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数学：内蒙古自治区名校联盟2022-2023学年高二下学期期末考试试题（解析版）
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这是一份数学：内蒙古自治区名校联盟2022-2023学年高二下学期期末考试试题（解析版），共15页。
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容；高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】．
故选：B.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解不等式得，函数的值域为，
所以，
所以.故选：C.
3. “”是“方程表示圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.故选：A
4. 曲线的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得．故选：B.
5. 某高校现有400名教师，他们的学历情况如图所示，由于该高校今年学生人数急剧增长，所以今年计划招聘一批新教师，其中博士生80名，硕士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后硕士生的比例下降了，招聘后全校教师举行植树活动，树苗共1500棵，若树苗均按学历的比例进行分配，则该高校本科生教师共分得树苗的棵数为（ ）
A. 100B. 120
C. 200D. 240
【答案】B
【解析】设招聘名硕士生，由题意可知，，
解得，
所以本科生教师共分得树苗棵．故选：B
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】定义域为，
因为，
所以是奇函数，排除C，D．
当时，，则，，所以，排除B．
故选：A．
7. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是长为3，宽为2的矩形，俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体是四分之一个圆柱（高为2，底面半径为3），其体积．
故选：D.
8. 等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 6B. 12C. 15D. 21
【答案】C
【解析】设，则，，
因为为等差数列，所以，，也成等差数列，
则，解得．故选：C
9. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则（ ）
A. 9B. 10C. 11D.
【答案】D
【解析】由方程可知，
所以，
所以，，，渐近线方程为，
如图，
由双曲线的对称性，点到两渐近线的距离相等，
不妨取渐近线，
则，
在直角中，．
由余弦定理，可得，
所以．
故选：D
10. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，得该圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为R，高为h，如图所示，
由，得，所以，
圆锥PO内切球的半径等于内切圆的半径，
设的内切圆为圆，其半径为r，
由，
得，解得，
故能制作的零件表面积的最大值为.
故选：A.
11. 弘扬国学经典，传承中华文化，国学乃我中华民族五千年留下的智慧精髓，其中“五经”是国学经典著作，“五经”指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》．小明准备学习“五经”，现安排连续四天进行学习且每天学习一种，每天学习的书都不一样，其中《诗经》与《礼记》不能安排在相邻两天学习，《周易》不能安排在第一天学习，则不同安排的方式有（ ）
A. 32种B. 48种
C. 56种D. 68种
【答案】D
【解析】①若《周易》不排，先将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，
再将《诗经》与《礼记》插空，则共有种安排方式．
②若排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，
在《尚书》和《春秋》中先选1种，然后将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，
再将《诗经》与《礼记》插空，减去将《周易》排在第一天的情况即可，
共有种安排方式；
③若排《周易》且《诗经》与《礼记》只安排一个，
先在《诗经》与《礼记》中选1种，然后将《周易》排在后三天的一天，
最后将剩下的3种书全排列即可，
共有种安排方式．
所以共有种安排方式．
故选：D
12. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，，，
设函数，，
令，
解得，
令，
解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
故．
故选：C.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 已知向量，，若，则______．
【答案】1或
【解析】因为，
所以，
解得或．
故答案为：或．
14. 若x，y满足约束条件则的最大值为______．
【答案】
【解析】画出可行域，
当目标函数经过可行域内的交点时，z取得最大值．
故答案为：.
15. 数列满足，，则的前2023项和______.
【答案】1351
【解析】因为，
所以，
则从第3项起以3为周期的周期数列，
所以.
故答案为：1351
16. 已知A，B，M，N为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，O为坐标原点，若的面积为2，则四边形AMBN的面积为______．
【答案】
【解析】不妨设，且．
抛物线的焦点，
因为的面积为，
所以，代入抛物线方程可得，则．
直线AB的方程为．由得，
所以，于是有．
直线MN的方程为，同理可得．
因为，
所以四边形AMBN的面积为．
故答案为：.
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题．考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 甲、乙两名大学生参加面试时，10位评委评定的分数如下．
甲：93，91，80，92，95，89，88，97，95，93．
乙：90，92，88，92，90，90，84，96，94，92．
（1）若去掉一个最高分和一个最低分后再计算平均分，通过计算比较甲、乙面试分数的平均分的高低．
（2）在（1）前提下，以面试的平均分作为面试的分数，笔试分数和面试分数的加权比为，已知甲、乙的笔试分数分别为92，94，综合笔试和面试的分数，从甲、乙两人中录取一人，你认为应该录取谁？说明你的理由．
解：（1）依题意，设甲、乙面试分数的平均分分别为，
，
，
因为，所以甲的面试分数的平均分更高.
（2）因为笔试分数和面试分数的加权比为，
所以甲的综合分数为，
乙的综合分数为，
因为，所以乙的综合分数更高，故应该录取乙.
18. 如图，在圆的内接四边形ABCD中，，，的面积为．
（1）求的周长；
（2）求面积的最大值．
解：（1）因为，
所以．
在中，由余弦定理可得
，
解得．
故的周长为．
（2）由，，，四点共圆可得：，
在中，由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立．
所以，
所以．
故面积的最大值为.
19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点.
（1）证明：.
（2）求二面角的余弦值.
解：（1）因为平面，平面，所以.
又，所以.
由，平面，得平面.
因为平面，所以.
因为为的中点，，所以.
由，平面，得平面.
因为平面，所以.
（2）因为平面，平面，所以，
因为，所以两两垂直，
所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则，令，得.
.
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．
（1）求椭圆的方程．
（2）设、是椭圆上关于轴对称的不同两点，在椭圆上，且点异于、两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
解：（1）设点为椭圆上任意一点，其中，易知点，
，
所以，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，
又因为椭圆的离心率为，
所以，，，则，
因此，椭圆的标准方程为.
（2）设点，，，，，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立，消去并整理可得，
因为点在椭圆上，则直线与椭圆必有公共点，
所以，，
同理可得
所以，，
所以，，
化简可得，
当时，则，此时，；
当时，、、三点重合，此时，.
综上所述，，即为定值.
21. 已知函数，
（1）当，求曲线在处的切线方程；
（2）若，证明：．
解：（1）当时，，，
，，
曲线在处的切线方程为，即．
（2）因为，
当时，由，解得，由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
要证，即证，即，
令函数，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，所以，即得证，
故得证．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于M，N两点，已知点，求.
解：（1）由（参数），变形得到，平方相加得
，
故曲线的普通方程为.
因为及，得直线的直角坐标方程为.
（2）由于在直线方程中，且直线的斜率为3，
故直线的参数方程为（为参数），
将其代入曲线的普通方程得，
则，，
由于，所以在曲线外部，
故
23. 已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围.
解：（1）当时，
所以.
当时，原不等式转化为，解得；
当时，原不等式转化为，解得；
当时，原不等式转化为，解得，
综上所述，不等式解集为.
（2）因为，
所以恒成立等价于恒成立，
显然，
当时，则，解得或；
当时，则，解得或，
故的取值范围为.
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容；高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】．
故选：B.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解不等式得，函数的值域为，
所以，
所以.故选：C.
3. “”是“方程表示圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.故选：A
4. 曲线的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得．故选：B.
5. 某高校现有400名教师，他们的学历情况如图所示，由于该高校今年学生人数急剧增长，所以今年计划招聘一批新教师，其中博士生80名，硕士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后硕士生的比例下降了，招聘后全校教师举行植树活动，树苗共1500棵，若树苗均按学历的比例进行分配，则该高校本科生教师共分得树苗的棵数为（ ）
A. 100B. 120
C. 200D. 240
【答案】B
【解析】设招聘名硕士生，由题意可知，，
解得，
所以本科生教师共分得树苗棵．故选：B
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】定义域为，
因为，
所以是奇函数，排除C，D．
当时，，则，，所以，排除B．
故选：A．
7. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是长为3，宽为2的矩形，俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体是四分之一个圆柱（高为2，底面半径为3），其体积．
故选：D.
8. 等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 6B. 12C. 15D. 21
【答案】C
【解析】设，则，，
因为为等差数列，所以，，也成等差数列，
则，解得．故选：C
9. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则（ ）
A. 9B. 10C. 11D.
【答案】D
【解析】由方程可知，
所以，
所以，，，渐近线方程为，
如图，
由双曲线的对称性，点到两渐近线的距离相等，
不妨取渐近线，
则，
在直角中，．
由余弦定理，可得，
所以．
故选：D
10. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，得该圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为R，高为h，如图所示，
由，得，所以，
圆锥PO内切球的半径等于内切圆的半径，
设的内切圆为圆，其半径为r，
由，
得，解得，
故能制作的零件表面积的最大值为.
故选：A.
11. 弘扬国学经典，传承中华文化，国学乃我中华民族五千年留下的智慧精髓，其中“五经”是国学经典著作，“五经”指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》．小明准备学习“五经”，现安排连续四天进行学习且每天学习一种，每天学习的书都不一样，其中《诗经》与《礼记》不能安排在相邻两天学习，《周易》不能安排在第一天学习，则不同安排的方式有（ ）
A. 32种B. 48种
C. 56种D. 68种
【答案】D
【解析】①若《周易》不排，先将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，
再将《诗经》与《礼记》插空，则共有种安排方式．
②若排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，
在《尚书》和《春秋》中先选1种，然后将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，
再将《诗经》与《礼记》插空，减去将《周易》排在第一天的情况即可，
共有种安排方式；
③若排《周易》且《诗经》与《礼记》只安排一个，
先在《诗经》与《礼记》中选1种，然后将《周易》排在后三天的一天，
最后将剩下的3种书全排列即可，
共有种安排方式．
所以共有种安排方式．
故选：D
12. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，，，
设函数，，
令，
解得，
令，
解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
故．
故选：C.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 已知向量，，若，则______．
【答案】1或
【解析】因为，
所以，
解得或．
故答案为：或．
14. 若x，y满足约束条件则的最大值为______．
【答案】
【解析】画出可行域，
当目标函数经过可行域内的交点时，z取得最大值．
故答案为：.
15. 数列满足，，则的前2023项和______.
【答案】1351
【解析】因为，
所以，
则从第3项起以3为周期的周期数列，
所以.
故答案为：1351
16. 已知A，B，M，N为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，O为坐标原点，若的面积为2，则四边形AMBN的面积为______．
【答案】
【解析】不妨设，且．
抛物线的焦点，
因为的面积为，
所以，代入抛物线方程可得，则．
直线AB的方程为．由得，
所以，于是有．
直线MN的方程为，同理可得．
因为，
所以四边形AMBN的面积为．
故答案为：.
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题．考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 甲、乙两名大学生参加面试时，10位评委评定的分数如下．
甲：93，91，80，92，95，89，88，97，95，93．
乙：90，92，88，92，90，90，84，96，94，92．
（1）若去掉一个最高分和一个最低分后再计算平均分，通过计算比较甲、乙面试分数的平均分的高低．
（2）在（1）前提下，以面试的平均分作为面试的分数，笔试分数和面试分数的加权比为，已知甲、乙的笔试分数分别为92，94，综合笔试和面试的分数，从甲、乙两人中录取一人，你认为应该录取谁？说明你的理由．
解：（1）依题意，设甲、乙面试分数的平均分分别为，
，
，
因为，所以甲的面试分数的平均分更高.
（2）因为笔试分数和面试分数的加权比为，
所以甲的综合分数为，
乙的综合分数为，
因为，所以乙的综合分数更高，故应该录取乙.
18. 如图，在圆的内接四边形ABCD中，，，的面积为．
（1）求的周长；
（2）求面积的最大值．
解：（1）因为，
所以．
在中，由余弦定理可得
，
解得．
故的周长为．
（2）由，，，四点共圆可得：，
在中，由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立．
所以，
所以．
故面积的最大值为.
19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点.
（1）证明：.
（2）求二面角的余弦值.
解：（1）因为平面，平面，所以.
又，所以.
由，平面，得平面.
因为平面，所以.
因为为的中点，，所以.
由，平面，得平面.
因为平面，所以.
（2）因为平面，平面，所以，
因为，所以两两垂直，
所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则，令，得.
.
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．
（1）求椭圆的方程．
（2）设、是椭圆上关于轴对称的不同两点，在椭圆上，且点异于、两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
解：（1）设点为椭圆上任意一点，其中，易知点，
，
所以，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，
又因为椭圆的离心率为，
所以，，，则，
因此，椭圆的标准方程为.
（2）设点，，，，，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立，消去并整理可得，
因为点在椭圆上，则直线与椭圆必有公共点，
所以，，
同理可得
所以，，
所以，，
化简可得，
当时，则，此时，；
当时，、、三点重合，此时，.
综上所述，，即为定值.
21. 已知函数，
（1）当，求曲线在处的切线方程；
（2）若，证明：．
解：（1）当时，，，
，，
曲线在处的切线方程为，即．
（2）因为，
当时，由，解得，由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
要证，即证，即，
令函数，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，所以，即得证，
故得证．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于M，N两点，已知点，求.
解：（1）由（参数），变形得到，平方相加得
，
故曲线的普通方程为.
因为及，得直线的直角坐标方程为.
（2）由于在直线方程中，且直线的斜率为3，
故直线的参数方程为（为参数），
将其代入曲线的普通方程得，
则，，
由于，所以在曲线外部，
故
23. 已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围.
解：（1）当时，
所以.
当时，原不等式转化为，解得；
当时，原不等式转化为，解得；
当时，原不等式转化为，解得，
综上所述，不等式解集为.
（2）因为，
所以恒成立等价于恒成立，
显然，
当时，则，解得或；
当时，则，解得或，
故的取值范围为.
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