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浙江省重点中学四校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题
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这是一份浙江省重点中学四校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题，共6页。
考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）(共8题；共40分)
1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
2. 已知向量 ， ， 若与共线，则（ ）
3. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形 ， 其中 ， 则的面积为（ ）
4. 某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（ ）
5. 已知 ， ， 分别是三内角 ， ， 的对边，则“”是“为直角三角形”的（ ）
6. 某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为 ， 上、下底面圆的半径分别为和.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（ ）
7. 如图，平行四边形中， ， .现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（ ）
8. 正方形边长为1，平面内一点满足 ， 满足的点的轨迹分别与 ， 交于 ， 两点，令 ， 分别为和方向上的单位向量， ， 为任意实数，则的最小值为（ ）
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）(共3题；共18分)
9. 设 ， 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）
10. 已知 ， ， 且 ， 则下列说法正确的是（ ）
11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）(共3题；共15分)
12. 已知向量 ， 满足 ， 则向量在上的投影向量为____________________.（用表示）
13. 若 ， 则的最大值为____________________.
14. 在中， ， ， 的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(共5题；共77分)
15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ， …，得到如图所示的频率分布直方图.
（1） 求频率分布直方图中a的值；
（2） 求样本成绩的第75百分位数；
（3） 已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
16. 如图，在直三棱柱中， ， ， 四边形为正方形.
（1） 求证：平面平面；
（2） 求二面角的余弦值.
17. 请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ▲ ，
（1） 求角的大小；
（2） 若 ， 为边上一点， ， ， 求的面积.
18. 在菱形中， ， ， 以为轴将菱形翻折到菱形 ， 使得平面平面 ， 点为边的中点，连接 ， .
（1） 求证：平面；
（2） 求直线与平面所成角的正弦值.
19. 如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为（为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数 ， 类似的有双曲正弦函数.
（1） 类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论： ▲ .（用 ， 表示）
（2） ， 不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3） 设 ， 证明：有唯一的正零点 ， 并比较和的大小. A .
B .
C .
D .
A .
B . 4
C .
D . 或4
A .
B .
C . 6
D .
A . 12
B . 16
C . 17
D . 18.5
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 3
B .
C .
D .
A . 若 ， ， 则
B . 若 ， ， 则
C . 若 ， ， ， 则
D . ， ， 则
A . 有最小值4
B . 有最小值
C . 有最小值
D . 有最小值16
A . 存在点使得
B . 若点满足 ， 则动点的轨迹长度为
C . 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形
D . 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60°
考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）(共8题；共40分)
1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
2. 已知向量 ， ， 若与共线，则（ ）
3. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形 ， 其中 ， 则的面积为（ ）
4. 某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（ ）
5. 已知 ， ， 分别是三内角 ， ， 的对边，则“”是“为直角三角形”的（ ）
6. 某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为 ， 上、下底面圆的半径分别为和.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（ ）
7. 如图，平行四边形中， ， .现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（ ）
8. 正方形边长为1，平面内一点满足 ， 满足的点的轨迹分别与 ， 交于 ， 两点，令 ， 分别为和方向上的单位向量， ， 为任意实数，则的最小值为（ ）
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）(共3题；共18分)
9. 设 ， 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）
10. 已知 ， ， 且 ， 则下列说法正确的是（ ）
11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）(共3题；共15分)
12. 已知向量 ， 满足 ， 则向量在上的投影向量为____________________.（用表示）
13. 若 ， 则的最大值为____________________.
14. 在中， ， ， 的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(共5题；共77分)
15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ， …，得到如图所示的频率分布直方图.
（1） 求频率分布直方图中a的值；
（2） 求样本成绩的第75百分位数；
（3） 已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
16. 如图，在直三棱柱中， ， ， 四边形为正方形.
（1） 求证：平面平面；
（2） 求二面角的余弦值.
17. 请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ▲ ，
（1） 求角的大小；
（2） 若 ， 为边上一点， ， ， 求的面积.
18. 在菱形中， ， ， 以为轴将菱形翻折到菱形 ， 使得平面平面 ， 点为边的中点，连接 ， .
（1） 求证：平面；
（2） 求直线与平面所成角的正弦值.
19. 如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为（为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数 ， 类似的有双曲正弦函数.
（1） 类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论： ▲ .（用 ， 表示）
（2） ， 不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3） 设 ， 证明：有唯一的正零点 ， 并比较和的大小. A .
B .
C .
D .
A .
B . 4
C .
D . 或4
A .
B .
C . 6
D .
A . 12
B . 16
C . 17
D . 18.5
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 3
B .
C .
D .
A . 若 ， ， 则
B . 若 ， ， 则
C . 若 ， ， ， 则
D . ， ， 则
A . 有最小值4
B . 有最小值
C . 有最小值
D . 有最小值16
A . 存在点使得
B . 若点满足 ， 则动点的轨迹长度为
C . 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形
D . 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60°
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