2023-2024学年合肥一六八中学高一下学期数学期末模拟试题

这是一份2023-2024学年合肥一六八中学高一下学期数学期末模拟试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数（为虚数单位），则复数的实部为（ ）
A．2B．1C．D．
2．已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若非零向量与满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
4．设m、n为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A．若m上有两个点到平面的距离相等，则
B．若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件
C．若，，，则
D．若m、n是异面直线，，，，，则
5．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．下列抽样试验中，适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
7．在中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ）

A．() mB．() m
C．() mD．() m
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，，为复数，，下列命题中正确的是（ ）
A．若则B．若则
C．若则D．
10．长沙市周南中学高二某班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示．
记事件：“在班级里随机选一人，选到男生”
事件：“在班级里随机选一人，选到团员”
下列说法正确的是（ ）
A．事件的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生”
B．事件与事件互斥
C．，
D．事件与事件相互独立
11．如图，棱长为2的正方体的外接球的球心为O，E、F分别为棱AB、的中点，G在棱BC上，则（ ）
A．对于任意点G，平面EFG
B．存在点G，使得平面EFG
C．直线EF被球O截得的弦长为
D．过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为，则电路接通的概率为 .
13．若向量满足，，，则 .
14．如图，在棱长为的正方体中，已知是的中点，点分别在上，则周长的最小值为 ．

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．中，内角所对的边分别为.
(1)求的值.
(2)求的值.
16．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若，求的坐标；
(3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
17．某学校进行了垃圾分类知识普及的系列培训讲座及实践活动，现对高二学生进行综合检测，从中按比例抽取了30名学生的成绩，其频率分布表如图所示.
(1)求和，并估计高二年级全体学生本次垃圾分类综合检测的合格率（分数在为合格），若合格率低于，将增加培训的次数，请根据抽样结果分析并判断是否增加培训次数.
(2)从样本中成绩在的学生中随机选2人，求恰有2人成绩位于的概率.
18．几何体中，是正方形，是直角梯形，，，，，，为的中点.

(1)若平面平面，求证：.
(2)求几何体的体积
19．如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得点到点的位置，连接，为的中点.
(1)若平面平面，求点到平面的距离；
(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.
团员
非团员
合计
男生
16
9
25
女生
14
6
20
合计
30
15
45
分数段
频数
2
4
9
4
频率
参考答案：
1．A
【分析】利用复数乘法计算即得.
【详解】复数，所以复数的实部为2.
故选：A
2．D
【分析】利用单位向量的定义与向量数量积运算即可得解.
【详解】对于A，因为是两个单位向量，但两者方向不一定相同，
所以不一定成立，故A错误；
对于B，，显然不一定成立，故B错误；
对于C，，则，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
3．D
【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断.
【详解】因为分别为与同向的单位向量，
因为，可知的角平分线与BC垂直，则，
又因为，即，
且，则，所以是等边三角形.
故选：D.
4．D
【分析】对于A，m与可以相交，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等；对于B，C，根据面面垂直的判定及性质进行判断；对于D，根据面面平行的判定定理进行判断.
【详解】对于A，当直线m与相交时，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等，故A错误；
对于B，若，，，则，又，所以；当时，，当时，，可以相交，所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，若，，，m与n位置关系不固定，可以是各自平面内的任意直线，故C错误；
对于D，若m、n是异面直线，，，，，则在直线任取一点，过直线与点确定平面，，又，则，，，所以，又，，所以，故D正确.
故选：D.
5．A
【分析】根据题意，由条件可得球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果.
【详解】设球的半径为，则，解得，
所以球的表面积为，
故选：A.
6．B
【分析】根据抽签法的适用条件，结合选项依次判断即可.
【详解】选项A，总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法，故A不符合题意；
选项B，总体中的个体数较小，样本容量也较小，
且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法，故B符合题意；
选项C，甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，
不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法，故C不符合题意；
选项D，总体中的个体数较大，不适合用抽签法，故D不符合题意.
故选：B
7．B
【分析】根据正弦定理先算出，由大边对大角分析出是锐角，然后根据正余弦的关系进行求解
【详解】根据正弦定理，，
结合题干数据可得，，
注意到，根据大边对大角，则，
于是，则.
故选：B
8．B
【分析】设，在中，根据正切用表示，中，正弦定理建立与的等量关系，可求解，从而确定选项.
【详解】设，则.
在中，，
∴＝，即＝，
解得.
故选：B.
9．ABD
【分析】对于A，化成，结合复数相等的知识即可求解；对于B，利用复数代数形式求解即可；对于C，举出反例即可；对于D，利用复数的向量表示作图即可判断.
【详解】设（），
对于A，若，则，
因为，结合复数相等的知识，所以，
所以选项A正确；
对于B，由，所以，
所以，
，
，
同理：，
所以，所以选项B正确；
对于C，令，，但是，
所以选项C错误；
对于D，设分别表示复数，

由，若不共线时，
如图：，即，

若共线且反向时，
如图： 易知，

若共线且同向时，
如图：易知，
综上：，所以选项D正确.
故选：ABD.
10．AC
【分析】根据对立事件的概念可判断A；根据互斥事件的概念可判断B；根据古典概型可判断C；根据相互独立事件的概念可判断D.
【详解】对于A，事件的对立事件为:“在班级里随机选一人,选到女生”，故A正确；
对于B，事件与事件可以同时发生，故不互斥，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，结合选项C可知，，
​​​​​​​故事件与事件不相互独立，故D错误.
故选:AC.
11．BCD
【分析】A选项，举出反例；B选项，取为的中点时，证明平面即可判断；C选项，求出球心到EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离，从而求出截面面积最小值.
【详解】对于A，当与重合时，平面，平面，
此时直线与平面相交，A错误；
对于B，因为四边形为正方形，则，
当为的中点时，，则，
因为平面，平面，则，
因为，平面，则平面，
因为平面，所以，同理，，
因为，平面，所以平面，即平面，
B正确；
对于C，取的中点，因为，为的中点，则，
所以，同理可得，则.
因为平面，平面，则，
所以，，则，
球的半径为，
所以直线被球截得的弦长为，C正确；
设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则.
因为，则，所以截面圆面积，
即截面圆面积的最小值为，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合空间中点、线、面的位置关系确定线面的位置关系，进而求出弦长及截面面积的最小值.
12．
【分析】借助相互独立事件的概率公式求解即可得.
【详解】电路接通的概率为：.
故答案为：.
13．
【分析】由题意，解得，又，代入已知数据，可得的值.
【详解】由，有，即，得.
又，得.
故答案为：.
14．/
【分析】将分别沿展开到与平面共面的位置，由此可得所求最小值为，利用余弦定理可求得结果.
【详解】将分别沿展开到与平面共面的位置，如下图所示，其中点为原来的点，
的周长（当且仅当四点共线时取等号），
，
，
，
，即周长的最小值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理可得，结合余弦定理可得的值，即可得的值；
（2）借助二倍角公式与两角和的余弦公式计算即可得.
【详解】（1）由结合正弦定理可得：，
由余弦定理可得，
则；
（2），
，
.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据三点共线，得，即可列等量关系求解，
（2）根据坐标运算即可求解，
（3）根据向量相等即可列方程求解.
【详解】（1）.
因为三点共线，所以存在实数，使得，
即，得.
因为是平面内两个不共线的非零向量，所以解得
（2）
（3）因为四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以.
设，则，
因为，所以，
解得，即点的坐标为．
17．(1)，合格率为，不需要增加培训的次数
(2)
【分析】（1）根据频数、频率之间的关系即可求得；由频率分布表可计算合格率，即可得结论；
（2）列举出随机选2人所有可能的情况，再确定恰有2人成绩位于的情况，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得.
，
分数在的频率为.
样本中合格率达，估计高二年级全体学生本次垃圾分类综合检测的合格率达，不需要增加培训的次数.
（2）成绩在有4人，记为，在内有3人，记为，
从成绩位于中的学生中任取2人，有，共21种取法.
恰有2人成绩位于的有共3种取法.
则恰有2人成绩位于的概率.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证平面，根据线面平行的性质定理证明线线平行.
（2）采用切割法，把几何体切割成两个规则的几何体，再求它们的体积之和.
【详解】（1）因为， ，所以，
又为的中点，得：，
故四边形是平行四边形，
平面平面，
所以：平面.
又平面，
平面平面，
所以：.
（2），即，
平面，所以平面.
平面，
又平面，所以：平面.
连接，则，
又平面得
平面，即三棱柱为直三棱柱且为三棱锥的高.

19．(1)
(2)
【分析】（1）连接,，根据面面垂直的性质可得平面，然后利用锥体的体积公式结合等积法即得；
（2）取的中点，可得为二面角的平面角，然后利用余弦定理结合条件可得，进而即得.
【详解】（1）解：连接，，则，
平面平面，平面平面＝AC，平面，
平面，又平面，
，又正方形的边长为，
,，
设点到平面的距离为，则，
，
，即点到平面的距离；
（2）取的中点，连接，，
，
，，
为二面角的平面角，，
由题可知，
在中，，，，，
，
.