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2023-2024学年江苏省扬州市高邮市城北中学八年级（下）月考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省扬州市高邮市城北中学八年级（下）月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是( )
A. 中央电视台《开学第一课》的收视率B. 某城市居民6月份人均网上购物的次数
C. 即将发射的气象卫星的零部件质量D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程
3.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为( )
A. 20B. 24C. 28D. 30
4.下列式子①2x；②x+y5；③12−a；④xπ−1中，分式的个数有( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.如图，△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠BAC=50°，则∠DAC的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
6.下列分式中，分子、分母均不为0，把x、y的值同时变为原来的2倍后，结果也变为原来的2倍的是( )
A. x+yx2B. x2+y2xyC. x2+y2xD. 3x−2y2x+3y
7.如图，在▱ABCD中，AB=13，AD=5，AC⊥BC，则BD的长为( )
A. 6
B. 61
C. 12
D. 2 61
8.已知x为整数，且4x+4x2−1为整数，则所有符合条件的x的值有个．( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.要使分式xx−4有意义，则x的取值范围是______．
10.在平行四边形ABCD中，∠A=110°，则∠D= ______．
11.习近平总书记有句经典语录“空谈误国，实干兴邦”写成汉语拼音形式为“kngtanwugu，shiganxingbang”，则字母“n”出现的频率为______．
12.一组数据中的最小值是33，最大值是103，若组距为9，则组数为______．
13.若ba+ab=3，求a2+b25ab的值______．
14.如图，已知菱形ABCD的边长是13，O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．若菱形一条对角线长为10，则图中阴影部分的面积为______．
15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=______度．
16.如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D的长度为______．
17.已知关于x的方程2x+mx−1=1的解是正数，那么m的取值范围为______．
18.如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为AF，FG与CD交于点H.有如下结论：
①∠BAF=45°；
②∠CFH=30°；
③AE= 3DE；
④CH=GH．
上述结论中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程：
(1)2x−2=3x；
(2)2x+93x−9=4x−7x−3+2．
20.(本小题8分)
先化简：(1−3x+1)÷x2−4x+4x+1，然后从−1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
21.(本小题8分)
环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测扯数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，结果如下(每组含起点值，不含终点值)：
请解答下列问题：
(1)请补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中C组对应的扇形圆心角的度数是______；
(3)若城区共有400个噪声测量点，请估计该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数．
22.(本小题8分)
如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D、E、F、G、H、五个点分别位于小正方形的顶点上．
(1)画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°后的图形．
(2)先从E、F、G、H四个点中任意取两个不同的点，再和D点构成三角形，求所得三角形与△ABC面积相等的概率是______．
23.(本小题10分)
某市在创建文明城市建设的进程中，为了美化环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少万棵？
24.(本小题10分)
如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD//BC，DF//BE，AE=CF．
求证：(1)△AFD≌△CEB；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
25.(本小题10分)
如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形．
26.(本小题10分)
阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：x−1x−4xx−1=0．
解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，
方程两边同时乘y得：y2−4=0，
解得：y1=2，y2=−2．
经检验：y1=2，y2=−2都是方程y−4y=0的解．
当y=2时，x−1x=2，解得：x=−1；
当y=−2时，x−1x=−2，解得：x=13．
经检验：x1=−1或x2=13都是原分式方程的解．
∴原分式方程的解为x1=−1或x2=13．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程x−14x−xx−1=0中，设y=x−1x，则原方程可化为：______；
(2)若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y=x−1x+1，则原方程可化为：______；
(3)模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1=0．
27.(本小题12分)
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB′E，延长AB′与直线CD交于点M．
(1)求证：AM=MF；
(2)当点E是边BC的中点时，求CM的长；
(3)当CF=4时，求CM的长．
28.(本小题12分)
在四边形ABCD中，AD//BC，AB=6cm，AD=14cm，BC=20cm，∠ABC=90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？
(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
(3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的概念解答．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】
解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；
B、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；
C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查(普查)，故本选项符合题意；
D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．
【解答】
解：根据题意得9n=30%，解得n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：①2x；③12−a分母中含有字母，因此是分式；
②x+y5；④xπ−1的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
故分式有2个．
故选：B．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式．
5.【答案】A
【解析】【分析】
利用旋转角的定义以及角的和差求解即可．
本题考查旋转变换，解题的关键是掌握旋转角的概念．
【解答】
解：由旋转的性质可知，∠BAD=40°，
∵∠BAC=50°，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=50°−40°=10°，
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：A．2x+2y(2x)2=x+yx2⋅12，不符合题意；
B.(2x)2+(2y)22x⋅2y=x2+y2xy，不符合题意；
C.(2x)2+(2y)22x=2(x2+y2)xy，符合题意；
D.3×2x−2×2y2×2x+3×2y=3x−2y2x+3y，不符合题意；
故选：C．
依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
7.【答案】D
【解析】解：如图，AC与BD交于点O，
在平行四边形ABCD中，AB=13，AD=5，
∴BC=AD=5，
∵AC⊥BC，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可知AC= AB2−BC2= 132−52=12，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OC=12AC=6，
∴在Rt△BOC中，由勾股定理得：
OB= BC2+OC2= 52+62= 61，
∴BD=2OB=2 61，
故选：D．
由平行四边形的性质求得BC的长及OA=OC，OB=OD；在Rt△ABC中由勾股定理求得AC的长；在Rt△BOC中由勾股定理求得OB的长，再乘以2即可得出BD的长．
本题考查了平行四边形的性质及勾股定理在计算中的应用，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：4x+4x2−1=4(x+1)(x+1)(x−1)=4x−1，
∵x为整数，且4x+4x2−1为整数，
∴x−1=±1或±2或±4，
∴x=2或0或3或−1或5或−3，
∵x+1≠0，且x−1≠0，
∴x≠−1且x≠1，
∴x=2或0或3或5或−3，共有5个，
故选：C．
先化简4x+4x2−1，再根据x为整数，且4x+4x2−1为整数，可得x−1=±1或±2或±4，求出x的值，根据x+1≠0，且x−1≠0，即可最终确定x的个数．
本题考查了分式的值，涉及分式的基本性质，分式有意义的条件等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
9.【答案】x≠4
【解析】解：由题意得：x−4≠0，
解得：x≠4，
故答案为：x≠4．
根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
10.【答案】70°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=110°，
∴∠D=70°．
故答案为：70．
根据平行四边形的性质得出AB//CD，根据平行线的性质推出∠A+∠D=180°，即可求出答案．
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据性质推出∠A+∠D=180°是解此题的关键．
11.【答案】526
【解析】解：共有26个字母，n出现了5次，则字母“n”出现的频率为：526，
故答案为：526．
利用频数和频率定义可得答案．
此题主要考查了频数和频率，关键是掌握频率=频数÷总数．
12.【答案】8
【解析】解：∵数据的最小值是33，最大值是103，
∴103−33=70，
∵组距为9，
∴70÷9=779，
∴组数为8，
故答案为：8．
根据组数=(最大值−最小值)÷组距计算即可．
本题考查了数据组数的计算，根据“组数=(最大值−最小值)÷组距”计算，注意小数部分要进位．
13.【答案】35
【解析】解：∵ba+ab=3，
∴a2+b2=3ab，
∴原式=3ab5ab=35．
故答案为：35．
先根据ba+ab=3得出a2+b2=3ab，再代入代数式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
14.【答案】60
【解析】解：∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，
∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，
∵菱形ABCD的边长是13，菱形一条对角线长为10，
∴可得菱形的另一对角线长为：24，
∴阴影部分的面积=12S菱形ABCD=12×12×10×24=60．
故答案为：60．
根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．
本题考查了菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
15.【答案】22.5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB═OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∵∠EAC=2∠CAD，
∴∠EAO=∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∴∠AOE=45°，
∴∠OAB=∠OBA=180°−45°2=67.5°，
∴∠BAE=∠OAB−∠OAE=22.5°．
故答案为22.5°．
首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．
本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．
16.【答案】32cm
【解析】解：在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，
∴AB= AO2+BO2= 9+16=5(cm)，
∵点D是D的中点，
∴OD=12AB，
∴OD=52(cm)，
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，
∴OB=OB1=4(cm)，
∴B1D=B1O−OD=32(cm)，
故答案为：32cm．
由勾股定理可求AB的长，由旋转的性质可求OB=OB1=4cm，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
17.【答案】m<−1且m≠−2
【解析】解：去分母得：2x+m=x−1，
解得：x=−m−1，
由分式方程的解为正数，得到−m−1>0，且−m−1≠1，
解得：m<−1且m≠−2，
故答案为：m<−1且m≠−2
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】①②③④
【解析】解：∵菱形ABCD，
∴AB=BC=AD=CD，
∵∠D=∠ABC=60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，∠BAD=120°，
∵E是CD边的中点，
∴∠AED=∠GEH=90°，
∴∠DAE=90°−∠D=90°−60°=30°，
∴AE= 3DE，故③正确，
∴∠BAG=∠BAD−∠DAE=120°−30°=90°，
由折叠的性质可得，∠BAF=∠FAG，∠G=∠ABC=60°，
∴∠BAF=12∠BAG=12×90°=45°，故①正确，
∴∠CHF=∠GHE=30°，
∵∠BCD=180°−∠ABC=120°，
∴∠CFG=30°，故②正确，
连接AC，与FG交于点M，
∵∠CHM=30°，∠HCM=60°，
∴∠CMH=90°，
∴AM= 32AG，
∵AE= 32AD，
∴AM=AE，
∵AC=AB=AG，
∴CM=EG，
∴△CMH≌△GEH(AAS)，
∴CH=GH，故④正确，
故答案为：①②③④．
由菱形的性质，∠ABC=60°，可得△ABC，△ADC是等边三角形，结合E是CD边的中点，根据三线合一可得∠AED=90°，根据含30°角直角三角形的性质，可证③正确，由∠BAG=∠BAD−∠DAE，结合折叠的性质，可证①正确，由折叠的性质得到∠D的度数，结合∠AED=90°，得到∠CHF=∠GHE=30°，根据三角形内角和，可证②正确，连接AC，与FG交于点M，由∠CHM=30°，∠HCM=60°，得AM= 32AG，结合AE= 32AD，由△CMH≌△GEH(AAS)，可证④正确．
本题考查了，菱形的性质，折叠的性质，含30°角直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形．
19.【答案】解：(1)去分母得：2x=3(x−2)，
去括号得：2x=3x−6，
解得：x=6，
经检验x=6是分式方程的解；
(2)去分母得：2x+9=3(4x−7)+2(3x−9)，
去括号得：2x+9=12x−21+6x−18，
移项合并得：16x=48，
解得：x=3，
检验：把x=3代入得：3(x−3)=0，
∴x=3是增根，分式方程无解．
【解析】(1)根据解分式方程的步骤解方程即可；
(2)根据解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查了解分式方程，掌握分式方程去分母转化为整式方程是关键．
20.【答案】解：(1−3x+1)÷x2−4x+4x+1
=(x+1−3x+1)÷(x−2)2x+1
=x−2x+1×x+1(x−2)2
=1x−2，
∵当x=−1或2时，分母为0，分式无意义，
∴只能取0或1，
∴当x=0时，原式=−12，
当x=1时，原式=−1．
【解析】根据分式的运算进行化简，再根据分母不为0代入一个数求解．
此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式化简求值以及注意分母不为0是解题的关键．
21.【答案】108°
【解析】解：(1)∵样本容量为10÷25%=40，
∴C组频数为：40−(4+10+6+8)=12，
补全频数分布直方图如图：
(2)在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是360°×1240=108°，
故答案为：108°；
(3)估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数为400×4+10+1240=260(个)．
答：估计该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点有260个．
(1)先由B组频数及其对应的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他组的频数可得C组频数，即可补全频数分布直方图；
(2)用360°乘以C组频数所占比例即可；
(3)用总个数乘以样本中噪声声级低于70dB的测量点的个数所占比例即可．
本题主要考查扇形统计图、用样本估计总体、频数(率)分布直方图，解题的关键是结合频数分布表和扇形统计图得出样本容量及样本估计总体．
22.【答案】12
【解析】解：(1)如图所示：△A′BC′即为所求；
(2)∵S△ABC=12×3×4=6，
S△DEG=12×4×4=8，
S△FDG=12×3×4=6，
S△HFD=12×1×3=32，
S△HDE=12×3×4=6，
S△FDE=12×4×4=8，
S△HDG=12×3×4=6，
∴所得三角形与△ABC面积相等的概率是：36=12．
故答案为：12．
(1)利用旋转的性质得出对应点A′，C′点坐标，进而得出答案；
(2)分别求出各三角形的面积，进而得出与△ABC面积相等的概率．
此题主要考查了三角形面积求法以及图形的旋转变换，得出所有符合题意的三角形面积是解题关键．
23.【答案】解：设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树(1+20%)x万棵，
由题意得：30x−30(1+20%)x=5，
解得：x=1，
经检验，x=1是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天植树1万棵．
【解析】设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树(1+20%)x万棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前5天完成任务，列出分式方程，解分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24.【答案】证明：(1)如图，∵AD//BC，DF//BE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
又AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在△AFD与△CEB中，
∠1=∠2AF=CE∠3=∠4，
∴△AFD≌△CEB(ASA)；
(2)由(1)知，△AFD≌△CEB，则AD=CB．
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】(1)根据全等三角形的判定定理ASA证得△AFD≌△CEB；
(2)利用(1)中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”证得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
25.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD//CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AD//BC，且AD=BC，根据点C是BE的中点，得到BC=CE，等量代换得AD=CE，又因为AD//CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
(2)根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，属于常考题，牢记矩形的判定定理是解题的关键．
26.【答案】y4−1y=0 y−4y=0
【解析】解：(1)将y=x−1x代入原方程，则原方程化为y4−1y=0．
故答案为：y4−1y=0；
(2)将y=x−1x+1代入方程，则原方程可化为y−4y=0．
故答案为：y−4y=0；
(3)原方程化为：x−1x+2−x+2x−1=0，
设y=x−1x+2，则原方程化为：y−1y=0，
方程两边同时乘y得：y2−1=0，
解得：y=±1，
经检验：y=±1都是方程y−1y=0的解，
当y=1时，x−1x+2=1，该方程无解，
当y=−1时，x−1x+2=−1，解得：x=−12，
经检验：x=−12是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=−12．
(1)将所设的y代入原方程即可；
(2)将所设的y代入原方程即可；
(3)利用换元法解分式方程，设y=x−1x+2，将原方程化为y−1y=0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
本题考查了分式方程的解法，掌握换元法解分式方程是关键．
27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠F=∠BAF，
由折叠性质可得：
∠BAF=∠MAF，
∴∠F=∠MAF，
∴AM=MF，
(2)∵点E是边BC的中点，
∴BE=CE=12BC=4，
∵四边形ABCD是矩形，BC=8，
∴AB//CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=8，
∴∠F=∠BAF，
在△AEB和△FEC中，
∠AEB=∠FEC∠F=∠BAFBE=EC,
∴△AEB≌△FEC(AAS)，
∴AB=CF=6，
设CM=x，
∴AM=MF=x+6，DM=6−x，
在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，
∴(x+6)2=82+(6−x)2，
解得：x=83，
∴CM的长为83；
(3)当CF=4时，设CM=x，应分为两种情况：
第一种情况，如图，点E在线段BC上，
∴AM=MF=x+4，DM=6−x，
在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，
∴(x+4)2=82+(6−x)2，
解得：x=215，
∴CM的长为215；
第二种情况，如图，点E在线段BC的延长线上，
∴AM=MF=x−4，DM=x−6，
在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，
∴(x−4)2=82+(x−6)2，
解得：x=21，
∴CM的长为21；
综上，当CF=4时，CM的长为215或21．
【解析】(1)由折叠的性质和等腰三角形的判定即可求解；
(2)利用矩形的性质可得△AEB≌△FEC，利用全等三角形的性质可得AB=CF=6，设CM=x，由(1)可得AM=MF=x+6，DM=6−x，再利用勾股定理即可求解；
(3)当CF=4时，设CM=x，分为两种情况：第一种情况，点E在线段BC上，AM=MF=x+4，DM=6−x，第二种情况，点E在线段BC的延长线上，AM=MF=x−4，DM=x−6，利用勾股定理即可求解．
本题考查了折叠变换，矩形的性质，勾股定理等知识点，分类讨论的思想是解题的关键．
28.【答案】解：(1)∵∠ABC=90°，AP//BQ，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形，
由运动知，AP=t，CQ=3t，
∴BQ=20−3t，
∴t=20−3t，
解得t=5．
∴当t=5时，四边形ABQP成为矩形；
(2)①当AP=BQ时，t=20−3t，
此时t=5，四边形ABQP是平行四边形；
②当PD=BQ时，14−t=20−3t，
此时t=3，四边形PBQD是平行四边形时；
③当PD=QC时，14−t=3t，
此时t=3.5，四边形PQCD为平行四 边形；
综上所述，当t=5或t=3或t=3.5时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．
(3)四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：
∵PD//BQ，
∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．
由PD=BQ，得14−t=20−3t，
解得：t=3，
当t=3时，PD=14−3=11，BQ=20−9=11，AP=AD−PD=14−11=3．
在Rt△ABP中，AB=6，AP=3，
根据勾股定理得，BP═ AB2+AP2= 45≠11，
∴四边形PBQD不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，
由题意得，14−t=20−vt14−t= 36+t2，
解得：t=407v=4120．
故点Q的速度为4120cm/s时，能够使四边形PBQD在407s这一时刻为菱形．
【解析】(1)根据矩形的性质，对边相等建立方程求解即可；
(2)分三种情况，利用平行四边形的性质对边相等建立方程求解即可得出结论；
(3)先由平行四边形建立方程求出时间，再判定邻边是否相等，判断出不能是菱形，设出点Q的运动速度，用菱形的性质建立方程求解即可求出速度．
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识；本题综合性强，解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，是一道中考常考题．
1.下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是( )
A. 中央电视台《开学第一课》的收视率B. 某城市居民6月份人均网上购物的次数
C. 即将发射的气象卫星的零部件质量D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程
3.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为( )
A. 20B. 24C. 28D. 30
4.下列式子①2x；②x+y5；③12−a；④xπ−1中，分式的个数有( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.如图，△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠BAC=50°，则∠DAC的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
6.下列分式中，分子、分母均不为0，把x、y的值同时变为原来的2倍后，结果也变为原来的2倍的是( )
A. x+yx2B. x2+y2xyC. x2+y2xD. 3x−2y2x+3y
7.如图，在▱ABCD中，AB=13，AD=5，AC⊥BC，则BD的长为( )
A. 6
B. 61
C. 12
D. 2 61
8.已知x为整数，且4x+4x2−1为整数，则所有符合条件的x的值有个．( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.要使分式xx−4有意义，则x的取值范围是______．
10.在平行四边形ABCD中，∠A=110°，则∠D= ______．
11.习近平总书记有句经典语录“空谈误国，实干兴邦”写成汉语拼音形式为“kngtanwugu，shiganxingbang”，则字母“n”出现的频率为______．
12.一组数据中的最小值是33，最大值是103，若组距为9，则组数为______．
13.若ba+ab=3，求a2+b25ab的值______．
14.如图，已知菱形ABCD的边长是13，O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．若菱形一条对角线长为10，则图中阴影部分的面积为______．
15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=______度．
16.如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D的长度为______．
17.已知关于x的方程2x+mx−1=1的解是正数，那么m的取值范围为______．
18.如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为AF，FG与CD交于点H.有如下结论：
①∠BAF=45°；
②∠CFH=30°；
③AE= 3DE；
④CH=GH．
上述结论中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程：
(1)2x−2=3x；
(2)2x+93x−9=4x−7x−3+2．
20.(本小题8分)
先化简：(1−3x+1)÷x2−4x+4x+1，然后从−1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
21.(本小题8分)
环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测扯数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，结果如下(每组含起点值，不含终点值)：
请解答下列问题：
(1)请补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中C组对应的扇形圆心角的度数是______；
(3)若城区共有400个噪声测量点，请估计该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数．
22.(本小题8分)
如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D、E、F、G、H、五个点分别位于小正方形的顶点上．
(1)画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°后的图形．
(2)先从E、F、G、H四个点中任意取两个不同的点，再和D点构成三角形，求所得三角形与△ABC面积相等的概率是______．
23.(本小题10分)
某市在创建文明城市建设的进程中，为了美化环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少万棵？
24.(本小题10分)
如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD//BC，DF//BE，AE=CF．
求证：(1)△AFD≌△CEB；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
25.(本小题10分)
如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形．
26.(本小题10分)
阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：x−1x−4xx−1=0．
解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，
方程两边同时乘y得：y2−4=0，
解得：y1=2，y2=−2．
经检验：y1=2，y2=−2都是方程y−4y=0的解．
当y=2时，x−1x=2，解得：x=−1；
当y=−2时，x−1x=−2，解得：x=13．
经检验：x1=−1或x2=13都是原分式方程的解．
∴原分式方程的解为x1=−1或x2=13．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程x−14x−xx−1=0中，设y=x−1x，则原方程可化为：______；
(2)若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y=x−1x+1，则原方程可化为：______；
(3)模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1=0．
27.(本小题12分)
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB′E，延长AB′与直线CD交于点M．
(1)求证：AM=MF；
(2)当点E是边BC的中点时，求CM的长；
(3)当CF=4时，求CM的长．
28.(本小题12分)
在四边形ABCD中，AD//BC，AB=6cm，AD=14cm，BC=20cm，∠ABC=90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？
(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
(3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的概念解答．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】
解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；
B、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；
C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查(普查)，故本选项符合题意；
D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．
【解答】
解：根据题意得9n=30%，解得n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：①2x；③12−a分母中含有字母，因此是分式；
②x+y5；④xπ−1的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
故分式有2个．
故选：B．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式．
5.【答案】A
【解析】【分析】
利用旋转角的定义以及角的和差求解即可．
本题考查旋转变换，解题的关键是掌握旋转角的概念．
【解答】
解：由旋转的性质可知，∠BAD=40°，
∵∠BAC=50°，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=50°−40°=10°，
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：A．2x+2y(2x)2=x+yx2⋅12，不符合题意；
B.(2x)2+(2y)22x⋅2y=x2+y2xy，不符合题意；
C.(2x)2+(2y)22x=2(x2+y2)xy，符合题意；
D.3×2x−2×2y2×2x+3×2y=3x−2y2x+3y，不符合题意；
故选：C．
依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
7.【答案】D
【解析】解：如图，AC与BD交于点O，
在平行四边形ABCD中，AB=13，AD=5，
∴BC=AD=5，
∵AC⊥BC，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可知AC= AB2−BC2= 132−52=12，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OC=12AC=6，
∴在Rt△BOC中，由勾股定理得：
OB= BC2+OC2= 52+62= 61，
∴BD=2OB=2 61，
故选：D．
由平行四边形的性质求得BC的长及OA=OC，OB=OD；在Rt△ABC中由勾股定理求得AC的长；在Rt△BOC中由勾股定理求得OB的长，再乘以2即可得出BD的长．
本题考查了平行四边形的性质及勾股定理在计算中的应用，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：4x+4x2−1=4(x+1)(x+1)(x−1)=4x−1，
∵x为整数，且4x+4x2−1为整数，
∴x−1=±1或±2或±4，
∴x=2或0或3或−1或5或−3，
∵x+1≠0，且x−1≠0，
∴x≠−1且x≠1，
∴x=2或0或3或5或−3，共有5个，
故选：C．
先化简4x+4x2−1，再根据x为整数，且4x+4x2−1为整数，可得x−1=±1或±2或±4，求出x的值，根据x+1≠0，且x−1≠0，即可最终确定x的个数．
本题考查了分式的值，涉及分式的基本性质，分式有意义的条件等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
9.【答案】x≠4
【解析】解：由题意得：x−4≠0，
解得：x≠4，
故答案为：x≠4．
根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
10.【答案】70°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=110°，
∴∠D=70°．
故答案为：70．
根据平行四边形的性质得出AB//CD，根据平行线的性质推出∠A+∠D=180°，即可求出答案．
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据性质推出∠A+∠D=180°是解此题的关键．
11.【答案】526
【解析】解：共有26个字母，n出现了5次，则字母“n”出现的频率为：526，
故答案为：526．
利用频数和频率定义可得答案．
此题主要考查了频数和频率，关键是掌握频率=频数÷总数．
12.【答案】8
【解析】解：∵数据的最小值是33，最大值是103，
∴103−33=70，
∵组距为9，
∴70÷9=779，
∴组数为8，
故答案为：8．
根据组数=(最大值−最小值)÷组距计算即可．
本题考查了数据组数的计算，根据“组数=(最大值−最小值)÷组距”计算，注意小数部分要进位．
13.【答案】35
【解析】解：∵ba+ab=3，
∴a2+b2=3ab，
∴原式=3ab5ab=35．
故答案为：35．
先根据ba+ab=3得出a2+b2=3ab，再代入代数式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
14.【答案】60
【解析】解：∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，
∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，
∵菱形ABCD的边长是13，菱形一条对角线长为10，
∴可得菱形的另一对角线长为：24，
∴阴影部分的面积=12S菱形ABCD=12×12×10×24=60．
故答案为：60．
根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．
本题考查了菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
15.【答案】22.5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB═OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∵∠EAC=2∠CAD，
∴∠EAO=∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∴∠AOE=45°，
∴∠OAB=∠OBA=180°−45°2=67.5°，
∴∠BAE=∠OAB−∠OAE=22.5°．
故答案为22.5°．
首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．
本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．
16.【答案】32cm
【解析】解：在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，
∴AB= AO2+BO2= 9+16=5(cm)，
∵点D是D的中点，
∴OD=12AB，
∴OD=52(cm)，
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，
∴OB=OB1=4(cm)，
∴B1D=B1O−OD=32(cm)，
故答案为：32cm．
由勾股定理可求AB的长，由旋转的性质可求OB=OB1=4cm，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
17.【答案】m<−1且m≠−2
【解析】解：去分母得：2x+m=x−1，
解得：x=−m−1，
由分式方程的解为正数，得到−m−1>0，且−m−1≠1，
解得：m<−1且m≠−2，
故答案为：m<−1且m≠−2
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】①②③④
【解析】解：∵菱形ABCD，
∴AB=BC=AD=CD，
∵∠D=∠ABC=60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，∠BAD=120°，
∵E是CD边的中点，
∴∠AED=∠GEH=90°，
∴∠DAE=90°−∠D=90°−60°=30°，
∴AE= 3DE，故③正确，
∴∠BAG=∠BAD−∠DAE=120°−30°=90°，
由折叠的性质可得，∠BAF=∠FAG，∠G=∠ABC=60°，
∴∠BAF=12∠BAG=12×90°=45°，故①正确，
∴∠CHF=∠GHE=30°，
∵∠BCD=180°−∠ABC=120°，
∴∠CFG=30°，故②正确，
连接AC，与FG交于点M，
∵∠CHM=30°，∠HCM=60°，
∴∠CMH=90°，
∴AM= 32AG，
∵AE= 32AD，
∴AM=AE，
∵AC=AB=AG，
∴CM=EG，
∴△CMH≌△GEH(AAS)，
∴CH=GH，故④正确，
故答案为：①②③④．
由菱形的性质，∠ABC=60°，可得△ABC，△ADC是等边三角形，结合E是CD边的中点，根据三线合一可得∠AED=90°，根据含30°角直角三角形的性质，可证③正确，由∠BAG=∠BAD−∠DAE，结合折叠的性质，可证①正确，由折叠的性质得到∠D的度数，结合∠AED=90°，得到∠CHF=∠GHE=30°，根据三角形内角和，可证②正确，连接AC，与FG交于点M，由∠CHM=30°，∠HCM=60°，得AM= 32AG，结合AE= 32AD，由△CMH≌△GEH(AAS)，可证④正确．
本题考查了，菱形的性质，折叠的性质，含30°角直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形．
19.【答案】解：(1)去分母得：2x=3(x−2)，
去括号得：2x=3x−6，
解得：x=6，
经检验x=6是分式方程的解；
(2)去分母得：2x+9=3(4x−7)+2(3x−9)，
去括号得：2x+9=12x−21+6x−18，
移项合并得：16x=48，
解得：x=3，
检验：把x=3代入得：3(x−3)=0，
∴x=3是增根，分式方程无解．
【解析】(1)根据解分式方程的步骤解方程即可；
(2)根据解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查了解分式方程，掌握分式方程去分母转化为整式方程是关键．
20.【答案】解：(1−3x+1)÷x2−4x+4x+1
=(x+1−3x+1)÷(x−2)2x+1
=x−2x+1×x+1(x−2)2
=1x−2，
∵当x=−1或2时，分母为0，分式无意义，
∴只能取0或1，
∴当x=0时，原式=−12，
当x=1时，原式=−1．
【解析】根据分式的运算进行化简，再根据分母不为0代入一个数求解．
此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式化简求值以及注意分母不为0是解题的关键．
21.【答案】108°
【解析】解：(1)∵样本容量为10÷25%=40，
∴C组频数为：40−(4+10+6+8)=12，
补全频数分布直方图如图：
(2)在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是360°×1240=108°，
故答案为：108°；
(3)估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数为400×4+10+1240=260(个)．
答：估计该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点有260个．
(1)先由B组频数及其对应的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他组的频数可得C组频数，即可补全频数分布直方图；
(2)用360°乘以C组频数所占比例即可；
(3)用总个数乘以样本中噪声声级低于70dB的测量点的个数所占比例即可．
本题主要考查扇形统计图、用样本估计总体、频数(率)分布直方图，解题的关键是结合频数分布表和扇形统计图得出样本容量及样本估计总体．
22.【答案】12
【解析】解：(1)如图所示：△A′BC′即为所求；
(2)∵S△ABC=12×3×4=6，
S△DEG=12×4×4=8，
S△FDG=12×3×4=6，
S△HFD=12×1×3=32，
S△HDE=12×3×4=6，
S△FDE=12×4×4=8，
S△HDG=12×3×4=6，
∴所得三角形与△ABC面积相等的概率是：36=12．
故答案为：12．
(1)利用旋转的性质得出对应点A′，C′点坐标，进而得出答案；
(2)分别求出各三角形的面积，进而得出与△ABC面积相等的概率．
此题主要考查了三角形面积求法以及图形的旋转变换，得出所有符合题意的三角形面积是解题关键．
23.【答案】解：设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树(1+20%)x万棵，
由题意得：30x−30(1+20%)x=5，
解得：x=1，
经检验，x=1是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天植树1万棵．
【解析】设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树(1+20%)x万棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前5天完成任务，列出分式方程，解分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24.【答案】证明：(1)如图，∵AD//BC，DF//BE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
又AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在△AFD与△CEB中，
∠1=∠2AF=CE∠3=∠4，
∴△AFD≌△CEB(ASA)；
(2)由(1)知，△AFD≌△CEB，则AD=CB．
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】(1)根据全等三角形的判定定理ASA证得△AFD≌△CEB；
(2)利用(1)中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”证得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
25.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD//CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AD//BC，且AD=BC，根据点C是BE的中点，得到BC=CE，等量代换得AD=CE，又因为AD//CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
(2)根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，属于常考题，牢记矩形的判定定理是解题的关键．
26.【答案】y4−1y=0 y−4y=0
【解析】解：(1)将y=x−1x代入原方程，则原方程化为y4−1y=0．
故答案为：y4−1y=0；
(2)将y=x−1x+1代入方程，则原方程可化为y−4y=0．
故答案为：y−4y=0；
(3)原方程化为：x−1x+2−x+2x−1=0，
设y=x−1x+2，则原方程化为：y−1y=0，
方程两边同时乘y得：y2−1=0，
解得：y=±1，
经检验：y=±1都是方程y−1y=0的解，
当y=1时，x−1x+2=1，该方程无解，
当y=−1时，x−1x+2=−1，解得：x=−12，
经检验：x=−12是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=−12．
(1)将所设的y代入原方程即可；
(2)将所设的y代入原方程即可；
(3)利用换元法解分式方程，设y=x−1x+2，将原方程化为y−1y=0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
本题考查了分式方程的解法，掌握换元法解分式方程是关键．
27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠F=∠BAF，
由折叠性质可得：
∠BAF=∠MAF，
∴∠F=∠MAF，
∴AM=MF，
(2)∵点E是边BC的中点，
∴BE=CE=12BC=4，
∵四边形ABCD是矩形，BC=8，
∴AB//CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=8，
∴∠F=∠BAF，
在△AEB和△FEC中，
∠AEB=∠FEC∠F=∠BAFBE=EC,
∴△AEB≌△FEC(AAS)，
∴AB=CF=6，
设CM=x，
∴AM=MF=x+6，DM=6−x，
在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，
∴(x+6)2=82+(6−x)2，
解得：x=83，
∴CM的长为83；
(3)当CF=4时，设CM=x，应分为两种情况：
第一种情况，如图，点E在线段BC上，
∴AM=MF=x+4，DM=6−x，
在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，
∴(x+4)2=82+(6−x)2，
解得：x=215，
∴CM的长为215；
第二种情况，如图，点E在线段BC的延长线上，
∴AM=MF=x−4，DM=x−6，
在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，
∴(x−4)2=82+(x−6)2，
解得：x=21，
∴CM的长为21；
综上，当CF=4时，CM的长为215或21．
【解析】(1)由折叠的性质和等腰三角形的判定即可求解；
(2)利用矩形的性质可得△AEB≌△FEC，利用全等三角形的性质可得AB=CF=6，设CM=x，由(1)可得AM=MF=x+6，DM=6−x，再利用勾股定理即可求解；
(3)当CF=4时，设CM=x，分为两种情况：第一种情况，点E在线段BC上，AM=MF=x+4，DM=6−x，第二种情况，点E在线段BC的延长线上，AM=MF=x−4，DM=x−6，利用勾股定理即可求解．
本题考查了折叠变换，矩形的性质，勾股定理等知识点，分类讨论的思想是解题的关键．
28.【答案】解：(1)∵∠ABC=90°，AP//BQ，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形，
由运动知，AP=t，CQ=3t，
∴BQ=20−3t，
∴t=20−3t，
解得t=5．
∴当t=5时，四边形ABQP成为矩形；
(2)①当AP=BQ时，t=20−3t，
此时t=5，四边形ABQP是平行四边形；
②当PD=BQ时，14−t=20−3t，
此时t=3，四边形PBQD是平行四边形时；
③当PD=QC时，14−t=3t，
此时t=3.5，四边形PQCD为平行四 边形；
综上所述，当t=5或t=3或t=3.5时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．
(3)四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：
∵PD//BQ，
∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．
由PD=BQ，得14−t=20−3t，
解得：t=3，
当t=3时，PD=14−3=11，BQ=20−9=11，AP=AD−PD=14−11=3．
在Rt△ABP中，AB=6，AP=3，
根据勾股定理得，BP═ AB2+AP2= 45≠11，
∴四边形PBQD不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，
由题意得，14−t=20−vt14−t= 36+t2，
解得：t=407v=4120．
故点Q的速度为4120cm/s时，能够使四边形PBQD在407s这一时刻为菱形．
【解析】(1)根据矩形的性质，对边相等建立方程求解即可；
(2)分三种情况，利用平行四边形的性质对边相等建立方程求解即可得出结论；
(3)先由平行四边形建立方程求出时间，再判定邻边是否相等，判断出不能是菱形，设出点Q的运动速度，用菱形的性质建立方程求解即可求出速度．
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识；本题综合性强，解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，是一道中考常考题．
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