后y的估计值增加速度变慢D．去除后相应于样本点2.5,4的残差为0.4
8．若0
二.多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5（例如10100），其中A的各位数中akk=2,3,4,5出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X=a2+a3+a4+a5，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布B．PX=1=881C．X的均值EX=83D．X的方差DX=83
10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球、A1表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A2表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是（ ）
A．A1、A2为对立事件B．PB|A1=411
C．PA1B=211D．PB|A1+PB|A2=1
11．已知函数fx=x2+1lnx-mx2-1，则下列说法正确的是（ ）
A．当m=-1时，曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=2x-2
B．若对任意的x1,x2∈0,+∞x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2>0，则实数m的取值范围是(-∞,1]
C．当m>1时，fx既存在极大值又存在极小值
D．当m>1时，fx恰有3个零点x1,x2,x3，且x1x2x3=1
三.填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．记f'x，g'x分别为函数fx，gx的导函数.若存在x0∈R，满足fx0=gx0且f'x0=g'x0，则称x0为函数fx与gx的一个“S点”.已知：m,n∈R，若函数fx=mx2+nx与gx=lnx存在“S点”，则实数m的取值范围为 .
13．已知1-2x51+ax4的展开式中x2的系数为-26，则实数a的值为 .
14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用Ai表示i号箱有奖品i=1,2,3，用Bi表示主持人打开i号箱子i=2,3，则PA2|B3= .
四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知集合A={x|-3
（2）设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
16．（15分）在x-2x28的展开式中：
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第k项是有理项，求k的取值集合.
（3）系数的绝对值最大的项是第几项.
17．（15分）新冠肺炎疫情防控时期，各级各类学校纷纷组织师生开展了“停课不停学”活动，为了解班级线上学习情况，某位班主任老师进行了有关调查研究.
（1）从班级随机选出5名同学，对比研究了线上学习前后两次数学考试成绩，如表：
求y关于x的线性回归方程：
参考公式：在线性回归方程y=bx+a中，b=∑ni=1xi-xyi-y∑ni=1xi-x2=∑ni=1xiyi-nxy∑ni=1xi2-nx2，a=y-bx.
（2）针对全班45名同学（25名女生，20名男生）的线上学习满意度调查中，女生满意率为80%，男生满意率为75%，填写下面列联表，判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为线上学习满意度与学生性别有关？
参考公式和数据：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d.
18．（17分）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神.甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元.
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开.当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
19．（17分）已知fx=-12e2x+4ex-ax-5.
（1）当a=3时，求fx的单调区间；
（2）若fx有两个极值点x1,x2，证明：fx1+fx2+x1+x2<0.
【参考答案】
泰安二中2022级高二下学期6月月考
数学试题
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．B
二.多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．ABC 10．ABC 11．BCD
三.填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．[-12e3,+∞)
13．3或113
14．23
四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1） 解：当a=1时，gx=x-a+1x-a=x-2x-1，
由题意x-2x-1≥0，解得x<1或x≥2，所以B={x|x<1或x≥2}，
又A={x|-3
（2） 由题意x-a+1x-a≥0，即x-a[x-a+1]≥0x-a≠0，解得：x≥a+1或x
所以A⊂≠B，
所以a>2或a+1≤-3，…………12’
解得a>2或a≤-4，…………13’
故实数a的取值范围(-∞,-4]∪2,+∞.
16．（1） 解：Tr+1=C8rx8-r-2x2r=-1rC8r2rx4-52r，r=0,1,⋯,8，
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
所以T5=-14C8424x4-202=1120x-6；…………5’
（2） Tr+1=C8rx8-r-2x2r=-1rC8r2rx4-52r，r=0,1,⋯,8，当4-52x为整数时为有理项，即r=0,2,4,6,8，
则k的取值集合为{1,3,5,7,9}；…………10’
（3） 设第r+1项的系数的绝对值最大，
即C8r2r≥C8r-12r-1C8r2r≥C8r+12r+1，所以2r≥19-r18-r≥2r+1，解得5≤r≤6，
故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项.…………15’
17．（1） 解 由题可得线上学习前后两次数学考试的平均成绩：x=100，y=120，…………2’
在线性回归方程y=bx+a中，b=∑ni=1xi-xyi-y∑ni=1xi-x2=∑ni=1xiyi-nxy∑ni=1xi2-nx2，a=y-bx.
所以在线性回归方程b=∑ni=1xi-xyi-y∑ni=1xi-x2=20×25+10×10+0+15×10+20×20202+102+02+102+202=1.15，
a=y-bx=120-1.15×100=5.…………7’
故线性回归方程为：y=1.15x+5，…………8’
（2） 列联表如下：
则K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d=45×75-100220×25×35×10=956≈0.161.…………13’
因为0.161<6.635，
所以在犯错误概率不超过0.01的前提下，不能认为线上学习满意度与学生性别有关.……15’
故答案为：在犯错误概率不超过0.01的前提下，不能认为线上学习满意度与学生性别有关.
18．（1） 解：由题意可知X所有可能取值为2，3，4，PX=2=332=13，PX=3=A32C2133=49，PX=4=A3333=29，…………3’
所以X的分布列如下：
（2） 设甲一次性购买x个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为Z，
依题意，x可取0，1，2，3，…………6’
方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用Z1=3×30=90元；…7’
方案2：购买1个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用Z2=19+2×30=79元；…………9’
方案3：购买2个盲盒时，
当2个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下一款吉祥物，
总费用Z2=2×19+30=68，PZ3=68=A3232=23，
当2个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外2款吉祥物，
总费用Z3=2×19+2×30=98，PZ3=98=C31×13×13=13，
所以EZ3=68×23+98×13=78元；…………12’
方案4：购买3个盲盒时，
当3个盲盒打开后款式各不相同，则总费用Z4=3×19=57，PZ4=A33133=29，
当3个盲盒打开后恰有2款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，
总费用Z4=3×19+30=87，PZ4=87=C32C21C31×13×13×13=23，
当3个盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用Z4=3×19+60=117，PZ4=117=C31×133=19，
所以EZ4=57×29+87×23+117×19=2513元；…………16’
对比4个方案可知，第3个方案总费用的期望值最小，
故应该一次性购买2个吉祥物盲盒.…………17’
19．（1） 解：当a=3时，f'x=-e2x+4ex-3=-ex-1ex-3，
令f'x>0得0
故fx的单调递增区间为0,ln3，单调递减区间为-∞,0和ln3,+∞，…………4’
（2） 证明：f'x=-e2x+4ex-a，令t=ex，
则-t2+4t-a=0有两个不相等的正实数解为t1=ex1，t2=ex2，
则Δ=16-4a>0，t1+t2=4，t1t2=a>0，即0
fx1+fx2+x1+x2=-12e2x1+4ex1-ax1-5-12e2x1+4ex1-ax1-5+x1+x2
=-12e2x1+e2x2+6-alna+lna=-1216-2a+6+1-alna=1-alna+a-2，…10’
设ga=1-alna+a-20
而h1=1>0，ln2=12-ln2<0，
故存在唯一的实数a0∈1,2使ha0=0，即lna0=1a0，…………14’
当0
由a0∈1,2得a0+1a0∈2,52，故ga0<0，从而ga<0，
即fx1+fx2+x1+x2<0，得证.…………17’线上学习前成绩x
120
110
100
90
80
线上学习后成绩y
145
130
120
105
100
满意人数
不满意人数
合计
男生
女生
合计
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
满意人数
不满意人数
合计
男生
15
5
20
女生
20
5
25
合计
35
10
45
X
2
3
4
P
13
49
29
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