江西省宜春市第一中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学试卷

这是一份江西省宜春市第一中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. 已知集合 ， ， 则（ ）
2. 已知复数z满足 ， 则z的虚部是（ ）
3. 下列说法不正确的是（ ）
4. 设等差数列的前n项和为 ， 且 ， 则（ ）
5. 已知是空间中两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
6. 已知 ， 且 ， 若函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
7. 已知抛物线C：的焦点为F ， 动直线l与抛物线C交于异于原点O的A ， B两点，以线段OA ， OB为邻边作平行四边形OAPB ， 若点（），则当取最小值时，（ ）
8. 已知 ， ， ， 其中为自然对数的底数，则（ ）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(共4题；共20分)
9. 同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ）
10. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A ， B之间的距离为a（非零常数），动点M到A ， B的距离之比为常数（ ， 且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知 ， 点M满足 ， 则下列说法正确的是（ ）
11. 设椭圆C：的左、右焦点分别为 ， ， 坐标原点为O ． 若椭圆C上存在一点P ， 使得 ， 则下列说法正确的有（ ）
12. 如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面 ， 则下列结论正确的是（ ）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.(共4题；共20分)
13. 已知 ， 均为非零向量，若 ， 则与的夹角为____________________．
14. 已知 ， 且 ， 则____________________．
15. 已知 ， ， 且满足 ， 则的最大值为____________________．
16. 已知方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(共6题；共70分)
17. 在中，设角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ． 已知 ， 的周长为15，面积为 ．
（1） 求的外接圆面积；
（2） 设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长．
18. 在正项数列中，已知 ， 且 ．
（1） 求数列的通项公式；
（2） 求证： ．
19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为菱形，平面PAB底面ABCD ， M为棱BC上异于点C的一点，O为棱AB的中点，且 ， ．
（1） 若 ， 求证：M为BC的中点；
（2） 若平面POM与平面PAC所成的锐二面角的余弦值为 ， 求的值．
20. 据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为 ， ， ， 通过甲公司的测试后选择签约的概率为 ， 通过乙公司的测试后选择签约的概率为 ， 通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．
（1） 求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
（2） 设小王获得年薪为（单位：万元），求的分布列及其数学期望．
21. 已知函数 ， ．
（1） 若对恒成立，求实数a的取值范围；
（2） 若曲线与x轴交于A ， B两点，且线段AB的中点为 ， 求证： ．
22. 已知以点M为圆心的动圆经过点 ， 且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C ．
（1） 求曲线C的方程；
（2） 若动直线l与曲线C交于 ， 两点（其中），点A关于x轴对称的点为A' ， 且直线BA'经过点 ．
（ⅰ）求证：直线l过定点；
（ⅱ）若 ， 求直线l的方程．A . （1，2]
B .
C .
D .
A . -25
B . -5
C . 1
D . 5
A . 一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位数为5
B . 一组数据 ， 3，2，5，7的中位数为3，则的取值范围是
C . 若随机变量 ， 则方差
D . 若随机变量 ， 且 ， 则
A . 10
B . 12
C . 14
D . 16
A . 若、 ， 则
B . 若 ， ， 则
C . 若 ， ， ， 则
D . 若 ， ， 则
A .
B .
C .
D .
A . 2
B .
C . 3
D .
A .
B .
C .
D .
A . 事件A与事件B对立
B . 事件A与事件B相互独立
C . 事件A与事件C相互独立
D .
A . 面积的最大值为12
B . 的最大值为72
C . 若 ， 则的最小值为10
D . 当点M不在x轴上时，MO始终平分
A .
B .
C . 的面积为2
D . 的内切圆半径为
A . 存在满足条件的点M ， 使
B . 当点Q在线段上移动时，必存在点M ， 使
C . 三棱锥的体积存在最大值和最小值
D . 直线与平面所成角的余弦值的取值范围是