浙江省杭州市钱塘区养正实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份浙江省杭州市钱塘区养正实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共20页。试卷主要包含了满分120分，时间120分钟，结束只上交答题卷等内容，欢迎下载使用。
须知：
1．满分120分，时间120分钟．
2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号并填涂准考证号．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效．
4．结束只上交答题卷．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．
【详解】解：A.选项中的图案是中心对称图形，故选项A符合题意；
B. 选项中的图案不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C. 选项中的图案不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D. 选项中的图案不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选：A．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. x2﹣5x＝1B. 3x+2y＝1C. x2﹣＝1D. ax2﹣3x+1＝0
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，故此选项不符合题意；试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。D、若a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3. 数据0，1，2的方差是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据题目中的数据可以求得这组数据的平均数，然后根据方差的计算方法可以求得这组数据的方差．
【详解】解：这组数据的平均数是：，
则数据0、1、2的方差是．
故选：B．
4. 若一个正多边形的每一个内角的度数都是150°，则这个多边形是（ ）
A. 正九边形B. 正十边形C. 正十一边形D. 正十二边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的外角与它对应的内角互补，得到这个正多边形的每个外角为，再根据多边形外角和为即可求出边数．
【详解】解：∵一个正多边形的每个内角为，
∴这个正多边形的每个外角为，
∴这个正多边形的边数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的外角与它对应的内角互补的性质，也考查了多边形外角和为以及正多边形的性质．
5. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照配方法的步骤和完全平方公式 即可得出答案．
【详解】
即
故选：A．
【点睛】本题主要考查配方法，掌握配方法和完全平方公式是解题的关键．
6. 估计的值应在（ ）
A. 7和8之间B. 8和9之间
C. 9和10之间D. 10和11之间
【答案】B
【解析】
【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．
【详解】解：
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
7. 已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了根的判别式，先根据方程，求出根的判别式，①根据a的范围，判断根的判别式的大小，从而进行解答；②先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，进行判断；③利用一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴①当时，，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当时，两根之积，方程两根异号，故②错误，
③∵，
∴方程的根为，
∴，，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确．
故选：C．
8. 如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 2B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.
【详解】解：将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：
则阴影面积=
=
=
故选D
【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
9. 如图所示，在长方形 中， 是对角线，将长方形 绕点B顺时针旋转 到长方形 的位置， 是 的中点，若 ，，则线段 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先过点H作于点M，由将绕点B顺时针旋转到位置，，，可得，，，又由H是的中点，易得是的中位线，继而求得与的长，由勾股定理即可求得线段的长．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
∵由将绕点B顺时针旋转到位置，，，
∴，，，
∴，
∵H是 的中点，
∴是中位线，
∴,，
∴，
在中，，
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
10. 如图，P为平行四边形内一点，过点P分别作，的平行线，交平行四边形各边于E，F，G，H四点．若，，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，由题意得，四边形，，，均为平行四边形，可得，，，，两式相减即可得；掌握平行四边形面积与三角形面积的转化是解题的关键．
【详解】解：由题意得，四边形，，，均为平行四边形，
∴，，
∵，
，
①-②得，，
即，
，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 如果代数式有意义，那么x的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意可知：，
且，
故答案为：且．
12. 规定：，如：，若，则＝__.
【答案】1或-3
【解析】
【分析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．
【详解】依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3．
故答案是：1或-3．
【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
13. 如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中的度数为________．
【答案】##30度
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是___________．

【答案】17
【解析】
【分析】如图，连接，，由全等三角形判定（）可以证得，得到，进而得到，再根据题意及勾股定理求出的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
又，为矩形的对角线，
，
是直角三角形，，，
，
移项得，
配方得，
，
解得，或
，
，
，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键．
15. 已知，当x分别取时，所对应y值的总和是________．
【答案】2044
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质得到当时，，当时，，然后计算出所有y值的总和即可．
【详解】解：
当时，
当时，
∴所对应y值的总和是：，
故答案为：2044．
16. 如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可．
【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∵有且只有一个a的值，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴S的值是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的运算：
（1）将二次根式化简后再合并即可得到答案；
（2）原式运用平方差公式和二次根式的性质化简，再进行加减运算即可
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
18. 解下列方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程：
（1）方程整理后运用公式法求解即可；
（2）方程移项后运用因式分解法求解即可
【小问1详解】
解：
∵
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，
，
，
解得，
19. 已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足，求此三角形的周长．
【答案】15
【解析】
【分析】根据题意求出、的值，根据三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
∴，
∵，
∴3、3、6不能组成三角形，
∴等腰三角形的三边是：6，6，3，
此三角形周长为．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、三角形三边关系和等腰三角形的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
20. 如图，在平行四边形中，点G，H分别是的中点，在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连接交于点O，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键．
（1）证，得，则，得，即可得出结论；
（2）先由平行四边形的性质得出，再证出，可得是的中位线，然后利用中位线定理可得的长度．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点分别是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：连接交于点O，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵点G是的中点，
∴是的中位线，
∴．
21. 为贯彻习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某校举办了“绿水青山，生态文明”知识竞赛（每一项的满分为10分，得分均为整数）．在这次竞赛中张山与李仕两位同学表现优秀，他们的四项成绩分布的条形统计图如图所示，根据该图解答下列问题．
（1）完成下表：
（2）根据（1）中数据，分别从中位数、方差两个角度比较分析两位同学各自的优势．
（3）若实践操作、环保论文、现场抢答、笔试得分按的比例折合成综合得分，请通过计算说明哪位同学的综合得分更高．
【答案】（1）9，9，
（2）见解析 （3）张山的综合得分为分，李仕的综合得分为分，张山的高
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、条形统计图、中位数、众数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
（1）由频数分布直方图得出张山和李仕四个项目的得分，再利用平均数、中位数、众数及方差的概念分别求解可得；
（2）利用中位数和方差的意义求解可得；
（3）利用加权平均数的定义列式计算，从而得出答案.
【小问1详解】
张山的成绩为: ,
∴张山成绩的中位数为(分),
方差为；
李仕的成绩为,
∴李仕成绩的平均数为(分) , 众数为(分)；
补全表格如下：
故答案为：9，9，；
【小问2详解】
从中位数角度考虑，李仕大于张山，说明李仕高分项目多；
从方差角度考虑，李仕大于张山，说明张山各项成绩均衡；
【小问3详解】
张山的综合得分为(分)；
李仕的综合得分为 (分)；
∴张山的综合得分高.
22. 某商场对某种商品进行销售调整．已知该商品进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，现进行降价处理．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求这两次中平均每次下降的百分率．
（2）经调查，该商品每降价0.5元，平均每天可多销售4件．若要使每天销售该商品获利510元，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）该商品平均每次下降的百分率为10%；
（2）每件商品应降价元或元．
【解析】
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32．4元，列一元二次方程，求解即可；
（2）设每件商品应降价m元，根据每天要想获得510元的利润，列一元二次方程可得（40-30-m）（48+8m）=510，再解方程即可．
【小问1详解】
解：设每次降价的百分率为x， 根据题意，得40（1-x）2=32.4，
解得x1=0.1=10%，x2=1.9=190%（不合题意，舍去），
答：该商品平均每次下降的百分率为10%；
【小问2详解】
设每件商品应降价m元， 根据题意，得（40-30-m）（48+8m）=510，
整理得：，
解得
答：每件商品应降价元或元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键．
23. 已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x＋3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）k＝﹣3或k＝﹣1或k＝3
【解析】
【分析】（1）直接计算根的判别式即可证明；
（2）将x=-1带入即可求解；
（3）由公式法表示出方程的两根，根据两根均为正整数即可求出k的值．
【小问1详解】
证明：当k≠0时，
∵方程
∴
∴
当k＝0时，3x﹣3＝0，解得x＝1．
∴无论k取何值，方程都有实根．
【小问2详解】
把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，解得k．故k的值为．
【小问3详解】
解： ，
∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x，
∴此方程的两个根分别为 ，，
∵方程的两个实根均为正整数，
∴k＝﹣3或k＝﹣1或k＝3．
【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根的判别式是解答此题的关键，此题难度不大．
24. 点是平行四边形对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请证明（1）中的结论仍然成立．
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
【答案】（1）OE＝OF
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论；
（2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；
（3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，，再根据，，推出，即可得证．
【小问1详解】
如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
【小问2详解】
补全图形如图所示，仍然成立，
证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，
由（2） 可知 ，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决．姓名
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分）
张山
9
________
9
0.5
李仕
________
9.5
________
1.5
姓名
平均成绩 (分)
中位数 (分)
众数 (分)
方差 (分²)
张山
9
9
9
0.5
李仕
9
9.5
10
1.5