四川省2024届高三下学期第二次统一监测（5月）数学（文）试卷

这是一份四川省2024届高三下学期第二次统一监测（5月）数学（文）试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，选考题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(共12题；共60分)
1. 已知集合 ， ， 则（ ）
2. 已知复数z满足 ， 则（ ）
3. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为 ， ， 方差分别为 ， ， 则（ ）
4. 设 ， 均为锐角，则“”是“”的（ ）
5. 执行右图所示的程序框图，若输入N的值为5，则输出（ ）
6. 已知 ， ， 则（ ）
7. 已知坐标原点在直线上的射影为点 ， 则为 ， 必然满足的关系是（ ）
8. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，表现出鲜明的艺术特色，蕴涵着极致的数学美．现有一幅右图所示的正三角形剪纸设计图（图中的圆为三角形内切圆，设计图的三个角的阴影部分均为菱形）．若在该正三角形设计图内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）
9. 已知 ， 分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A ， B两点，若 ， ， 则（ ）
10. 已知函数的最小正周期为 ， 给出下列三个结论：
①；②函数在上单调递减；
③将的图象向左平移个单位可得到的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
11. 设球O的直径为 ， 球面上三个点A ， B ， C确定的圆的圆心为 ， ， ， 则面积的最大值为（ ）
12. 已知 ， 分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M ， N为C上两个动点，且 ， 面积的最大值为3，过O作直线MN的垂线，垂足为H ， 则（ ）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．(共4题；共20分)
13. 已知向量 ， ， ， 若 ， 则____________________．
14. 若 ， 满足约束条件 ， 则的最大值为____________________．
15. 已知的三内角 ， ， 满足 ， 则的面积与外接圆的面积之比为____________________．
16. 已知PC是三棱锥外接球的直径，且 ， ， 三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．(共5题；共60分)
17. 某公司为了解旗下的某产品的客户反馈情况，随机抽选了250名客户体验该产品并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理得到如下列联表：
附： ，
（1） 是否有99%的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系?
（2） 公司为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取6人，收集对该产品改进建议．若在这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1名女性的概率．
18. 已知数列满足 ， ．
（1） 证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2） 若数列满足， ， 求的前n项和 ．
19. 如图，在三棱台中，与相交于点D ， 平面ABC ， ， ， ， ， ， 且平面 ．
（1） 求线段AC的长；
（2） 求三棱锥的体积．
20. 已知函数 ．
（1） 若有3个极值点，求a的取值范围；
（2） 若 ， ， 证明： ．
21. 已知与圆P：内切，且与直线：相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C ， 直线l与曲线C交于A ， B两点，O为坐标原点，延长AO ， BO分别与直线：相交于点M ， N ．
（1） 求曲线C的方程；
（2） 过点A作于 ， 若 ， O ， B三点共线，试探究线段MN的长度是否存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
四、（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．(共2题；共20分)
22. ［选修4-4：坐标系与参数方程］
在直角坐标系xOy中，图形的方程为 ． 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，图形的极坐标方程为 ．
（1） 求的直角坐标方程；
（2） 已知点P的直角坐标为 ， 图形与交于A ， B两点，直线AB上异于点P的点Q满足 ， 求点Q的直角坐标．
23. ［选修4-5：不等式选讲］
已知 ．
（1） 设函数 ， 若函数与的图象无公共点，求m的取值范围；
（2） 令的最小值为T ． 若 ， 证明： ． 阅卷人
得分
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . ，
B . ，
C . ，
D . ，
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
A . 20
B . 30
C . 62
D . 128
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . ①②
B . ①③
C . ②③
D . ①②③
A . 2
B . 4
C . 6
D . 8
A .
B .
C . 1
D .
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合计
男
50
100
150
女
50
50
100
合计
100
150
250
0.10
0.05
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
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