湖北省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期4月联考数学试题（新高考卷）

这是一份湖北省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期4月联考数学试题（新高考卷），共4页。

考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92，88，95，93，90，97，94，96，其中位数为（ ）
2. 已知集合 ， ， 则（ ）
3. 设 ， 则（ ）
4. 圆心为（2，1），且与直线相切的圆在x轴上的弦长为（ ）
5. 若底面半径为r ， 母线长为l的圆锥的表面积与直径也为l的球的表面积相等，则（ ）
6. 在中， ， ， ， 则点A到边BC的距离为（ ）
7. 定义域均为R的函数 ， 满足 ， 且 ， 则（ ）
8. 在棱长为2的正方体中，P ， Q ， R分别为线段BD ， ， 上的动点，则的最小值为（ ）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。(共3题；共18分)
9. 某次数学考试满分150分，记X ， Y分别表示甲、乙两班学生在这次考试中的成绩，且 ， ， 则（ ）
10. 设 ， 则（ ）
11. 已知O为坐标原点，双曲线C：（ ， ）的左顶点为A ， 右焦点为F ， 过A且平行于y轴的直线与C的一条渐近线交于点B ， 过B且平行于x轴的直线与y轴交于点D ， 若 ， 则C的离心率等于（ ）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。(共3题；共15分)
12. 已知向量 ， ， 则____________________．
13. 已知抛物线： ， ：的焦点分别为 ， ， 一条平行于x轴的直线与 ， 分别交于点A ， B ， 若 ， 则四边形的面积为____________________．
14. 已知函数 ． 设k为正数，对于任意x ， 若 ， 二者中至少有一个大于2，则k的取值范围是____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题；共77分)
15. 已知椭圆C：的离心率为 ， 且过点 ．
（1） 求C的方程；
（2） 设过C的左焦点且斜率为的直线与C交于M ， N两点，求的面积．
16. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD ， ， E为PB的中点．
（1） 证明：平面PAC；
（2） 若F为AB的中点，求二面角的大小．
17. 某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖．抽奖箱里放有个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球．
（1） 当时，记X为一次抽奖抽到“中奖”小球的个数，求X的分布列与期望；
（2） 商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，若使中奖概率不低于25%，求n的最大值．
18. 对于数列 ， 及常数p ， 若满足 ， 且 ， 则称对关于p耦合．
（1） 若对关于0耦合，且 ， ， 求；
（2） 若对关于1耦合，且 ， 求 ， 的通项公式；
（3） 若存在 ， ， 使得对关于耦合，且对关于耦合，证明： ， ．
19. “对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．
假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为 ． 设点 ， ， ， 规定 ， 且对于运算“”，表示坐标为的点．若点U ， V ， W满足 ， 则称V与U相似，记作V~U ． 若存在单调函数和 ， 使得对于图像上任意一点T ， 均在图像上，则称为的镜像函数．
（1） 若点 ， ， 且N~M ， 求的坐标；
（2） 证明：若为的镜像函数， ， 则；
（3） 已知函数 ， 为的镜像函数．设R~S ， 且 ．
证明： ． A . 91.5
B . 93
C . 93.5
D . 94
A . {2，3}
B . {1，2，3}
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 2
B . 4
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 是奇函数
B . 是偶函数
C . 是奇函数
D . 是偶函数
A .
B .
C .
D . 5
A . 甲班的平均分低于乙班的平均分
B . 甲班的极差大于乙班的极差
C . 成绩在[100，110]的人数占比乙班更高
D . 成绩在[90，100]的人数占比甲班更高
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .