2024年陕西省渭南市临渭区高考数学三模试卷（文科）(含详细答案解析)

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这是一份2024年陕西省渭南市临渭区高考数学三模试卷（文科）(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=3+i1+i，则复数z的虚部为( )
A. −1B. 1C. −iD. i
2.已知集合A={x|−5A. [−3,1)B. [−3,1]C. (−5,3]D. [−3,3]
3.已知向量m=(2,λ)，n=(2−λ,−4)，若m与n共线且反向，则实数λ的值为( )
A. 4B. 2C. −2D. −2或4
4.将函数y=2sin(12x+π4)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的值可以为( )
A. π4B. π2C. 3π4D. 3π2
5.某电视台举行主持人大赛，每场比赛都有17位专业评审进行现场评分，首先这17位评审给出某位选手的原始分数，评定该位选手的成绩时从17个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到15个有效评分，则15个有效评分与17个原始评分相比，在数字特征“①中位数②平均数③方差④极差”中，可能变化的有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
6.下列可能是函数y=x2−1e|x|的图象的是( )
A. B.
C. D.
7.已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是x，第二次取出的球的数字是y.若事件A=“x+y为偶数”，事件B=“x，y中有偶数且x≠y”，则P(A|B)=( )
A. 23B. 14C. 34D. 25
8.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcsC+ccsB=b，且a=ccsB，则△ABC是( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
9.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，过点B的平面α与直线A1C垂直，则α截该正方体所得截面的形状为( )
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
10.已知两点A(−2,0)，B(0,2)，点C是圆x2+y2−4x+4y+6=0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )
A. 8B. 6C. 3+ 2D. 4
11.若系列椭圆Cn:anx2+y2=1(0A. 1−(14)nB. 1−(12)nC. 1−(12)nD. 1−(14)n
12.若函数f(x)=sin(ωx−π6)−csωx(ω>0)在(0,π)内恰好存在8个x0，使得|f(x0)|= 32，则ω的取值范围为( )
A. [196,72)B. (196,72]C. [72,256)D. (72,256]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知抛物线y2=8x上的点P到其准线的距离为6，则点P的横坐标为______.
14.若实数x，y满足约束条件x−y−3≤0,x+2y−2≥0,y≤2,则z=x+4y的最大值为______.
15.已知底面半径为2的圆锥的侧面积为4 5π，则该圆锥的外接球的表面积为______.
16.设定义在R上的函数f(x)满足f′(x)+f(x)=3x2e−x，且f(0)=0，则f(x)在R上的最大值为______.
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足a1+a2=3，S4=15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，4PA=4AB=3AD=12，BA⋅AD=0，且M，N分别为PD，AC的中点.
(1)求证：MN//平面PBC；
(2)求三棱锥M−ACD的体积.
19.(本小题12分)
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)该市决定表彰知识竞赛成绩排名前30%的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰.
20.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 62，焦点到其渐近线的距离为1.
(Ⅰ)求双曲线C的标准方程；
(Ⅱ)已知直线l：y=−12x+t(t>0)与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为−18，求△OAB的面积.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x(lnx−a)+lnx+a.
(1)若a=1，当x>1时，证明：f(x)>0.
(2)若a<2，证明：f(x)恰有一个零点.
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2sint,y=−cs2t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2ρsin(π4−θ)+m=0.
(Ⅰ)写出直线l和曲线C的普通方程；
(Ⅱ)若直线l与曲线C有公共点，求实数m的取值范围.
23.(本小题10分)
已知函数f(x)=|x+12|+|x−a|，a∈R.
(Ⅰ)当a=1时，解不等式f(x)≤5；
(Ⅱ)若对任意x∈R，都有f(x)≥1−a成立，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z=3+i1+i=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2−i，
∴复数z的虚部为−1.
故选：A.
利用复数的四则运算、虚部的定义即可得出结论．
本题考查了复数的四则运算、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：集合A={x|−5故A∪B=(−5,3].
故选：C.
根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由向量m=(2,λ)，n=(2−λ,−4)共线，得λ(2−λ)=−8，解得λ=−2或λ=4，
当λ=−2时，m=(2,−2)，n=(4,−4)，m与n同向，不符合题意，
当λ=4时，m=(2,4)，n=(−2,−4)，m与n反向，符合题意，
所以实数λ的值为4.
故选：A.
利用向量共线的坐标表示求出λ，再结合反向共线即可得解．
本题主要考查向量共线的性质，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：将函数y=2sin(12x+π4)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得函数为y=2sin(12x+π4+12φ)，
因为所得函数的图象关于原点对称，
所以y=2sin(12x+π4+12φ)为奇函数，
则π4+12φ=kπ，k∈Z，
所以φ=2kπ−12π，k∈Z，
因为φ>0，
结合选项可知，选项D符合题意．
故选：D.
结合函数图象的变换先求出平移后函数解析式，然后结合奇函数的定义及性质即可求解．
本题主要考查了三角函数图象的变换及三角函数奇偶性的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：从17个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到15个有效评分，
其平均数、极差、方差都可能会发生改变，但中间位置不变，即不变的数字特征数中位数，例如1，2，2，…，2，15，
故可能变化的有3个．
故选：B.
根据题意结合中位数、平均数、极差、方差的概念分析求解．
本题主要考查了数据的数字特征，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：函数定义域为R，排除选项AB，当x>1时，y>0，排除选项D，
故选：C.
根据函数定义域和特殊值可排除ABD.
本题考查函数的识图问题，注意利用函数的奇偶性、定义域进行筛选，特殊值验证法的应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：事件A=“x+y为偶数”，事件B=“x，y中有偶数且x≠y”，
则n(Ω)=6×6=36,n(B)=36−3×3−3=24,n(AB)=A32=6，
故P(A|B)=624=14.
故选：B.
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由余弦定理及bcsC+ccsB=b，
得b⋅a2+b2−c22ab+c⋅a2+c2−b22ac=b，
化简可得：2a2=2ab，即a=b，
由余弦定理及a=ccsB，得a=c⋅a2+c2−b22ac，
化简可得：a2+b2=c2，
由勾股定理的逆定理可得：∠C为直角，
所以△ABC是等腰直角三角形．
故选：D.
由余弦定理化简条件式即可求得．
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接AC、BC1、C1D、BD，
∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，
又∵AC⊥BD，AC、AA1是平面AA1C内的相交直线，∴BD⊥平面AA1C，
∵A1C⊂平面AA1C，∴BD⊥A1C，同理可得BC1⊥A1C，
∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面BC1D，
即△BC1D所在平面是经过点B与垂直A1C的平面，
因此，平面α截该正方体所得截面的形状为三角形，A正确．
故选：A.
根据题意，利用线面垂直的判定与性质，证出△BC1D所在平面是经过点B与垂直A1C的平面，即可得到本题的答案．
本题主要考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质等知识，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：圆x2+y2−4x+4y+6=0即(x−2)2+(y+2)2=2，
∴圆心(2,−2)，半径是r= 2.
直线AB的方程为x−y+2=0，
圆心到直线AB的距离为|2+2+2| 2=3 2，
直线AB和圆相离，
点C到直线AB距离的最小值是3 2−r=3 2− 2=2 2，
△ABC的面积的最小值为2 2×2 2×12=4
故选：D.
由题意可得AB=2 2，要求△ABC的面积的最小值，只要求C到直线AB距离d的最小值，把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，判断直线和圆的位置关系是相离，求出圆心到直线的距离，点C到直线AB距离的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径．
本题考查圆的标准方程，圆和直线的位置关系，点到直线的距离公式的应用．
11.【答案】A
【解析】解：由系列椭圆Cn:anx2+y2=1(0∴离心率en= 1−b2a2= 1−an，∴1−an=[(12)n]2，
∴an=1−(14)n.
故选：A.
由题意易得en= 1−b2a2= 1−an，求解即可．
本题考查椭圆的离心率，属基础题．
12.【答案】D
【解析】解：由题意可得，f(x)=sin(ωx−π6)−csωx= 32sinωx−12csωx−csωx
= 32sinωx−32csωx= 3sin(ωx−π3)，
由|f(x0)|= 32，可得sin(ωx0−π3)=±12，
因为x∈(0,π)，ω>0，
则ωx−π3∈(−π3,ωπ−π3)，
由题意可得，19π6<ωπ−π3≤23π6，解得72<ω≤256，
所以ω的取值范围为(72,256].
故选：D.
结合和差角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=−2，
设点P的横坐标为x0，
由抛物线y2=8x上的点P到准线的距离为6，
可得x0+2=6，解得x0=4.
故答案为：4.
首先得到抛物线的准线方程，再设点P的横坐标为x0，由抛物线的几何性质，即可得到方程，解得即可．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
14.【答案】13
【解析】解：由约束条件画出可行域如图阴影部分所示．
由x−y−3=0y=2，解得x=5，y=2，即A(5,2)，
当直线z=x+4y经过点A时，z取得最大值．
∴zmax=5+4×2=13.
故答案为：13.
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
15.【答案】25π
【解析】解：设圆锥的母线为l，又r=2，
故πrl=2lπ=4 5π，解得l=2 5，
可得圆锥的高为h= l2−r2=4，
设该圆锥的外接球的半径为R，故AO=OC=R，
故OP=4−R，
由勾股定理得OC2=OP2+r2，即R2=(4−R)2+4，
解得R=52，
故该圆锥的外接球的表面积为4πR2=25π.
故答案为：25π.
求出圆锥的母线l=2 5，求出圆锥的高，设圆锥外接球的半径，列出方程，求出半径，得到表面积．
本题考查了圆锥外接球的表面积计算，属于中档题．
16.【答案】27e3
【解析】解：令F(x)=f(x)ex，x∈R，则F′(x)=[f′(x)+f(x)]ex=3x2，
可知F(x)=x3+c，即f(x)=x3+cex，
因为f(0)=c=0，即f(x)=x3ex，则f′(x)=x2(3−x)ex，
当x<3时，f′(x)>0，可知函数f(x)在(−∞,3)内单调递增，
当x>3时，f′(x)<0，可知函数f(x)在(3,+∞)内单调递减，
所以函数f(x)取得最大值f(3)=27e3.
故答案为：27e3.
构造函数F(x)=f(x)ex，x∈R，对其求导，结合已知可求F(x)=x3+c，进而可求f(x)=x3ex，再由导数与最值关系可求．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了转化思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)设数列{an}的公比为q(q>0)，
∵a1+a2=3，S4=15，
∴a3+a4=a1q2+a2q2=q2(a1+a2)=S4−(a1+a2)=12，
即3q2=12，∴q=2(q=−2舍去)，
∴a1+a2=a1+2a1=3，即a1=1，
∴an=2n−1.
(2)∵an=2n−1，bn=2nan=n⋅2n.
∴Tn=1×2+2×22+3×23+⋅⋅⋅+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，
2Tn=1×22+2×23+3×24+⋅⋅⋅+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，
两式相减得−Tn=2+22+23+⋅⋅⋅+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=2n+1−n⋅2n+1−2，
∴Tn=(n−1)×2n+1+2.
【解析】(1)设等比数列的公比为q(q>0)，由已知条件和等比数列基本量的计算，求出数列首项和公比，得通项公式；
(2)利用错位相减法可得数列{bn}的前n项和Tn.
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了错位相减求和方法的应用，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：如图，连接BD，由ABCD是平行四边形，则有BD交AC于点N.
∵M，N分别为PD，BD的中点，∴MN//PB.
又PB⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，故MN//平面PBC.
(2)∵BA⋅AD=0，∴BA⊥AD，∴平行四边形ABCD为矩形．
∵4PA=4AB=3AD=12，∴PA=AB=3，AD=4，
∴S△ACD=12AD⋅CD=6.
又PA⊥平面ABCD，M为PD的中点，则M到平面ACD的距离为h=12PA=32.
∴VM−ACD=13S△ACD⋅h=3.
【解析】(1)利用三角形的中位线，证明MN//PB，可证得MN//平面PBC；
(2)利用三棱锥的体积公式求解．
本题主要考查了线面平行的判定及三棱锥的体积的求解，属于中档题．
19.【答案】解：(1)100份样本数据的平均值为x−=(35×0.005+45×0.010+55×0.010+65×0.020+75×0.032+85×0.023)×10=68.3；
(2)设知识竞赛成绩排名前30%的最低成绩为m，
则0.023×10+(80−m)×0.032=0.3，
解得m=77.8125，
因为78>77.8125，
所以该市民能得到表彰．
【解析】(1)根据平均数的定义求解；
(2)先求出知识竞赛成绩排名前30%的最低成绩，进而作出判断．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的计算，属于基础题．
20.【答案】解：(Ⅰ)因为双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1，
所以bc a2+b2=b=1，
因为双曲线C的离心率为 62，
所以e=ca= 1+b2a2= 62，
解得a2=2，
则双曲线C的标准方程为x22−y2=1；
(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=−12x+tx22−y2=1，消去y并整理得x2+4tx−4(t2+1)=0，
此时Δ=16t2+16(t2+1)>0，
由韦达定理得x1+x2=−4t，x1x2=−4(t2+1)，
此时kOA⋅kOB=y1x1⋅y2x2=(−12x1+t)(−12x2+t)x1x2
=14+−t2(x1+x2)+t2x1x2=14+−t2(−4t)+t2−4(t2+1)=−18，
解得t=1(负值舍去)，
所以x1+x2=−4，x1x2=−8，
易知原点O到直线y=−12x+的距离d=1 1+14=2 55，
又|AB|= 52|x1−x2|= 52 (x1+x2)2−4x1x2
= 52× 16+32=2 15，
则△OAB的面积S=12|AB|⋅d=12×2 55×2 15=2 3.
【解析】(Ⅰ)由题意，根据双曲线的性质以及离心率公式求出a和b的值，进而可得双曲线的标准方程；
(Ⅱ)将直线l的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理、斜率公式、点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式进行求解即可．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：(1)因为a=1，所以f(x)=xlnx−x+lnx+1,f′(x)=lnx+1x.
当x>1时，f′(x)>0，则f(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以当x>1时，f(x)>f(1)=0.
(2)f(x)=x(lnx−a)+lnx+a=x(lnx−a+lnxx+ax).
令g(x)=lnx−a+lnxx+ax，则g′(x)=1x+1−lnxx2−ax2=x+1−lnx−ax2.
令h(x)=x+1−lnx−a，则h′(x)=1−1x=x−1x.
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)在(0,1)上单调递减，
当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，h(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(1)=2−a>0，所以g′(x)=x+1−lnx−ax2>0，
则g(x)在(0,+∞)上单调递增．
因为g(1)=0，所以g(x)恰有一个零点，则f(x)恰有一个零点．
【解析】(1)根据题意，求导可得f′(x)>0，即可得到f(x)在(1,+∞)上单调递增，再由f(x)>f(1)=0，即可证明；
(2)根据题意，构造函数g(x)=lnx−a+lnxx+ax，求导可得g′(x)>0，即g(x)在(0,+∞)上单调递增，再结合g(1)=0，即可证明．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的零点和利用综合法证明不等式，考查了函数思想，属中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)由于直线l的极坐标方程为 2ρsin(π4−θ)+m=0，
则直线l的极坐标方程为ρcsθ−ρsinθ+m=0，
由x=ρcsθy=ρsinθ，得直线l的普通方程为x−y+m=0；
∵cs2t=1−2sin2α，
曲线C的参数方程为x=2sint,y=−cs2t(t为参数)，
∴曲线C的普通方程为y=12x2−1(−2≤x≤2).
(Ⅱ)联立x−y+m=0y=12x2−1，m=12x2−x−1(−2≤x≤2)，
设g(x)=12x2−x−1,−2≤x≤2
g(x)的对称轴为直线x=1，
g(x)在[−2,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，
故g(x)的最大值为g(−2)=3，最小值为g(1)=−32
所以−32≤m≤3，
故实数m的取值范围为[−32,3].
【解析】(Ⅰ)结合极坐标公式，求出直线l的普通方程，消去参数t，推得曲线C的普通方程；
(Ⅱ)联立直线与曲线C普通方程，分离出m，再结合二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查参数方程、极坐标公式的应用，属于中档题．
23.【答案】解：(Ⅰ)当a=1时，
f(x)≤5，即|x+12|+|x−1|≤5，
当x≤−12时，−x−12−x+1≤5，解得x≥−94，
故−94≤x≤−12，
当−12故−12当x≥1时，x+12+x−1≤5，解得x≤114，
故1≤x≤114，
故所求不等式的解集为[−94,114]；
(Ⅱ)对任意x∈R，都有f(x)≥1−a成立，即|x+12|+|x−a|≥1−a恒成立，
∵|x+12|+|x−a|≥|x+12−x+a|=|a+12|，当且仅当(x+12)(x−a)≤0时，等号成立，
∴|a+12|≥1−a，即a+12≥1−a或a+12≤−(1−a)，解得a≥14，
故a的范围为[14,+∞).
【解析】(Ⅰ)根据已知条件，结合绝对值不等式的解法，并分类讨论，取并集，即可求解；
(Ⅱ)先求出f(x)的最小值，再结合绝对值不等式的解法，即可求解．
本题主要考查绝对值不等式的解法，考查转化能，属于中档题．