四川省凉山州2022-2023学年高一下学期期末数学试卷

这是一份四川省凉山州2022-2023学年高一下学期期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．复数，则的虚部为
A．B．C．1D．2
2．已知向量，，且，则
A．B．C．D．
3．当今世界面临着百年未有之大变局，中美关系健康稳定发展对维护世界和平、经济复苏等起到积极作用，如图展示了2007年年中国和美国自对方国家的进口额占本国总进口额的比重变化情况，从图中得出如下结论最准确的是
A．在2007年到2022年期间，中国对美国的出口占比相对较高，中国对美国的出口占美国全部进口总额的比例一直保持在以上
B．在2007年到2022年期间，中国从美国进口额占中国总进口额之比出现了大幅波动，在2015年时，这一比例达到峰值，但在2019年和2021年时则分别下降至最低点
C．美国自中国进口额占比逐年下降，2018年后美国自中国的进口额占比下降速度加快
D．中国市场对美国的依赖度正在降低，从长期趋势来看，中国从美国进口所占比例在2015年达到峰值后开始逐渐下降
4．在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则
A．2B．2或6C．6D．
5．已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是
A．若且，，，则
B．若，则
C．若且，，则
D．若，则
6．已知，，则
A．B．C．D．
7．已知函数（其中，的部分图像如图所示，则下列结论不正确的是
A．
B．图像关于对称
C．在区间上单调递减
D．在区间上无最大值
8．在等腰直角三角形中，，，，为的中点，满足，则的值为
A．B．1C．D．
二、多项选择题。（共4小题，每小题5分，共20分，不全选得3分，错选或不选得0分，全对得5分）
9．进入五月中旬以来，我州连续出现极端高温天气，其中连续8天每天的最高气温分别为38，39，39，41，40，39，37，37，（单位，则
A．该组数据的平均数为38.75
B．该组数据的方差为
C．该组数据的第75百分位数为39
D．该组数据的极差为4
10．复数，，，则下列说法一定正确的是
A．
B．若为纯虚数，则
C．当时，与互为共轭复数
D．表示复平面内点与两点间的距离
11．已知的内角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的是
A．
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为等腰三角形
12．在正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是
A．
B．存在点使得平面
C．存在点使得平面
D．平面截正方体所得的两部分体积比为（或
三、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．向量，，且，则 ．
14．复数，则 ．
15．《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为 ．
16．在中，为的重心，，，则的最大值为 ．
四、解答题。（共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）若复数，为虚数单位，为实数．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围．
18．（12分）今年因干旱西昌邛海水位比常年下降约一米，某校校本课程安排同学制定合理的节水方案，对西昌市城区常住居民用水情况进行了抽样调查，该同学获得了西昌市城区常住居民去年100个家庭的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，，，，，，分成7组，制成了如图的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）估计西昌市城区常住居民家庭月均用水量的中位数；
（3）若西昌市城区常住居民有15万个家庭，估计全市常住居民中月均用水量不低于3吨的家庭数，并说明理由．
19．（12分）如图，直三棱柱中每条棱都相等，、分别是、的中点．
（1）证明平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）请从下列条件①；②；③中选取一个作为已知条件，补充在横线上，并做出解答．
已知的内角，，所对应的边分别是，，，满足____．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分
（1）求的值；
（2）若，，求的面积
21．（12分）在四棱锥中，底面，为等腰梯形，，，．
（1）求证；
（2）求二面角的余弦值．
22．（12分）已知向量，，设函数．
（1）求的值；
（2）当时，有零点，求实数的取值范围．
2022-2023学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题。（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数，则的虚部为
A．B．C．1D．2
【解析】：复数，则，
所以的虚部为1．
故选：．
2．已知向量，，且，则
A．B．C．D．
【解析】：由题意得，即，
，，
，
，
，
则．
故选：．
3．当今世界面临着百年未有之大变局，中美关系健康稳定发展对维护世界和平、经济复苏等起到积极作用，如图展示了2007年年中国和美国自对方国家的进口额占本国总进口额的比重变化情况，从图中得出如下结论最准确的是
A．在2007年到2022年期间，中国对美国的出口占比相对较高，中国对美国的出口占美国全部进口总额的比例一直保持在以上
B．在2007年到2022年期间，中国从美国进口额占中国总进口额之比出现了大幅波动，在2015年时，这一比例达到峰值，但在2019年和2021年时则分别下降至最低点
C．美国自中国进口额占比逐年下降，2018年后美国自中国的进口额占比下降速度加快
D．中国市场对美国的依赖度正在降低，从长期趋势来看，中国从美国进口所占比例在2015年达到峰值后开始逐渐下降
【解析】：在2007年到2022年期间，中国对美国的出口占比相对较高，中国对美国的出口占美国全部进口总额的比例，2008年为，2022年为，故错误；
美国自中国进口额占比，2019年为，2020为，故错误；
在2007年到2022年期间，中国从美国进口额占中国总进口额之比出现了大幅波动，在2015年时，这一比例达到峰值，但2022年时下降至最低点，故错误；
中国市场对美国的依赖度正在降低，从长期趋势来看，中国从美国进口所占比例在2015年达到峰值后开始逐渐下降，故正确．
故选：．
4．在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则
A．2B．2或6C．6D．
【解析】：在中，，，，由余弦定理得，
得，即，而，解得，
所以．
故选：．
5．已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是
A．若且，，，则
B．若，则
C．若且，，则
D．若，则
【解析】：若且，，，由面面垂直性质定理得出，故正确；
若，且，，则或与相交，故错误；
若，，，且，，则与相交，可能垂直，也可能不垂直，故错误；
由，，，得或与异面，故错误．
故选：．
6．已知，，则
A．B．C．D．
【解析】：
．
故选：．
7．已知函数（其中，的部分图像如图所示，则下列结论不正确的是
A．
B．图像关于对称
C．在区间上单调递减
D．在区间上无最大值
【解析】：由图可知，又，
，又，
，，
又，且有，
，，
，
对于选项，，选项错误；
对于选项，，函数的图象关于点对称，选项正确；
对于选项，当时，，而正弦函数在上单调递减，
在区间上单调递减，选项正确；
对于选项，当时，，而正弦函数在上无最大值，
在区间上无最大值，选项正确．
故选：．
8．在等腰直角三角形中，，，，为的中点，满足，则的值为
A．B．1C．D．
【解析】：依题意，在中，，
则，，
由，，为的中点，
得，
因此，
而，
即，
所以．
故选：．
二、多项选择题。（共4小题，每小题5分，共20分，不全选得3分，错选或不选得0分，全对得5分）
9．进入五月中旬以来，我州连续出现极端高温天气，其中连续8天每天的最高气温分别为38，39，39，41，40，39，37，37，（单位，则
A．该组数据的平均数为38.75
B．该组数据的方差为
C．该组数据的第75百分位数为39
D．该组数据的极差为4
【解析】：对于，该组数据的平均数，正确；
对于，该组数据的方差，正确；
对于，该组数据由小到大排列为：37，37，38，39，39，39，40，41，由，
所以该组数据的第75百分位数为，错误；
对于，该组数据的极差为，正确．
故选：．
10．复数，，，则下列说法一定正确的是
A．
B．若为纯虚数，则
C．当时，与互为共轭复数
D．表示复平面内点与两点间的距离
【解析】：复数，，，
对于，，，正确；
对于，，由为纯虚数，得，解得，正确；
对于，当时，，与互为共轭复数，正确；
对于，表示复平面内复数对应点与对应点两点间的距离，正确．
故选：．
11．已知的内角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的是
A．
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为等腰三角形
【解析】：对于选项，，即选项错误；
对于选项，因为为锐角三角形，所以，且，
所以，
而正弦函数在上单调递增，
所以，即选项正确；
对于选项，由正弦定理及，得，即，
又，，所以，即为等腰三角形，故选项正确；
对于选项，由余弦定理得，
所以，即，
因为，
所以，不能确定的形状，即选项错误．
故选：．
12．在正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是
A．
B．存在点使得平面
C．存在点使得平面
D．平面截正方体所得的两部分体积比为（或
【解析】：对于中，连接，在正方体中，可得，
所以异面直线与与所成的角即为直线与所成的角（或其补角），
不妨设正方体的棱长为2，则，
则△为平行四边形，则，所以错误；
对于中，取的中点，连接，，，，
因为为的中点，可得，又因为，所以，
所以平面即为平面，
再取，的中点，分别连接，，，
在正方体中，由为的中点，且为的中点，可得，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又因为且，平面，所以平面平面，
所以只需点在线段上，则平面，所以正确；
对于中，取的中点，连接和，可得，
若存在点使得平面，且平面，所以，
因为，所以
在正方体中，可得平面，
又因为平面，所以，
因为且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在正方形中，与不垂直，所以不存在点使得平面，
所以错误；
对于中，设正方体的棱长为2，可得正方体的体积为8，
由平面即为平面，所以截得的棱台的体积为：
，
所以两部分的体积比为，所以正确．
故选：．
三、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．向量，，且，则 ．
【解析】：向量，，且，
所以．
故答案为：．
14．复数，则 ．
【解析】：，
．
故答案为：．
15．《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为 ．
【解析】：阳马与堑堵有相同的外接球，设此球半径为，
又，，两两垂直，可知以，，为棱的长方体
与堑堵有相同的外接球，
则，得，
阳马的外接球表面积为．
故答案为：．
16．在中，为的重心，，，则的最大值为 ．
【解析】：延长交于点，因为是的重心，则为的中点，
，，
，
由，，得，
由三角形面积公式得，解得，
则
，
当且仅当等号成立，此时为等边三角形．
故答案为：．
四、解答题。（共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）若复数，为虚数单位，为实数．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围．
【解析】：（1）由为纯虚数得，解得．
（2）由在复平面内对应的点位于第三象限，
所以，即，解得，
所以的取值范围是．
18．（12分）今年因干旱西昌邛海水位比常年下降约一米，某校校本课程安排同学制定合理的节水方案，对西昌市城区常住居民用水情况进行了抽样调查，该同学获得了西昌市城区常住居民去年100个家庭的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，，，，，，分成7组，制成了如图的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）估计西昌市城区常住居民家庭月均用水量的中位数；
（3）若西昌市城区常住居民有15万个家庭，估计全市常住居民中月均用水量不低于3吨的家庭数，并说明理由．
【解析】：（1）由题意知：，
所以；
（2）因为，
所以月均用水量中位数在2.5到3之间，设中位数为，
则，
解得，
故西昌市城区常住居民家庭月均用水量的中位数为2.8吨；
（3）由题意知：月均用水量不低于3吨的频率为，
月均用水量不低于3吨的家庭数为（万．
19．（12分）如图，直三棱柱中每条棱都相等，、分别是、的中点．
（1）证明平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，取中点，连接，，
在直三棱柱，，，
又为中点，为中点，，则，
平面，平面，平面，
又为中点，为中点，，
平面，平面，平面，
又，，平面，所平面平面，
平面，平面；
（2）解：连接，，
直三棱柱中每条棱都相等设为，即，
又为中点，，且，
又平面，，平面，
，，则，
，，平面，平面，
即为直线与平面所成角，
，则直线与平面所成角的正弦值为．
20．（12分）请从下列条件①；②；③中选取一个作为已知条件，补充在横线上，并做出解答．
已知的内角，，所对应的边分别是，，，满足____．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分
（1）求的值；
（2）若，，求的面积
【解析】：（1）选条件①，在中，由正弦定理及，
可得，
而，
则，
即，
整理得，
而，
于是，
所以．
选条件②，在中，由正弦定理及，
可得，
即，
则，
整理得，
又，
于是，
而，
可得，
所以．
选条件③，在中，由余弦定理及，
可得，
所以，
所以．
（2）由（1）知，选条件①，②，，
而，
由余弦定理，
得，
解得，
所以的面积．
选条件③，由，，
可得或，
又，
由余弦定理，
可得或，
解得或，
所以的面积或．
21．（12分）在四棱锥中，底面，为等腰梯形，，，．
（1）求证；
（2）求二面角的余弦值．
【解析】：（1）证明：在中，，
则，
即，
因此，又平面，
平面，
则，而，，平面，
于是平面，又平面，
所以；
（2）取中点，连接、，如图，
由（1）知，，而，则，又，
于是，，且，
因此是二面角的平面角，由（1）知平面，而平面，
因此，，
所以二面角的余弦值为．
22．（12分）已知向量，，设函数．
（1）求的值；
（2）当时，有零点，求实数的取值范围．
【解析】：（1）由题意知：
，
；
（2）由（1）知，
有零点，
令，
因为，所以，
则，则，，
所以在上有零点，
即在上有解，即在有解，
显然，当且仅当时等号成立，
故的取值范围为．