宁夏回族自治区银川九中、平罗中学、贺兰二高、西吉中学2024届高三下学期第四次模拟考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份宁夏回族自治区银川九中、平罗中学、贺兰二高、西吉中学2024届高三下学期第四次模拟考试数学（文）试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知向量，，若，则( )
A.B.1C.D.2
4．函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
5．函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则( )
A.B.C.D.
6．已知直线交曲线于A，B两点（点A在点B的上方），F为C的焦点，则( )
A.B.C.2D.
7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）( )
A.3B.4C.5D.6
8．已知在正四面体中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
9．已知圆，直线，则“”是“圆C上任取一点，使的概率小于等于”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.
B.图象关于点中心对称
C.若在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为
D.的图象关于直线对称
11．已知，为奇函数，且，则( )
A.4047B.2C.D.3
12．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，P为双曲线上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是( )
A.双曲线的渐近线方程为
B.双曲线C的离心率为
C.若，则的面积为
D.以为圆心，为半径的圆与渐近线相切
二、填空题
13．已知x，y的取值如表：若x，y具有线性相关关系，且回归方程为，则________.
14．曲线在点处的切线的方程为_______.
15．海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点A处测得塔顶D的仰角为，然后沿点A向塔的正前方走了38m到达点B处，此时测得塔顶D的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为__________m.（计算结果精确到0.1）
16．求一个棱长为的正四面体的体积，通常采用如下的解法：构造一个棱长为1的正方体，此正方体称为该四面体的“生成正方体”（如图），
则四面体的体积.仿照此解题思路，对一个已知四面体，可构造它的“生成长方体”.“生成长方体”由该四面体和四个三棱锥组成，每个三棱锥的底面积等于“生成长方体”的底面积的一半，且高相等.一对棱长都相等的四面体称为等腰四面体，已知一个等腰四面体的对棱长分别为，，5（如图），则该四面体的体积为______.
三、解答题
17．等差数列的前n项和为，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18．2024年03月04日《人民日报》发表文章《开展全民健身实现全民健康》，文中提到：体育锻炼要从小抓起.“让孩子们跑起来”“要长得壮壮的、练得棒棒的”“体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”……习近平总书记的殷殷嘱托，牢牢印刻在广大教育工作者和孩子们的心中.某学校为了了解学生体育锻炼的情况，随机抽取了n名同学，统计了他们每周体育锻炼的时间，作出了频率分布直方图如图所示.其中体育锻炼时间在内的人数为50人.
（1）求n及a的值（a的取值保留三位小数）；
（2）估计该校学生每周体育锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的n名学生的性别进行了统计，得到如下列联表：
补全列联表，并判断能否有90%的把握认为成为“运动达人”与性别有关？
附：
19．如图，四棱锥中，菱形所在的平面，，E是中点，M是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若F是上的中点，且，求三棱锥的体积.
20．给定椭圆C：，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为.
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线，交“准圆”于点M，N.证明：，且线段MN的长为定值.
21．已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）当时，记最小值为m，求证：.
22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程；
（2）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线l与曲线C交于A，B两点，若中点为M，求.
23．已知函数，
（1）求不等式的解集；
（2）已知的最小值为m，且正实数a，b满足，证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：由，，得，而，
所以.
故选：A
2．答案：D
解析：因为，所以，所以z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D.
3．答案：B
解析：由题意知，，
由，得，解得，
因此，解得，即，
所以.
故选：B
4．答案：B
解析：因为，易知的定义域为R.
因为，所以为奇函数，
图象关的原点对称.排除A，D选项；
又，，所以排除C选项.
故选：B.
5．答案：C
解析：对于函数且，令，求得，，
可得函数的图象恒过点，且点A在角的终边上，
，则，
故选C.
6．答案：D
解析：联立方程组，消元得，
设，，解得，，
易知过直线，根据抛物线的定义，
可得，，
所以.
故选：D.
7．答案：D
解析：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，
则血液中酒精含量达到，在停止喝酒以后，
他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，
他至少要经过1小时后才可以驾驶机动车.则，，
.
他至少经过6个小时才能驾驶.
故选：D.
8．答案：C
解析：设正四面体的棱长为2，取BD的中点N，连接MN，CN，如图，
由M是AB的中点，得，则是CM与AD所成的角或其补角，
显然，取MN的中点E，连接CE，则，
在中，，因此，
所以直线CM与AD所成角的余弦值为.
故选：C
9．答案：C
解析：直线的斜率为1，在x轴上的截距为，在y轴上的截距为c，
当时，如图，圆C上不存在点，使，
所以事件圆C上任取一点，使的概率为0，
当时，如图，圆C上有且仅有一个点，使，
所以事件圆C上任取一点，使的概率为0，
若，如图，圆C上满足条件点为劣弧（含A,B）上的点，
设劣弧的长度为t，则，
所以事件圆C上任取一点，使的概率，
若，如图，圆C上满足条件点为直线l上方的半圆上的点，
所以事件圆C上任取一点，使概率，
若，如图，圆C上满足条件点为优弧（含C,D）上的点，
设优弧的长度为s，则，
所以事件圆C上任取一点，使的概率，
若，如图，圆C上所有点满足条件，
所以事件圆C上任取一点，使的概率，
所以“圆C上任取一点，使的概率小于等于”等价于“”，
所以“”是“圆C上任取一点，使的概率小于等于”的充要条件，
故选：C.
10．答案：C
解析：由题图知，的最小正周期，则.
所以.
将代入得，则，
即.
因为，所以，将代入得，则，
所以，A选项错误；
当时，，
所以点不是的图象的一个对称中心，B选项错误；
当时，，
所以直线不是的图象的一个对称轴，D选项错误；
易得在上单调递增，且，
即在时取得最大值，所以，
即实数a的取值范围为，C正确.
故选：C
11．答案：C
解析：由函数为奇函数，可得关于点对称，且，
所以，即，
又因为，可得，
即，则，所以，
所以函数是周期为4的周期函数，
因为，，可得，，
所以.
故选：C.
12．答案：D
解析：对于A，设点，则，因为,，
所以，又，得，
所以，所以双曲线的渐近线方程为，故A错误；
对于B，因为，所以双曲线C的离心率为2，故B错误；
对于C，因为，所以，又，
所以，所以，
所以，所以=，故C错误；
对于D，由B选项可得，
以到渐近线方程为的距离为：，
又为圆心的圆的半径为，所以以为圆心，为半径的圆与渐近线相切，故D正确.
故选：D.
13．答案：2.2
解析：，，
将样本中心点代入回归方程，得，解得.
故答案为：2.2
14．答案：.
解析：由题意，函数，可得，所以，
即所求切线的斜率为，
又由，所以所求切线的方程为，
可得，即.
所以所求切线的方程为.
故答案为：.
15．答案：
解析：如图，设海宝塔塔底中心为点C，与交于点G，
过点B作于点H，则,，
由题意知，，，，，
所以，则，
在中，，
又是的外角，即有，
所以，
在中，m，设，则，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，解得或（舍），
所以，所以，
即海宝塔的高度为.
故答案为：
16．答案：8
解析：由题意得，四面体的体积为，
所以四面体的体积等于“生成长方体”的体积，
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，可得，
解得，，，即，，，
可得长方体的体积为，
所以该四面体的体积为.
故答案为：8.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设数列的首项为，公差为d，
依题意可知,，
解得，，故，，
（2）因为，所以，
所以.
18．答案：（1），
（2）
（3）列联表见解析，没有
解析：（1）因为体育锻炼时间在内的人数为50人，所以，解得，又由，得到.
（2）根据频率分布直方图，知该校学生每周体育锻炼时间的平均值为：
.
（3）由（1）知，运动达人共有，所以女生运动达人有20人，
得到列联表如图：
又，
所以没有90%的把握认为成为“运动达人”与性别有关.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）证明：连接AC，
底面为菱形，，是正三角形，
是中点，，又，，
平面，平面，，
又，∴平面，
又平面，平面平面.
（2）F是上的中点，且，
，，
又M是的中点，三棱锥的体积：
.
20．答案：（1）椭圆方程为，“准圆”方程为；
（2）证明见解析.
解析：（1）椭圆C的一个焦点为
其短轴上的一个端点到F的距离为.
，，
，
椭圆方程为，
“准圆”方程为.
（2）证明：①当直线，中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则，
当时，与“准圆”交于点，，
此时为(或)，显然直线，垂直；
同理可证当时，直线，垂直.
②当，斜率存在时，
设点，其中.
设经过点与椭圆相切的直线为，
由
得.
由化简整理，得，
，有.
设，的斜率分别为，，
，与椭圆相切，，满足上述方程，
，即，垂直.
综合①②知，.
，经过点，又分别交其“准圆”于点M，N，且，垂直.
线段为“准圆”的直径，，
线段的长为定值.
21．答案：（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）证明见解析
解析：（1）当时，，的定义域是，
，
当时，；当时，.
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）得的定义域是，，
令，则，在上单调递增，
因为，所以，，
故存在，使得.
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
故时，取得最小值，即，
由，得，
令，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，即时，取最大值1，.
22．答案：（1），；
（2）
解析：（1）由，
得到，
即，
所以曲线C的普通方程为.
又因为，，
则，
整理得，
即曲线C的极坐标方程为.
（2）由题意可得直线l的参数方程为（t为参数），
代入，整理得，，
设A，B，M所对应的参数分别为，，，且，
所以，，.
因为中点为M，则，
，所以.
23．答案：（1）或；
（2）证明见解析
解析：（1），，，
则，即，解得或，
故所求解集为或.
（2）当时，由，
当时，由，
当时，由.
则，
当时，；当时，；
当时，.
所以当时，，.
因为，所以.
由柯西不等式可得.
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
x
0
1
3
4
y
a
4.3
4.8
6.7
非运动达人
运动达人
总计
男生
30
女生
70
总计
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
非运动达人
运动达人
总计
男生
80
30
110
女生
70
20
90
总计
150
50
200