2024年天津市和平区中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2024年天津市和平区中考数学三模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.估计 14的值在( )
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
2.已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.据2024年4月22日《人民网》报道，天津“五大道海棠花节”入围2024城市文旅品牌创新十佳案例公示名单.清明假期期间，五大道景区接待游客2020000人次，同比增长133%，活动美誉度与城市影响力持续攀升.天津以“繁花”促“繁华”，使“网红”为“长红”.将数据2020000用科学记数法表示应为( )
A. 202×104B. 20.2×105C. 2.02×106D. 0.202×107
5.计算−6−12÷3的结果等于( )
A. 6B. −2C. −6D. −10
6.若点A(x1,−2)，B(x2,1)，C(x3,2)都在反比例函数y=kx(k为常数，k>0)的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A. x27.12sin45°− 22的值等于( )
A. 0B. 24C. − 24D. 1
8.若x1，x2是方程2x+4=x2的两个根，则(x1+1)(x2+1)的值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
9.化简4x+2+x−2的结果是( )
A. 1B. x2x2−4C. xx+2D. x2x+2
10.如图，⊙O外有一点P，连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于12OP的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN与OP相交于点Q，以点Q为圆心，OQ长为半径作圆与⊙O相交于A，B两点，连接PA，PB，EF与⊙O相切于点C，与PA，PB分别相交于点E，F.若PA=2，则△PEF的周长为( )
A. 4 3B. 4C. 2 3D. 2
11.如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A顺时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是( )
A. AB//NC
B. ∠BAM=∠NMC
C. CM+CN>BC
D. MN⊥AC
12.用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的菜园．
方案一：如图①，围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，其中AD≥AB；
方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径EF是墙，其余用篱笆．
有下列结论：
①AB的长可以是13m；
②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为160m2；
③矩形菜园ABCD的面积的最大值为162m2；
④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积．
其中，正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.不透明袋子中装有12个球，其中有3个绿球、4个红球，其它都是黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率为______．
14.化简(3+2 2)(3−2 2)的结果为______．
15.计算(−2x2)3的结果等于______．
16.若直线y=−x向上平移3个单位长度后经过点(3,m)，则m的值为______．
17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，连接CE，S△BEC=12．
(Ⅰ)△ACE的面积为______；
(Ⅱ)若点F为OD的中点，连接EF交OA于点G，OG=1，则线段CE的长为______．
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
(Ⅰ)线段AC的长等于______；
(Ⅱ)以AB为直径作半圆，在∠ABC的角平分线上有一点P，BC上有一点Q，使CP+PQ的值最小.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明) ______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解不等式组2x+1>x+2①3x−52≤x−1②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
(Ⅰ)解不等式①，得______；
(Ⅱ)解不等式②，得______；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为______．
20.(本小题8分)
在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的a名运动员的成绩(单位：m)，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)填空：a的值为______，图①中m的值为______；
(Ⅱ)求统计的这组运动员初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
(Ⅲ)根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．
21.(本小题10分)
圆内接四边形ABCD，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
(Ⅰ)如图①，求∠BAD的大小；
(Ⅱ)如图②，过点C作圆的切线与AB的延长线相交于点F，若CF/​/AD，AF=3，求圆半径的长．
22.(本小题10分)
如图，小岛A，B，C在同一条南北方向的直线上.一艘轮船位于灯塔M的正西方向，距离灯塔M30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔M的西北方向上的B处，轮船沿北偏东30°方向航行到达小岛D，这时测得灯塔M位于D的南偏东14°方向上，C在D处的正西方向．
(Ⅰ)求小岛A，B之间的距离AB的长；
(Ⅱ)设小岛C，D之间的距离CD为h(单位：海里)；
①用含有h的式子表示线段AC的长(结果保留根号)；
②求小岛C，D之间的距离.(sin14°≈0.24,cs14°≈0.97,tan14°≈0.25, 3取1.73，结果精确到0.1海里)．
23.(本小题10分)
已知学生宿舍、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离宿舍0.6km，体育场离学生宿舍1.2km.张强从宿舍出发，先用了20min匀速步行去超市，在超市购买一些水和食物后，用了10min匀速跑步到达体育场，锻炼了半小时后匀速骑车返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离.图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：
(Ⅰ)①填表：
②填空：张强从超市到体育场的速度为______km/min；
③当0≤x≤40时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
(Ⅱ)同宿舍的李明比张强晚5min从学生宿舍出发直接匀速步行前往体育场，却比张强早15min到达体育场.李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？(直接写出结果即可)
24.(本小题10分)
将一个直角三角形纸片ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，A(−1,0)，C(0, 3)，D为边AB的中点，连接CD，点E，F分别为AC，CD的中点．
(Ⅰ)填空：如图①，点D的坐标为______，点F的坐标为______；
(Ⅱ)将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′F′G′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，当点H′与点B重合时停止移动.设FF′=t，矩形E′F′G′H′与△CBD重叠部分的面积记为S．
①如图②，当边E′F′与BC相交于点M，边F′G′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与△CBD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当13≤t≤3时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．
25.(本小题10分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过坐标原点，顶点P的坐标为(1,−1)，与x轴的另一个交点为A．
(Ⅰ)求抛物线解析式和点A的坐标；
(Ⅱ)抛物线上有一点D，过点D作直线y=x−4的垂线，垂足为点E，DE=4 2，求点D的坐标；
(Ⅲ)抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点G是点F关于点P的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点.若过点Q的直线l：y=kx+m(k,b为常数，|k|<2)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GO，GA相交于点H，K，求GH+GK的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵9<14<16，
∴ 9< 14< 16，
即3< 14<4．
故选：B．
先确定9<14<16，再利用算术平方根的性质即可求得答案．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
2.【答案】A
【解析】解：该几何体的左视图如下：
故选：A．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意中间看不到的线用虚线表示．
3.【答案】D
【解析】解：A.该图案是轴对称图形，也是中心对称图形．故不符合题意；
B.该图案是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；
C.该图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故不符合题意；
D.该图案是中心对称图形，不是轴对称图形．故符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.【答案】C
【解析】解：2020000=2.02×106，
故选：C．
科学记数法的表现形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数，表示时关键是要正确确定a及n的值．
本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：−6−12÷3
=−6−4
=−10，
故选：D．
先算除法，再算减法即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k>0)，
∴反比例函数y=kx(k>0)图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
∵A(x1,−2)，
∴点A在第三象限，
∴x1<0，
又∵1<2，
∴x2>x3>0，
∴x1故选：C．
先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：12sin45°− 22
=12× 22− 22
= 24− 22
=− 24．
故选：C．
首先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
8.【答案】A
【解析】解：原方程整理得x2−2x−4=0，
∵x1，x2是方程2x+4=x2的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=−4，
∴(x1+1)(x2+1)
=x1x2+(x1+x2)+1
=−4+2+1
=−1．
故选：A．
利用根与系数的关系即可得到x1+x2=2，x1x2=−4，代入(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1求解即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
9.【答案】D
【解析】解：原式=4x+2+(x−2)(x+2)x+2
=4+x2−4x+2
=x2x+2，
故选：D．
利用分式的加法法则进行计算即可．
本题考查分式的加法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10.【答案】B
【解析】解：连接OA，OB，
由题意知：MN垂直平分PO，
∴PO是⊙Q的直径，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴PA，PB是圆的切线，
∴PA=PB，
∵EF切圆于C，
∴AE=CE，BF=CF，
∴△PEF的周长=PE+PF+EF=PE+PF+AE+BF=PA+PB=2PA=2×2=4．
故选：B．
由圆周角定理推出∠PAO=∠PBO=90°，判定PA，PB是圆的切线，由切线长定理得到PA=PB，AE=CE，BF=CF，得到△PEF的周长=PE+PF+EF=2PA=2×2=4．
本题考查切线的判定，切线长定理，关键是由切线长定理推出PA=PB，AE=CE，BF=CF，得到△PEF的周长=2PA．
11.【答案】B
【解析】解：如图，设AC与MN的交点为O，
∵将△ABM绕点A顺时针旋转得到△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，AM=AN，BM=CN，
∴∠BAC=∠MAN，
又∵AB=AC，AM=AN，
∴∠ABC=∠ACB=∠AMN=∠ANM，
∵∠AOM=∠ACB+∠CMN=∠ANM+∠CAN，
∴∠NMC=∠CAN，
∴∠BAM=∠NMC，故选项B符合题意，
由题意无法推导出ACD选项，
故选：B．
由旋转的性质可得∠BAM=∠CAN，AM=AN，BM=CN，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠AMN=∠ANM，由外角的性质可得∠NMC=∠CAN，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：如图①，设AB边长为x m，则AD边长为(36−2x)m，
当AB=13时，AD=36−26=10(m)，
∴AD∵AD≥AB，
故①不正确；
∵菜园ABCD面积为160m2，
∴x⋅(36−2x)=160，
整理得：x2−18x+80=0，
解得：x=10或x=8，
∴AB=10m或AB=8m，
∵AB=10m时，AD=16m，满足AD≥AB，
故②正确；
设矩形菜园的面积为Sm2，
根据题意得：S=x⋅(36−2x)=−2(x2−18x)=−2(x−9)2+162，
∵−2<0，
∴当x=9时，S有最大值，最大值为162，
故③正确；
如图②，设EF=r m，则弧长l=(36−r)m，
∴S扇形=12lr=12(36−r)⋅r=−12(r−18)2+162，
∵−12<0，
∴当r=18时，S有最大值，最大值为162，
∴方案二围成扇形菜园的最大面积等于方案一围成矩形菜园的最大面积．
故④不正确．
∴正确结论是②③2个．
故选：B．
①设AB边长为x m，则AD边长为(36−2x)m，当AB=13时，求出AD是10，不符合题意，即可判断正误；
②列出一元二次方程x⋅(36−2x)=160，求出x值即可判断正误；
③列出二次函数解析式S=−2(x−9)2+162，根据最值求法即可判断正误；
④列出二次函数解析式S扇形=−12(r−18)2+162，求得扇形面积的最大值，即可判断正误．
本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，准确列出方程和函数解析式是解答本题的关键．
13.【答案】512
【解析】解：由题意可得，
从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率为12−3−412=512，
故答案为：512．
根据题意可知，用黄球个数除以总的球数，即可得到从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
14.【答案】1
【解析】解：原式=9−8
=1．
故答案为1．
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15.【答案】−8x6
【解析】解：(−2x2)3=−8x6，
故答案为：−8x6．
根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．
此题主要考查了积的乘方，关键是掌握积的乘方的计算法则．
16.【答案】0
【解析】解：将直线y=−x向上平移3个单位，得到直线y=−x+3，
把点(3,m)代入，得m=−3+3=0．
故答案为：0．
先根据平移规律求出直线y=−x向上平移3个单位的直线解析式，再把点(3,m)代入，即可求出m的值．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
17.【答案】12 3 5
【解析】解：(Ⅰ)作EM⊥OA于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥OA，OD=OB，OA=OC，
∴EM/​/OB，
∴AM：MO=AE：EB，
∵AE=BE，
∴AM=OM，
∴EM是△ABO的中位线，
∴EM=12OB，
∵DF=OF，
∴OF=12OD，
∴EM=OF，
∵∠MEG=∠OFG，∠MGE=∠OGF，
∴△EMG≌△FOG(AAS)，
∴MG=OG，
∴OM=2OG，
∴OA=2OM，
∴AC=2OA=8，
∵AE=BE，
∴△BAC的面积=2×△BEC的面积=2×12=24，
∴△ACE的面积=24−12=12，
故答案为：12．
(Ⅱ)∵△BAC的面积=2×△BEC的面积=2×12=24，
∴12AC⋅OB=24，
∴OB=6，
∴EM=12OB=3，
∵CM=OM+OC=2+4=6，
∴CE= CM2+EM2=3 5．
故答案为：3 5．
(Ⅰ)作EM⊥OA于M，由菱形的性质，平行线分线段成比例定理证明EM是ABO的中位线，得到EM=12OB，因此OF=EM，推出△EMG≌△FOG，得到MG=OG=1，从而求出OA的长，得到AC的长，求出CM的长，进而利用三角形面积解答即可；
(Ⅱ)由三角形面积公式求出OB长，得到EM的长，由勾股定理即可求出CE的长．
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是作EM⊥OA于M，证明△EMG≌△FOG，求出OA的长．
18.【答案】 13 取AC与格线的交点D，AB与格线交点O，连接OD并延长交半圆于点E，连接BE，取AC与半圆的交点F，BC与半圆的交点G，连接BF和AG相交于点H，连接CH并延长与BE相交于点P，点P即为所求
【解析】解：(Ⅰ)AC= 22+32= 13；
故答案为： 13
(Ⅱ)如图，点P即为所求．取AC与格线的交点D，AB与格线交点O，连接OD并延长交半圆于点E，连接BE，取AC与半圆的交点F，BC与半圆的交点G，连接BF和AG相交于点H，连接CH并延长与BE相交于点P，点P即为所求．
故答案为：
(Ⅰ)利用勾股定理求解；
(Ⅱ)取AC与格线的交点D，AB与格线交点O，连接OD并延长交半圆于点E，连接BE，取AC与半圆的交点F，BC与半圆的交点G，连接BF和AG相交于点H，连接CH并延长与BE相交于点P，点P即为所求．
本题考查作图−复杂作图，勾股定理，圆周角定理，轴对称最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，垂线段最短解决最值问题．
19.【答案】x>1 x≤3 1【解析】解：(Ⅰ)解不等式①，得x>1；
(Ⅱ)解不等式②，得x≤3；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为1故答案为：x>1，x≤3，1分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】20 25
【解析】解：(Ⅰ)根据题意得：
男子跳高初赛的运动员有：a=2+4+5+6+3=20(人)；
1−20%−10%−15%−30%=25%；
则a的值是25；
故答案为：20，25；
(Ⅱ)观察条形统计图：
x−=1.50×2+1.55×4+1.60×5+1.65×6+1.70×32+4+5+6+3=1.61，
∴这组数据的平均数是1.61；
∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是1.65；
∵将这组数据按由小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是1.60，
1.60+1.602=1.60，
∴这组数据的中位数是1.60；
(Ⅲ)能；理由如下：
∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，
∴根据中位数可以判断出能否进入前十名；
∵1.65m>1.60m，
∴能进入复赛．
(Ⅰ)依据图②把人数相加即可得到a的值；用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a的值；
(Ⅱ)根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；
(Ⅲ)根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛．
本题考查了条形统计图，加权平均数，中位数，众数，解答本题的关键是熟练浑似它们的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
21.【答案】解：(Ⅰ)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠BAC=∠BDC，而∠BAC=∠ADB，
∴∠ADB=∠BDC．
又∵BD=BD，
∴△BAD≌△BCD(ASA)，
∴∠BAD=∠BCD．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠BCD=90°；
(Ⅱ)∵∠BAD=90°，
∴BD是圆的直径．
设BD的中点为O，即点O为圆心．连接CO并延长与AD相交于点H．
∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥FC．
∴∠OCF=90°，
∵CF/​/AD，
∴∠OCF=∠CHD=90°，
∴OH⊥AD，
∴AC=CD，
∴AC=CD，
由(Ⅰ)得△BAD≌△BCD，
∴AD=CD．
∴AD=CD=AC，
∴△ADC是等边三角形．
∴∠ADC=60°，
∴∠ADB=∠BDC=30°，
∴在Rt△OHD中，OH=12OD，
∵∠OCF=∠OHA=∠BAD=90°，
∴四边形AFCH是矩形．
∴AF=CH=3．
∵OH=OC+OH=32OC=3，
∴OC=3×23=2．
即圆的半径长为2．
【解析】(1)根据角平分线的定义，圆周角定理，全等三角形的判定和性质以及圆内接四边形的性质进行解答即可；
(2)根据平行线的性质，矩形的性质，直角三角形的边角关系进行计算即可．
本题考查角平分线，圆周角定理，全等三角形的判定和性质以及圆内接四边形，掌握角平分线的定义，圆周角定理，全等三角形的判定和性质以及圆内接四边形的性质是正确解答的关键．
22.【答案】解：(Ⅰ)由题意得：AB⊥AM，∠BMA=90°−45°=45°，
在Rt△ABM中，AM=30海里，
∴AB=AM⋅tan45°=30(海里)，
∴小岛A，B之间的距离AB的长为30海里；
(Ⅱ)①由题意得：DC⊥AC，
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，CD=h，
∴BC=CDtan30∘=h 33= 3h(海里)，
由(Ⅰ)得：AB=30海里，
∴AC=AB+BC=(30+ 3h)海里，
∴线段AC的长为( 3h+30)海里；
②过点D作DN⊥AM，垂足为N，

由题意得：AC=DN=(30+ 3h)海里，CD=AN=h海里，
∵AM=30海里，
∴MN=AM−AN=(30−h)海里，
在Rt△DMN中，∠MDN=14°，
∴MN=DN⋅tan14°≈0.25(30+ 3h)海里，
∴30−h=0.25(30+ 3h)，
解得：h≈15.7，
答：小岛C，D之间的距离约为15.7海里．
【解析】(Ⅰ)根据题意可得：AB⊥AM，∠BMA=45°，然后在Rt△ABM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
(Ⅱ)①根据题意可得：DC⊥AC，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；
②过点D作DN⊥AM，垂足为N，根据题意可得：AC=DN=(30+ 3h)海里，CD=AN=h海里，从而可得MN=(30−h)海里，然后在Rt△DMN中，利用锐角三角函数的定义求出MN的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】0.3 0.9 1.2 0.06
【解析】解：(Ⅰ)①∵0.620×10=0.3(km)，
∴张强离开宿舍10min，离宿舍的距离为0.3km；
∵1.2−0.640−30×(35−30)+0.6=0.9(km)，
∴张强离开宿舍35min，离宿舍的距离为0.9km；
由图象可知，张强离开宿舍70min，离宿舍的距离为1.2km；
故答案为：0.3，0.9，1.2；
②∵1.2−0.640−30=0.06(km/min)，
∴张强从超市到体育场的速度为0.06km/min；
故答案为：0.06；
③当0≤x≤20时，y=0.620x=0.03x；
当20当30≤x≤40时，y=0.6+1.2−0.640−30(x−30)=0.06x−1.2；
∴y=0.03x(0≤x≤20)0.6(20(Ⅱ)当x=20时，李明离宿舍的距离为1.240−15−5×(20−5)=0.9(km)，此时张强离宿舍的距离为0.6km，
∴李明在去体育场的途中遇到张强时，0≤x≤20；
根据题意，1.240−15−5(x−5)=0.03x，
解得x=10，
∴1.240−15−5(x−5)=0.06×5=0.3，
∴李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是0.3km．
(Ⅰ)①由0.620×10=0.3(km)知张强离开宿舍10min，离宿舍的距离为0.3km；由1.2−0.640−30×(35−30)+0.6=0.9(km)，得张强离开宿舍35min，离宿舍的距离为0.9km；由图象可知，张强离开宿舍70min，离宿舍的距离为1.2km；
②用路程除以时间可得张强从超市到体育场的速度为0.06km/min；
③当0≤x≤20时，y=0.620x=0.03x；当20(Ⅱ)先判断李明在去体育场的途中遇到张强时，0≤x≤20，可得1.240−15−5(x−5)=0.03x，x=10，即可得李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是0.3km．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
24.【答案】(1,0) (12, 32)
【解析】解：(Ⅰ)∵A(−1，0)，C(0, 3)，
∴OA=1，OC= 3，
∴AC= OA2+OC2=2，
∵OA⊥OC，
∴∠ACO=30°，∠A=60°．
∵∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4，
∵D为边AB的中点，
∴AD=BD=2，
∴OD=AD−OA=1，
∴D(1,0)．
∵AC=AD=2，∠A=60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=2，
∵点F为CD的中点，FG//OC，
∴OG=GD=12OD=12，FG=12OC= 32，
∴F(12, 32).
故答案为：(1,0)，(12, 32)．
(Ⅱ)①∵A(−1，0)，C(0, 3)，D(1,0)，
∴OA=1，OC= 3，OD=1．
∵D为边AB的中点，
∴AD=BD=2．
∵点E，F分别为AC，CD的中点，
∴EF=12AD=1，
由(Ⅰ)知：FG= 32，OG=12，
矩形E′F′G′H′与△CBD重叠部分为五边形时，如图，
由题意得：GG′=t，
∴OG′=t+12，
∴BG′=OB−OG′=52−t．
∴NG′= 33BG′，
∴NF′=F′G′−NG′= 33(t−1)，
∴MF′= 3NF′=t−1．
∴S△MF′N=12×MF′⋅NF′= 36(t−1)2，
∴S=S四边形E′F′G′H′−S△MF′N= 32− 36(t−1)2=− 36t2+ 33t+ 33，
其中t的取值范围是32≤t<2．
②当13≤t≤12时，如图，
此时，重叠部分为三角形，
由题意得：OG′=t+12，
∴DG′=12−t，
∴NG′= 3DG′= 3(12−t)，
∴NF′= 3t，
∴MF′= 33NF′=t，
∴S=12MF′⋅NF′= 32t2，
∴ 318≤S≤ 38．
当12≤t≤1时，如图，
此时，重叠部分为四边形，
由题意得：DG′=t−12，MF′=t，
∴S=12(DG′+MF′)⋅F′G′= 32t− 38，
∴ 38≤S≤3 38．
当1≤t≤32时，如图，
此时，重叠部分为六边形，
由题意得：DH′=32−t，MF′=t−1，
∴KH′= 3DH′= 3(32−t)，NF′= 33(t−1)，
∴S=S矩形E′F′G′H′−S△KH′D−S△MF′N
=1× 32−12× 3×(32−t)2−12× 33(t−1)2
=−23 3t2+116 3t−1924 3，
∴3 38≤S≤15 332．
当32≤t≤2时，此时，重叠部分为五边形，
由①知：S=− 36t2+ 33t+ 33，
∴ 33≤S≤11 324．
当2≤t≤3时，如图，
此时，重叠部分为三角形，
由题意得：OG′=t+12，
∴BH′=72−t，
∴NH′= 33BH′= 33(72−t)，
∴S=12BH′⋅NH′= 36(72−t)22，
∴ 324≤S≤3 38．
综上，当13≤t≤3时，S的取值范围 324≤S≤15 332．
(Ⅰ)利用点的坐标表示出相应线段的长度，求得∠ACO=30°，∠A=60°，利用直角三角形的边角关系定理和中位线定理解答即可；
(Ⅱ)①依题意画出图形，利用t的代数式表示出相应线段的长度，再利用S=S四边形E′F′G′H′−S△MF′N解答即可；
②利用分类讨论的思想方法，分别在当13≤t≤12时，当12≤t≤1时，当1≤t≤32时，当32≤t≤2时，当2≤t≤3时的S与T的函数关系式，并求得对应的S的取值范围即可．
本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质，三角形，梯形的面积，本题是动点问题，利用含T的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
25.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得，
抛物线顶点P的坐标为(1,−1)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2−1，
将(0,0)代入y=a(x−1)2−1中，
解得：a=1，
∴抛物线解析式为y=x2−2x，
当y=0时，可得x2−2x=0，
解得：x1=0，x2=2，
∴点A的坐标为(2,0)．
(Ⅱ)如图，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，与直线y=x−4相交于点B．
∵抛物线上有一点D，
设点D的坐标为(t,t2−2t)，则点B的坐标为(t,t−4)，
∴DB=t2−2t−(t−4)=t2−3t+4，
当y=0时，可得x−4=0，
解得：x=4，
当x=0时，y=−4，
∴直线y=x−4与坐标轴的交点为M(4,0)，N(0,−4)，
∴ON=OM=4，
∵∠MON=90°，

∴∠OMN=∠ONM=45°，
∵DC⊥x轴，ON⊥x轴，
∴DC//ON，
∴∠DBE=∠ONM=45°，
在Rt△DEB中，
sin∠DBE=DEDB，
∴DB=DEsin∠DBE=4 2sin45°=8，
则t2−3t+4=8，
解得：t1=−1，t2=4，
∴点D的坐标为(−1,3)或(4,8)．
(Ⅲ)如图，过点H作HI⊥FG，过点K作KL⊥FG，

∵点G是点F(1,0)关于点P(1,−1)的对称点，
∴点G的坐标为(1,−2)，
∴OF=1，FG=2，
∵∠OFG=90°，
∴OG= OF2+FG2= 5，
∴在Rt△OFG中，sin∠OGF=OFOG= 55，
∵点O和点A关于对称轴对称，
∴OG=AG= 5，∠OGF=∠AGF，
∵直线l：y=kx+m(k,b为常数，|k|<2)与抛物线只有一个公共点，
∴x2−2x=kx+m有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
即(−2−k)2−4×1⋅(−m)=0，
解得：m=−14(2+k)2，
∴直线l的解析式为y=kx−14(2+k)2，
设直线OG解析式为y=k1x，
把G(1,−2)代入，
解得k1=−2，
∴直线OG解析式为y=−2x，
∴−2x=kx−14(2+k)2，
解得：xH=14(k+2)，
∵在Rt△HIG中，sin∠OGF=HIHG，
∴HG=HIsin∠OGF= 5(1−xH)，
设直线AG解析式为y=k2x+b2，把G(1,−2)A(2,0)代入，
解得：k2=2b2=−4，
∴直线AG解析式为y=2x−4，
∴2x−4=kx−14(2+k)2，
解得：xK=14(k+6)，
∵在Rt△KLG中，
sin∠AGF=KLKG，
∴KG=KLsin∠AGF= 5(xK−1)，
∴HG+KG= 5(1−xH)+ 5(xK−1)
= 5(xK−xH)
= 5[−14(k+2)+14(k+6)]
= 54×4
= 5．
【解析】(Ⅰ)利用待定系数法求出二次函数解析式，再把y=0代入，即可求出点A的坐标；
(Ⅱ)过点D作DC⊥x轴，垂足为C，与直线y=x−4相交于点B，设点D的坐标为(t,t2−2t)，则点B的坐标为(t,t−4)，求出DB=t2−3t+4，求出y=x−4与坐标轴的交点为M(4,0)，N(0,−4)，得到∠DBE=∠ONM=45°，则DB=DEsin∠DBE=4 2sin45°=8，得到t2−3t+4=8，
t2−3t+4=8，解得t1=−1，t2=4，即可得到答案；
(Ⅲ)过点H作HI⊥FG，过点K作KL⊥FG，求出点G的坐标为(1,−2)，进一步得到OG=AG= 5，∠OGF=∠AGF，根据x2−2x=kx+m有两个相等的实数根，解得m=−14(2+k)2，求出直线l的解析式为y=kx−14(2+k)2，直线OG解析式为y=−2x，得到xH=14(k+2)，进一步求出HG=HIsin∠OGF= 5(1−xH)，待定系数法求出直线AG解析式为y=2x−4，求出xK=14(k+6)，得到KG=KLsin∠AGF= 5(xK−1)，
利用HG+KG即可求出答案．
本题主要是一道二次函数的综合题，考查了待定系数法、解直角三角形、一元二次方程等知识，综合性较强，数形结合是解题的关键．张强离开宿舍的时间/min
10
20
35
70
张强离宿舍的距离/km
______
0.6
______
______