【新结构】2023-2024学年新疆乌鲁木齐地区高三第二次质量监测数学试题(含详细答案解析)

这是一份【新结构】2023-2024学年新疆乌鲁木齐地区高三第二次质量监测数学试题(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=1+1i，则复数z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知集合M=1,2,3,4,N=xx2∈M，则M∩N=( )
A. 1B. 1,2C. 1,4D. ⌀
3.“x>2”是“x>3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.抛物线y2=2px过点2,2，则焦点坐标为( )
A. 0,0B. 14,0C. 12,0D. 1,0
5.设等比数列an的首项为1，公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1也是等比数列，则q=( )
A. −2B. 12C. 1D. 2
6.设x>0，函数y=x2+x−7,y=2x+x−7,y=lg2x+x−7的零点分别为a,b,c，则( )
A. a7.已知角α0∘<α<360∘终边上A点坐标为sin310∘,cs310∘，则α=( )
A. 130∘B. 140∘C. 220∘D. 230∘
8.设x1,x2是函数fx=x3+ax2+x+1的两个极值点，若x1+3x2=−2，则a=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数fx=ex−e−x2,gx=ex+e−x2，则( )
A. 函数fx在R上单调递增B. 函数fxgx是奇函数
C. 函数fx与gx的图象关于原点对称D. g2x=fx2+gx2
10.数学中有个著名的“角谷猜想”，其中数列an满足：a1=m(m为正整数)，an+1={an2,当an为偶数时3an+1,当an为奇数时，则( )
A. m=5时，a6=1
B. m=5时，在所有an的值组成的集合中，任选2个数都是偶数的概率为25
C. a5=4时，m的所有可能取值组成的集合为M=8,10,64
D. 若所有an的值组成的集合有5个元素，则m=16
11.已知点A−1,0,B1,0，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之和是2.设动点Mx,y的轨迹为曲线C，则( )
A. 曲线C关于原点对称
B. x的范围是xx≠0,y的范围是R
C. 曲线C与直线y=x无限接近，但永不相交
D. 曲线C上两动点Pa,b,Qc,d，其中a<0,c>0，则PQmin=2 2 2−2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的渐近线方程为y=±34x，则其离心率为__________；
13.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，内壁是光滑的镜面．一束光线从A点射出，在正方体内壁经平面BCC1B1反射，又经平面ADD1A1反射后到达C1点，则从A点射出的入射光线与平面BCC1B1的夹角的正切值为__________
14.已知A1,A2,A3,A4,A5五个点，满足：AnAn+1⋅An+1An+2=0n=1,2,3，AnAn+1An+1An+2=nn=1,2,3，则A1A5的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知fx=2x+1lnx−x22，曲线fx在x=1处的切线方程为y=ax+b.
(1)求a,b；
(2)证明fx≤ax+b.
16.(本小题15分)
如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4，将△ABD沿对角线BD进行翻折，得到三棱锥A−BCD,E是AB中点，F是DE中点，P在线段AC上，且PF//平面BCD.
(1)求APPC；
(2)若AB⊥CD，求平面ABC与平面ACF的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的比例为4:1.
(1)若选择分层抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均重量为240克，方差为300，小果的单果平均重量为190克，方差为320，试估计果园苹果的单果平均重量、方差；
(2)现用一台分选机进行筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为10%，把小果筛选为大果的概率为5%，经过分选机筛选后，现从筛选出来的“大果”里随机抽取一个，问这个“大果”是真的大果的概率．
18.(本小题17分)
在△ABC中，点M,N分别为BC,AC的中点，AM与BN交于点G，AM=3,∠MAB=45∘.
(1)若AC=5 2，求中线BN的长；
(2)若△ABC是锐角三角形，求四边形GMCN面积的取值范围．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点Ax1,y1,Bx2,y2之间的“距离”为AB=x2−x1+y2−y1，我们把到两定点F1−c,0,F2c,0c>0的“距离”之和为常数2aa>c的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设c=1,a=2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A，过F2作直线交C于M,N两点，△AMN的外心为Q，求证：直线OQ与MN的斜率之积为定值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义，属于基础题.
先求出z，再写出坐标，即可得到答案.
【解答】
解：z=1+1i=1+ii2=1−i，
则复数z在复平面内对应的点为1,−1，在第四象限，
故选：D.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了集合的交集，属于基础题.
先求出集合N，再根据交集直接运算即可.
【解答】
解：因为M=1,2,3,4,N=xx2∈M，
所以N={±1,± 2,± 3,±2}，
所以M∩N={1,2}，
故选：B.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了充分、必要、充要条件的判断，属于基础题.
由x>2⇏x>3且x>3⇒x>2可得解.
【解答】
解：∵x>2⇏x>3，
又∵x>3⇒x>2，
∴“x>2”是“x>3”的必要不充分条件.
故选：B
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的焦点，属于简单题.
代入所过的点可求p的值，从而可求焦点坐标.
【解答】
解：因为抛物线y2=2px过点2,2，
所以4=4p，
故p=1，
故y2=2x，
故焦点坐标为(12,0).
故选：C.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等比数列前n项和中的基本量计算，属于一般题.
先讨论q是否为1，再由{Sn+1}是等比数列，得Sn+12=Sn−1+1Sn+1+1，故可求q.
【解答】
解：由题意可知，a1=1，a2=q，a3=q2，
若{an}为常数列，则S1+1=2,S2+1=3,S3+1=4，不为等比数列，与题意不合；
若q≠1，则Sn=a1⋅qn−1q−1=qn−1q−1，
若{Sn+1}也是等比数列，则Sn+12=Sn−1+1Sn+1+1，n≥2,n∈N*.
即qn+q−2q−12=qn−1+q−2q−1⋅qn+1+q−2q−1⇒
2qnq−2=q−2qn−1+qn+1⇒qn−1q−2q−12=0，
解得q=2或q=1(舍去).
故选：D.
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查利用指数函数的图像与性质比较大小，利用对数函数的图像与性质比较大小，属于中档题.
由题意a,b,c分别为函数y=−x+7与函数y=x2,y=2x,y=lg2x图象交点的横坐标，作出函数y=x2,y=−x+7,y=2x,y=lg2x的图象，结合函数图象即可得解.
【解答】
解：分别令y=x2+x−7=0,
y=2x+x−7=0,y=lg2x+x−7=0,x>0，
则x2=−x+7,2x=−x+7,lg2x=−x+7，
则a,b,c分别为函数y=−x+7
与函数y=x2,y=2x,y=lg2x图象交点的横坐标(在y轴右侧)，
分别作出函数y=x2,y=−x+7,y=2x,y=lg2x的图象，
如图所示，

由图可知，a故选：A.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.
先确定角α的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解.
【解答】
解：因为sin310∘<0,cs310∘>0，
所以角α的终边在第二象限，
又因为tanα=cs310∘sin310∘=cs360∘−50∘sin360∘−50∘=cs50∘−sin50∘
=cs140∘−90∘−sin140∘−90∘=sin140∘cs140∘=tan140∘，
且0∘<α<360∘，
所以α=140∘.
故选：B.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数根据极值或极值点求参，属于中档题.
先求导，再结合已知条件和根与系数的关系即可求出结果.
【解答】
解：由题意得f′x=3x2+2ax+1，
又x1,x2是函数的两个极值点，
则x1,x2是方程3x2+2ax+1=0的两个根，不妨设x1故x1+x2=−2a3,x1x2=13，
又x1+3x2=−2，
则x1=−3x2−2，
即x1x2=(−3x2−2)⋅x2=13，
解得x2=−13，则x1=−1，
所以x1+x2=−13−1=−2a3，
解得a=2，
此时Δ=42−4×3×1=4>0，满足题意.
故选：C.
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查函数的对称性，判断函数的奇偶性，以及指数函数的单调性与最值，属于中档题.
根据指数函数的单调性可判断选项A的正误，根据奇函数的定义可判断选项B的正误，根据fx过原点可判断选项C的正误，将fx2+gx2化简后可判断选项D的正误.
【解答】
解：对于A，y=ex,y=−e−x均为R上的增函数，故fx=ex−e−x2在R上单调递增，
故A正确；
对于B，令Fx=fxgx=e2x−e−2x4，其中x∈R，
而F−x=e−2x−e2x4=−Fx，故Fx为R上的奇函数，故B正确；
对于C，f0=0，故fx的图象过原点，
若函数fx与gx的图象关于原点对称，则gx的图象也过原点，
但g0=1，矛盾，故函数fx与gx的图象不关于原点对称，故C错误；
对于D，fx2+gx2=ex−e−x2+ex+e−x24=e2x+e−2x2=g2x，故D正确.
故选：ABD.
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查根据数列的递推公式求数列的项，古典概型及其计算，以及数列的周期性，属于较难题.
将a1=5代入递推公式即可判断A；写出所有an的值组成的集合中的元素，再根据古典概型即可判断B；根据递推公式，讨论前一项的奇偶即可判断C；若所有an的值组成的集合有5个元素，则集合中的元素为1,2,4,8,16，再验证即可判断D.
【解答】
解：对于A，当m=5时，
则a1=5,a2=16,a3=8,a4=4,a5=2,a6=1，故A正确；
对于B，当m=5时，
则a1=5,a2=16,a3=8,a4=4,a5=2,a6=1,a7=4,a8=2，
所以数列an从第4项起，是以3为周期的周期数列，
所以所有an的值组成的集合为1,2,4,5,8,16，
从中任选2个数都是偶数的概率为C42C62=615=25，故B正确；
对于C，当a5=4时，
若a4为奇数，则3a4+1=4，故a4=1，
若a4为偶数，则a42=4，故a4=8，
若a4=1，则a32=1或3a3+1=1，所以a3=2或a3=0(舍去)，
由a3=2，得a22=2或3a2+1=2，所以a2=4或a2=13(舍去)，
由a2=4，得a12=4或3a1+1=4，所以a1=8或a1=1 ；
若a4=8，则a32=8或3a3+1=8，所以a3=16或a3=73(舍去)，
由a3=16，得a22=16或3a2+1=16，所以a2=32或a2=5，
由a2=32，得a12=32或3a1+1=32，所以a1=64或a1=313(舍去)，
由a2=5，得a12=5或3a1+1=5，所以a1=10或a1=43(舍去)，
综上所述，a1=1或a1=8或a1=10或a1=64，
所以m的所有可能取值组成的集合为M=1,8,10,64，故C错误；
对于D，若所有an的值组成的集合有5个元素，则集合中的元素为1,2,4,8,16，
若a1=1，则a2=4,a3=2,a4=1，
所以数列an是以3为周期的周期数列，
此时所有an的值组成的集合只有3个元素，不符题意；
若a1=4，则a2=2,a3=1,a4=4，
所以数列an是以3为周期的周期数列，
此时所有an的值组成的集合只有3个元素，不符题意；
若a1=2，则a2=1,a3=4,a4=2,a5=1，
所以数列an是以3为周期的周期数列，
此时所有an的值组成的集合只有3个元素，不符题意；
若a1=8，则a2=4,a3=2,a4=1,a5=4,a6=2，
所以数列an从第2项起，是以3为周期的周期数列，
此时所有an的值组成的集合只有4个元素，不符题意；
若a1=16，则a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=4,a7=2，
所以数列an从第3项起，是以3为周期的周期数列，
此时所有an的值组成的集合有5个元素，符合题意，
所以若所有an的值组成的集合有5个元素，则m=16，故D正确.
故选：ABD.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了两点间的距离公式，直线斜率公式的应用，属于难题.
设Mx,y，根据题意求出曲线C的轨迹方程，再将−x,−y代入即可判断A；结合直线AM,AN的斜率都存在即可判断B；判断x趋于无穷大时，y−x是否趋于0即可判断C；求出PQ最小时，a,c的关系，再结合基本不等式即可判断D.
【解答】
解：设Mx,y，由题意kAM+kBM=2，
即yx+1+yx−1=2，化简得xy=x2−1，
即y=x2−1x=x−1x(x≠0且x≠±1)，
对于A，将−x,−y代入得−y=−x−1−x，即y=x−1x，
所以曲线C关于原点对称，故A正确；
对于B，由A选项知，x的范围是xx≠0且x≠±1，故B错误；
对于C，由y=x−1x，得y−x=−1x，
当x→+∞时，−1x→0，即y−x→0，
当x→−∞时，−1x→0，即y−x→0，
所以曲线C与直线y=x无限接近，但永不相交，故C正确；
对于D，要使PQ最小，则曲线C在P,Q两点的切线平行，
由y=x−1x，得y′=1+1x2，则1+1a2=1+1c2，所以a2=c2，
因为a<0,c>0，所以a=−c，
则P−c,−c+1c,Qc,c−1c，
所以PQ= 2c2+2c−2c2= 8c2+4c2−8≥ 2 8c2⋅4c2−8=2 2 2−2，
当且仅当8c2=4c2，即c= 22时取等号，
所以PQmin=2 2 2−2，故D正确.
故选：ACD.
12.【答案】54
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的渐近线，离心率，属于基础题.
根据渐近线方程求出ba，再根据双曲线的离心率公式即可得解.
【解答】
解：因为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的渐近线方程为y=±34x，
所以ba=34，
所以离心率e= 1+b2a2=54.
故答案为：54.
13.【答案】3 22
【解析】【分析】
本题考查了直线与平面所成角的向量求法，属于一般题.
利用对称性可求入射光线与平面BCC1B1的交点坐标，从而可求线面角的正切值.
【解答】
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0,C12,2,2,B2,0,0，则C1关于平面ADD1A1的对称点M−2,2,2，
而A关于平面BB1C1C的对称点的坐标为N4,0,0，
设直线NM与平面BB1C1C的交点分别为T，则入射光线为AT，
设T2,m,n，则存在实数λ，使得MN=λMT，
所以6,−2,−2=λ4,m−2,n−2，故6=4λ−2=λm−2−2=λn−2，故m=23n=23，
故T2,23,23，故BT=2 23，
因为AB⊥平面BB1C1C，故AT与平面BB1C1C所成的角为∠ATB，
而BT⊂平面BB1C1C，故BT⊥AB，故tan∠ATB=3 22.
故答案为：3 22 .
14.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查向量模的坐标表示，考查由基本不等式求最值，属于中档题.
根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出|A1A5|，再用基本不等式求解出最值即可.
【解答】
解：因为AnAn+1An+1An+2=nn=1,2,3，
所以A1A2A2A3=1，A2A3A3A4=2，A3A4A4A5=3，
由题意设|A1A2|=x，则|A2A3|=1x，A3A4=2x,A4A5=32x，
设A1(0,0)，如图，因为求|A1A5|的最小值，
则A2(x,0)，A3(x,1x)，A4(−x,1x)，A5(−x,−12x)，
所以|A1A5|2=x2+14x2≥2 x2⋅14x2=1，
当且仅当x2=14x2，即x= 22时取等号，
所以|A1A5|的最小值为1.
故答案为：1.
15.【答案】解：(1)由fx=2x+1lnx−x22求导可得：f′x=2lnx+2x+1⋅1x−x=2lnx−x+1x+2，x>0,
则f′1=2，
所以曲线fx在点x=1处的切线斜率为k=2，
又因为f1=−12，
所以切线方程为：y+12=2x−1，
即y=2x−52，
所以a=2,b=−52；
证明：(2)要证明fx≤ax+b，
只要证2x+1lnx−x22−2x+52≤0，
设gx=2x+1lnx−x22−2x+52，x>0,
则g′(x)=2x+1x+2lnx−x−2=2ln x+1x−x，
令hx=2lnx+1x−x，x>0，
则h′x=2x−1x2−1=−x−12x2≤0，
所以hx在0,+∞上单调递减，又h1=0，
所以当x∈0,1时，hx>0，即g′x>0，
则gx在0,1上单调递增，
当x∈1,+∞时，hx<0，即g′x<0，
则gx在1,+∞上单调递减，
所以gx≤g1=0，
所以fx≤ax+b.

【解析】本题主要考查求曲线上一点的切线方程(斜率、倾斜角)，利用导数解(证明)不等式，属于中档题.
(1)根据导数的几何意义求出曲线y=fx在点x=1处的切线方程即可得a，b的值；
(2)要证明fx≤ax+b，只要证2x+1lnx−x22−2x+52≤0，令gx=2x+1lnx−x22−2x+52，求出其单调性证明gx≤g1=0即可.
16.【答案】解：(1)如图，取BE的中点M，连接MP,MF，
因为F是DE中点，所以MF//BD，
又MF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，
所以MF//平面BCD，
又PF//平面BCD，MF∩PF=F,MF,PF⊂平面PMF，
所以平面PMF//平面BCD，
又平面ABC∩平面PMF=PM，平面BCD∩平面ABC=BC，
所以PM//BC，
所以APPC=AMMB=3；
(2)因为AB⊥CD,BC⊥CD,AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC，
所以CD⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC，
则AC= 42−32= 7，
则AC2+AB2=BC2，所以AB⊥AC，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
则AH=AB⋅ACBC=3 74，CH= 72−(3 74)2=74，
如图，以点C为原点建立空间直角坐标系，
则A0,74,3 74,B0,4,0,C0,0,0,D3,0,0,E0,238,3 78,F32,2316,3 716，
故CA=0,74,3 74,CF=32,2316,3 716，
设平面ACF的法向量为n=x,y,z，
则有n⋅CA=74y+3 74z=0n⋅CF=32x+2316y+3 716z=0，令z= 7，则y=−3,x=2，
所以n=2,−3, 7，
因为x轴⊥平面ABC，则可取m=1,0,0为平面ABC的一个法向量，
故|cs m,n|=|m⋅n||m|⋅|n|=21×2 5= 55，
所以平面ABC与平面ACF的夹角的余弦值为 55.

【解析】本题考查平面与平面夹角的向量求法，面面垂直的性质，属于中档题.
(1)取BE的中点M，连接MP,MF，证明平面PMF//平面BCD，再根据面面平行的性质证得PM//BC，即可得解；
(2)先证明CD⊥平面ABC，再以点C为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
17.【答案】解：(1)抽取的100个苹果中，大果的个数为45×100=80，小果的个数为15×100=20，
设大果的单果平均重量为x1，方差为s12，小果的单果平均重量为x2，方差为s22，
则x1=240，s12=300，x2=190，s22=320，
则100个苹果的平均重量为110080×240+20×190=230，
100个苹果的方差为：
s2=1100{80×[300+(240−230)2]+
20×[320+(190−230)2]}=704.
故估计果园苹果的单果平均重量为230克、方差为704；
(2)记事件A1:放入分选机的苹果为大果，事件A2:放入分选机的苹果为小果，
记事件B:分选机筛选的苹果为“大果”，则“大果是真大果”为A1|B，
则PA1=45，PA2=15，PBA1=1−110=910，PBA2=120，
由全概率公式可得：
PB=PA1⋅PBA1+PA2⋅PBA2=45×910+15×120=73100，
PA1B=PA1PBA1=45×910=1825，
因此，PA1B=PA1BPB=1825×10073=7273.

【解析】本题考查了条件概率的概念与计算，分层抽样，方差，属于一般题.
(1)根据各层均值、方差与总体均值、方差的关系式可求果园苹果的单果平均重量、方差；
(2)根据全概率公式可求“大果”是真的大果的概率.
18.【答案】解：(1)因为点M为BC的中点，所以2AM=AB+AC，
则AC=2AM−AB，即AC2=4AM2−4AM⋅AB+AB2，
即50=4×9−4×3×AB× 22+AB2，解得：AB=7 2或AB=− 2(舍去)，
又因为BN=AN−AB=12AC−AB=12×2AM−AB−AB=AM−32AB，
BN2=AM2−3AB⋅AM+94AB2，即BN2=9−3×3×7 2× 22+94×49×2=3332，
所以BN= 6662=3 742.

(2)
S四边形GMCN=S△AMC−S△AGN=S△AMC−13S△AMC=23S△AMC=23S△AMB
=23×12×AB×3× 22= 22AB，
因为△ABC是锐角三角形，所以∠BAC是锐角，即AB⋅AC>0，
即AB⋅2AM−AB>0，所以AB2−3 2AB<0，得0∠ABC是锐角，即BM⋅BA>0，即AM−AB⋅AB<0，
所以3AB× 22−AB2<0，得AB>3 22，
∠ACB是锐角，即CA⋅MB>0，即AB−2AM⋅AB−AM>0，
所以AB2−3AB⋅AM+2AM2>0，得AB2−9 22AB+18>0，
所以|AB→|∈R，综上：3 22所以S四边形GMCN= 22|AB|∈(32,3).

【解析】本题考查了利用向量的数量积求向量的模，三角形面积公式，属于难题.
(1)对AC=2AM−AB两边同时平方可得AB=7 2，再由平面向量的运算法则得BN=AM−32AB，对其两边同时平方即可得出答案.
(2)由分析知S四边形GMCN= 22|AB|，再分别讨论∠BAC,∠ABC,∠ACB为锐角，由数量积的定义求出AB的范围，即可得出答案.
19.【答案】解：(1)设“椭圆”上任意一点为Px,y，则PF1+PF2=2a，
即x+c+y+x−c+y=2a，即x+c+x−c+2y=2aa>c>0，
所以“椭圆”的方程为x+c+x−c+2y=2aa>c>0；
(2)由方程x+c+x−c+2y=2a，得2y=2a−x+c−x−c，
因为y≥0，所以2a−x+c−x−c≥0，即2a≥x+c+x−c，
所以x≤−c−x−c−x+c≤2a或−c解得−a≤x≤a，
由方程x+c+x−c+2y=2a，得x+c+x−c=2a−2y，
即2a−2y=−2x,x≤−c2c,−c所以“椭圆”的范围为−a≤x≤a，c−a≤y≤a−c，
将点−x,y代入得，−x+c+−x−c+2y=2a，
即x+c+x−c+2y=2a，方程不变，所以“椭圆”关于y轴对称，
将点x,−y代入得，x+c+x−c+2−y=2a，
即x+c+x−c+2y=2a，方程不变，所以“椭圆”关于x轴对称，
将点−x,−y代入得，−x+c+−x−c+2−y=2a，
即x+c+x−c+2y=2a，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，
所以“椭圆”关于x轴，y轴，原点对称；

(3)由题意可设椭圆C的方程为x24+y2b2=1，
将点1,1代入得14+1b2=1，解得b2=43，
所以椭圆C的方程为x24+3y24=1，F21,0,A−2,0，
由题意可设直线MN的方程为x=my+1m≠0,Mx1,y1,Nx2,y2，
联立x=my+1x24+3y24=1，得m2+3y2+2my−3=0，
Δ=4m2+12m2+3=16m2+36>0恒成立，
则y1+y2=−2mm2+3,y1y2=−3m2+3，
因为AM的中点为x1−22,y12,kAM=y1x1+2=y1my1+3，
所以直线AM的中垂线的方程为y=−my1+3y1x−y1，
同理直线AN的中垂线的方程为y=−my2+3y2x−y2，
设Qx0,y0，则y1,y2是方程y0=−my+3yx0−y的两根，
即y1,y2是方程y2+mx0+y0y+3x0=0的两根，
所以y1+y2=−mx0+y0,y1y2=3x0，
又因y1+y2=−2mm2+3,y1y2=−3m2+3，
所以−mx0+y0=−2mm2+3,3x0=−3m2+3，
两式相比得−mx0−y03x0=2m3，所以y0x0=−3m，
所以kMN⋅kOQ=y0x0⋅1m=−3，
所以直线OQ与MN的斜率之积为定值−3.


【解析】本题考查了与椭圆有关的轨迹问题，直线与椭圆的位置关系，属于难题.
(1)设“椭圆”上任意一点为Px,y，则PF1+PF2=2a，再根据两点之间的“距离”得新定义即可得解；
(2)将点分别代入即可判断其对称性，取绝对值符号，进而可得出范围；
(3)先求出椭圆方程，设直线MN的方程为x=my+1m≠0,Mx1,y1,Nx2,y2，联立方程，利用韦达定理求出y1+y2,y1y2，分别求出直线AM,AN的方程，设Qx0,y0，再次求出y1,y2的关系，进而求出y0x0，从而可得出结论.