[数学]浙江省金华十校2022-2023学年高一下学期期末联考试题（解析版）

这是一份[数学]浙江省金华十校2022-2023学年高一下学期期末联考试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】不等式化为：，解得，即，
而，所以.
故选：C.
2. 已知是虚数单位，复数与的模相等，则实数的值为（ ）
A. B. C. ±11D. 11
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
由已知，所以.
故选：A.
3. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，则二次函数的图象开口向上，
对称轴为直线，
因为外层函数在上为减函数，函数在区间上为增函数，
所以，内层函数在上为减函数，故.
故选：D.
4. 已知的内角的对边分别是，面积满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，所以，
所以，又，所以.
故选：D.
5. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为向量，
所以向量在向量方向上的投影向量是.
故选：A.
6. 已知表示三个不同平面，表示三条不同直线，则使“”成立的一个充分非必要条件是（ ）
A. 若，且
B. 若，且
C. 若
D. 若
【答案】D
【解析】对于A，由，，易得，所以无法推得，故A错误；
对于B，当,时，有可能出现，所以不一定推得，故B错误；
对于C，当平面为正方体同一个顶点的三个面时，交于一点，
所以不一定推得，故C错误；
对于D，因为，所以，又，所以，
又，，所以，
同理：，所以，则充分性成立；
当时，可以同在平面内，则必要性不成立；故D正确.
故选：D.
7. 一个圆柱形粮仓，高1丈3尺寸，可容纳米2000斛，已知1丈尺寸，1斛米立方寸，若取3，则该圆柱形粮仓底面的周长是（ ）
A. 440寸B. 540寸C. 560寸D. 640寸
【答案】B
【解析】依题意得，圆柱形粮仓底面半径为尺，粮仓高尺，
于是粮仓的体积，解得尺，
所以该圆柱形粮仓底面的周长为尺寸.
故选：B.
8. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
，所以，
又，，
因，所以，综上，.
故选：C.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 若函数的图象经过点，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 点为函数图象的对称中心
C. 直线为函数图象的对称轴
D. 函数的单调增区间为
【答案】AC
【解析】因为函数图象经过点，
则，
因为，所以，，则，
对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，，故点不是函数图象的对称中心，
B错；
对于C选项，，故直线为函数图象的对称轴，C对；
对于D选项，由得，
因此，函数的单调增区间为，D错.
故选：AC.
10. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与互斥B.
C 事件与相互独立D.
【答案】BD
【解析】由题意得，事件的样本点为，事件的样本点为，
事件的样本点为，
对于A，事件与共有样本点2,3，所以不互斥，故A错误；
对于B，事件样本点，所以，故B正确；
对于C，，，事件样本点，
所以，所以事件与不相互独立，故C错误；
对于D，事件样本点，所以，
故D正确.
故选：BD.
11. 在中，角的对边分别是，且满足，则（ ）
A.
B. 若，则的周长的最大值为
C. 若为的中点，且，则的面积的最大值为
D. 若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为9
【答案】ACD
【解析】因为，所以，
因为，所以，
则，因为，所以，故A正确；
若，则的外接圆半径为：，
，，，
，周长的最大值为9，故B错误；
因为为的中点，且，所以，
则，所以，当且仅当时，
等号成立，所以，故C正确；
由题意得：，即，
即，即，
所以 ，当且仅当时，
等号成立，故D正确.
故选：ACD.
12. 在三棱锥中，两两垂直，，点分别在侧面和棱上运动且为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的内切球的半径为
B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 点到底面的距离的最小值为
D. 三棱锥的体积的最大值为
【答案】BC
【解析】对于A，因为两两垂直，，
所以，，
，
所以，
设三棱锥的内切球的半径为，
则，
所以，
解得，所以A错误；
对于B，因为两两垂直，所以将三棱锥补成如图所示的长方体，
则长方体的体对角线等于三棱锥外接球的直径，
设三棱锥外接球半径为，
则，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为，所以B正确；
对于C，因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，所以，
因为为线段的中点，所以，
所以点的轨迹是以为球心，1为半径的球面上，
设点到平面的距离为，
因为，所以，
所以，解得，
所以点到底面的距离的最小值为，所以C正确，
对于D，由选项C可知点的轨迹是以为球心，1为半径的球面上，
因为的面积为定值，所以当点到底面的距离最大值时，
三棱锥的体积最大，
设球面分别交于点，
因为，所以当点与点或重合时，点到底面的距离最大，
设为，则有，得，
所以三棱锥的体积的最大值为，所以D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某射击运动员在一次射击测试中，射靶次，每次命中的环数如下：，记这组数的众数为，第百分位数为，则__________.
【答案】16
【解析】由已知数据可得众数为，即，
将个数据按从小到大排列可得，
因为，
所以第百分位数为从小到大排列的第个数，所以，
所以.
故答案为：.
14. 已知圆锥表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥底面半径是__________.
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
因为圆锥的表面积为，所以，即，
又圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，即，所以(cm).
故答案为：.
15. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】分别表示与方向的单位向量，
故所在直线为的平分线所在直线，
又，故的平分线与垂直，
由三线合一得到，取的中点，
因为，故，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，，
则，
当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：.
16. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数.
（1）求函数单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求在的值域.
解：（1），
由，得到，
所以函数单调递增区间.
（2），
，，
所以函数在的值域为.
18. 已知是夹角为的单位向量，.
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）若，且，求的最小值.
解：（1）因为是夹角为的单位向量，所以，
所以
（2）因为，
所以，
，
，又，
，
，
当时，取最小值，.
19. 如图，三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，设点分别为的中点.
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求平面与平面的夹角余弦值.
解：（1）由知，，
又分别为的中点，
所以，所以
由等边三角形及为的中点知，，
且平面.
所以平面，又平面，
所以
（2）在中，，
又，
可得，故，
所以三棱锥的体积，
又.
（3）记平面与平面的的交线为，
由面面，
得平面，
又面，面面，故有，
又由（1）（2）可知，所以，
取的中点，连接，
，又，
则就是面与面的夹角，
在中，，
，，
则
20. 袋子和中均装有若干个质地均匀的红球和白球，其中袋有20个红球和10个白球，从袋中摸一个球，摸到红球的概率为.
（1）若袋中的红球和白球总共有15个，将两个袋子中的球全部装在一起后，从中摸出一个白球的概率是，求的值；
（2）从袋中有放回地摸球，每次摸出一个，当有3次摸到红球即停止，求恰好摸次停止的概率.
解：（1）因为从袋中摸一个球，摸到红球的概率为，
所以从袋中摸一个球，摸到白球的概率为，
又袋中的红球和白球总共有15个，
所以袋中白球个数为，
因为将两个袋子中的球全部装在一起后，从中摸出一个白球的概率是，
又袋有20个红球和10个白球，
所以，解得.
（2）由已知，
又，
，
.
21. 树人中学名师生参加了对学校教学管理满意度的评分调查，按样本量比例分配的分层随机抽样方法，抽取个师生的评分（满分分），绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
（1）求图中的值；
（2）若师生的满意指数不低于，则该校可获评“教学管理先进单位”，根据你所学的统计知识，判断该校是否能获奖，并说明理由.（注：满意指数）
（3）假设在样本中，学生、教师的人数分别为、.记所有学生的评分为、、、，其平均数为，方差为，所有教师的评分为、、、，其平均数为，方差为，总样本评分的平均数为，方差为，若，，试估计该校等级为满意的学生的最少人数.
解：（1）由频率和为得，
解得.
（2）由题意可得，师生的满意指数为
，
该校可获评“教学管理先进单位”.
（3）由可得，，
所以，
，
所以，即，
令，则，，
即，解得或，
因为且，得，所以，
估计该校等级为满意的学生人数最少为人.
22. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）已知函数的图象经过，
（i）若，求的值；
（ii）若的三个零点为，且，求的值.
解：（1），
，
.
（2）由题设有，故，故，
（i）
.
（ii）因为，
所以，
若，
则，
由（1）可知，当时，，所以，
所以也是函数的三个零点，
由，求得，所以，
由，求得，所以，
由，求得，所以，
所以，
同理可得，
又记，
所以
.满意度评分
低于分
分到分
分到分
分及以上
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意