湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期四模数学试题（Word版附答案）

这是一份湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期四模数学试题（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：严拥军 孙海涛 颜俊波 审题人：闫小东 万小刚 时间：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则的真子集有（ ）
A.3个B.4个C.7个D.8个
2.已知命题：“”，命题：“”，则命题是命题的（ ）
A.充分必要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A.5B.7C.9D.11
4.已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（ ）
A.B.C.D.
5.已知是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.
6.若等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为（ ）
A.21B.22C.23D.24
7.三棱锥中，，，，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A.1B.2C.6D.12
8如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且.延长至点.使得，连接.设以，两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以，两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件“3件产品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（ ）
A.与为对立事件B.与不是互斥事件
C.D.
10.已知圆：，抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，则（ ）
A.以点，为直径端点的圆与轴相切
B.当最小时，
C.当时，直线与圆相切
D.当时，以为圆心，线段长为半径的圆与圆相交公共弦长为
11.如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ）
A.三棱锥的体积为B.平面
C.平面D.二面角的余弦值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在中，，，分别是角，，的对边，若，则的值为______
13.3名男生和2名女生随机站成一排，恰有2名男生相邻，则不同的排法种数为______
14.若，是函数的两个极值点且，则实数的取值范围为______
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）在三棱柱中，，，，平面，是的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
16.（本小题15分）已知函数，.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，恒成立，求的取值范围.
17.（本小题15分）已知椭圆：的焦距为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为16.
（1）求椭圆的标准方程：
（2）过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为.是否存在定点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
18.（本小题17分）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：
现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数.
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程.并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润毛利润年销售量年广告费年研发经费随机变量）.
附：①相关系数，回归直线中公式分别为，；
②参考数据：，，，.
19.（本小题17分）已知数列的前项和为.若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“数列”.记，，称数列为的“余项数列”.
（I）若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“数列”，并说明理由；
（2）若，证明为“数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
（3）已知正项数列为“数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：.
高三数学第四次适应性测试题答案
1-8、CBDCBCBD
9、ABC10、AD11、ABC
12、202313、7214、
8.【详解】如图，设内切圆与边，分别相切于点，，由切线长定理和的对称性，可设，由，可得，，在中由余弦定理，.于是根据椭圆和双曲线的定义，.接下来确定的取值范围.设，在中，，，，于是由余弦定理，，整理得，于是，故，又因为在内单调递增，可知，可得，所以的取值范围是.故选：D.
10.AD【详解】如图，设，中点为，又，所以，由抛物线定义知，又到轴的距离为，所以选项A正确，对于选项B，因为，则，当时，取到最小值，此时，所以选项B错误，对于选项C，当时，，，不妨取，则，直线：，所以圆心到直线的距离为，又圆的半径为，所以，即直线与圆相离，所以选项C错误，对于选项D，当时，，，不妨取，故以为圆心，线段长为半径的圆为①，又圆：②，由①②得两圆的公共弦方程，到的距离为，故公共弦长为，所以选项D正确，故选：AD.
14.【详解】因为，所以.因为函数有两个极值点，，所以，是方程的两个根，则有，所以，同理可得.设，则，由，则，即，由，则，即，所以，令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以，又，所以，又，所以.由，则，令，则在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以，即，所以，即实数的取值范围为，故答案为：.
15.【详解】（1）由平面，平面，得，
因为，，，平面，所以平面，
又因为，所以平面；
（2）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，.
又，，所以，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则即
令，得.
设平面的法向量为，则即
令，得.
设平面与平面的夹角为，则，
所以，故平面与平面夹角的正弦值为.
16.【详解】（1），
①当时，恒成立，在上单调递增，
②当时，令，得，
在单调递减，在单调递增：
（2）对恒成立，，，
对恒成立的必要条件是，
，
下证充分性
当时，，令，在单调递增，
，即在单调递增，故，
当时，，使得，，，单调递减，得，
不合题意，综上，
17.【详解】（1）由题意得解得
椭圆的方程为.
（2）若存在定点，使得，等价于以为直径的圆恒过定点.
当直线的斜率不存在时，为直径的圆的方程为①，
当直线的斜率为0时，令，得，因此为直径的圆的方程为②.
联立①②，得猜测点的坐标为.
设直线的方程为，由得.
设，，则，.
.
综上，存在定点，使得.
18.【详解】（1）解：设模型①和②的相关系数分别为，.由题意可得：
，.
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
（2）因为，又由，
得，所以，即回归方程为
当时，，因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）净利润为，
令，所以.
可得在上为增函数，在上为减函数.所以，
由题意得：，即，，
即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3.
19.【详解】解：（I）由题意得，，，.因为，，所以满足的至少有2个，不合题意，所以不为“数列”.
（2）因为，所以，，.
令.当时，，解得，
所以.当时，，解得，因此，.
所以，对每一个，有且仅有一个，使得，故为“数列”.
其“余项数列”的通项为
（3）因为为正项数列，所以单调递增.易得，所以.
因为，且为“数列”，所以必有，因此.
因为“余项数列”为等差数列，所以其公差.
易知，
若，则当时，，与矛盾，
所以，因此，.所以，即.
对于，若，则，与正项数列矛盾，所以.
由正项数列可知递增，所以，
所以，所以，所以.
又，，所以，.
44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06