数学：安徽省皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟2024届高三联考5月三模试题（解析版）

这是一份数学：安徽省皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟2024届高三联考5月三模试题（解析版），共18页。试卷主要包含了 若复数满足，则， 记数列的前项和为，若，则， 已知实数满足，则， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

1. 已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ）
参考数据：若，则
.
A. 13272B. 16372C. 16800D. 19518
【答案】C
【解析】依题意，
故所求人数为.
故选：C.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，故，
故.
故选：D
3. 在椭圆的4个顶点和2个焦点中，若存在不共线的三点恰为某个正方形的两个顶点和中心，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，只需要这三个点构成等腰直角三角形，所以这三个点只可能是“短轴的两个端点和一个焦点”或“两个焦点和短轴的一个端点”，
可设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，
这两种情况都满足，所以，
即椭圆离心率为，
故选：C.
4. 记数列的前项和为，若，则（ ）
A. 590B. 602C. 630D. 650
【答案】A
【解析】因为，
所以，
两式相减可得.
由，，解得，
所以，满足上式，故，
所以
.故选：A.
5. 已知正方体的棱长为1，若从该正方体的8个顶点中任取4个，则这4个点可以构成体积为的四面体的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设正方体为，则满足体积为的四个顶点只有“”和“”两种情况满足，故所求概率.
故选：A
6. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】B
【解析】依题意，为偶函数，
当时，，
由可知，
解得，所以.
故选：B
7. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图：
的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6，
则，解得，
故所求体积之比为
故选：B

8. 已知实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意，
则.
令，故，
故当时，在上单调递增，
故，则.令，
则，故当时，在上单调递增，
则，则.
综上所述：.故选：A.
二､多项选择题
9. 已知函数，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增
D. 函数在上有2个零点
【答案】ABD
【解析】易知的最小正周期为，所以也是的周期，则，故A正确；
令，解得：，当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，则函数在上先增后减，故错误；
令，故，在一直角坐标系中分别作出和的大致图像（如图），观察可知，二者有两个交点，故函数在上有2个零点，故D正确.

故选：ABD
10. 已知四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面为等腰三角形，为棱上靠近的三等分点，点在棱上运动，则（ ）
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C.
D. 点到平面的距离为
【答案】BC
【解析】对于A中，连接，交于点，连接，如图所示，
若平面，因为平面平面，且平面，
所以，因为为的中点，所以，
又因为为棱上靠近的三等分点，所以矛盾，所以A错误；
对于B中，过点作，垂足为，
因为平面，且平面，所以，
又因为四边形为正方形，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
则直线与平面所成的角为，
由题可知，
所以B正确；
对于C中，将平面翻折至与平面共面，且点在直线的两侧，
连接，则，所以C正确；
对于D中，设点到平面的距离为，
则3，
解得，所以D错误.
故选：BC.
11. 已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的方程为
B. 已知点，则的最小值为3
C.
D. 若，则与的面积相等
【答案】ACD
【解析】当过点时，设，联立，可得，
，
故，解得，则，故A正确；
过点向的准线引垂线，垂足分别为，
点到的准线的距离，
由抛物线定义可知，
等号成立当且仅当点为与抛物线的交点，故错误；
设，由，可得，
，
由，可得，
，
故，同理可得，故正确；
，故，
注意到，可得，
所以，从而与的面积相等，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题
12. 已知集合，若的所有元素之和为12，则实数__________.
【答案】
【解析】由题意可知：且，
当，则；当，则；当，则；
若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；
若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；
若且，则，故，解得或（舍去）；
综上所述：.故答案为：.
13. 已知圆的圆心为点，直线与圆交于两点，点在圆上，且，若，则__________.
【答案】
【解析】由圆，可得圆心，半径为，设弦的中点为，
因为，，所以，
且，
所以
，
解得.故答案为：.

14. 已知，其中，且，则__________.
【答案】
【解析】依题意，
，
，
所以，
所以，
而，
因为，故，
则，
则，
即，
则
，
解得，故.
故答案为：.
四､解答题
15. 某校为了给高三学生举办“18岁成人礼”活动，由团委草拟了活动方案，并以问卷的形式调查了部分同学对活动方案的评分（满分100分），所得评分统计如图所示.
（1）以频率估计概率，若在所有的学生中随机抽取3人，记评分在的人数为，求的数学期望和方差.
（2）为了解评分是否与性别有关，随机抽取了部分问卷，统计结果如下表所示，则依据的独立性检验，能否认为评分与性别有关？
（3）若将（2）中表格的人数数据都扩大为原来的10倍，则依据的独立性检验，所得结论与（2）中所得结论是否一致？直接给出结论即可，不必书写计算过程.
参考数据：
（1）解：由频率分布直方图可知评分在的频率为，
所以.
所以.
（2）解：依题意，
故依据的独立性检验，不能认为评分与性别有关.
（3）解：将表中的人数数据都扩大为原来的10倍后，
.
所以能认为评分与性别有关，
故所得结论与（2）中所得结论不一致.
16. 如图，在三棱锥中，分别为棱的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）若点到底面的距离等于，且，求二面角的正弦值.
（1）证明：取棱的中点，连接，
因为，所以，
又因为，由直角三角形的性质，可得，
因为，所以，
可得，即，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，故平面平面.
（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点垂直与平面直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
不妨设，则，
所以，
可得，
设为平面的法向量，则，
取，可得，所以，
设为平面的法向量，则，
取，可得，所以.
所以，故二面角的正弦值为.

17. 已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
（1）求的极值；
（2）若实数满足，记，求实数的最小值.
解：（1）依题意，
则，①
而，故，即②，
联立①②，解得.
故，
令，得或
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
故的极大值为，极小值为.
（2）由得，故，且，
令，则，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
因此当时，，
故，则，
故实数的最小值为4.
18. 已知双曲线的离心率为2，动直线与的左､右两支分别交于点，且当时，（为坐标原点）.
（1）求的方程；
（2）若点到的距离为的左､右顶点分别为，记直线的斜率分别为，求的最小值
（1）解：设的半焦距为，
由题意知离心率，可得，
联立方程组，整理得，
其中且，
则，
解得，所以双曲线的方程为.
（2）解：因为点到的距离为1，可得，则.
联立方程组，整理得，
其中，
且，
因为直线与的左､右两支分别交于点，可得，所以，
又因为，故，
且，
因为，
故，
由（1）可知，则，
故，
又由，故，
即的最小值为.
19. 定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①,②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件；
（3）求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式.
解：（1）依题意
故
因为，所以，
当为奇数时，，
当为偶数时，，即的奇数项，偶数项分别成等比数列.
故当为偶数时，
.
当为奇数时，.
综上所述，
（2）充分性：因为，所以，
所以，
又因为，所以是以1为首项，1为公比的等比数列，
故是的充分条件.
必要性：假设为等比数列，而不为常数列，
则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中，
所以，
则等比数列的公比为.
又，得等比数列的公比为，与式矛盾，
所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列，
故是的必要条件.综上，可知是的充要条件.
（3）当时，，当时，，
当时，，当时，.
综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）.
又由题意可知，
所以，
所以，
故的最大值为，
此时的通项公式可以是
男生
女生
评分
30
35
评分
20
15
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635