数学：浙江省宁波市余姚市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份数学：浙江省宁波市余姚市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项.
1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. 2B. 2或C. D.
【答案】C
【解析】因为复数为纯虚数，则有，解得，
所以实数的值为.
故选：C.
2. 在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，若，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知，结合余弦定理得出，
又，所以，
已知，结合正弦定理得，则，
所以，故.
故选：A.
3. 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】正三角形的高为，根据斜二测画法的知识可知，
直观图的面积为.
故选：B.
4. 已知平面向量，满足，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，即，
又，且，所以，即，解得.
故选：C．
5. 下列命题正确的是（ ）
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②平行于同一条直线的两个平面平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行；
④平行于同一个平面的两个平面平行.
A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③
【答案】C
【解析】①由平行线间的传递性可知，平行于同一条直线的两条直线平行，故①正确；
②平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故②错误；
③平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面，故③错误；
④根据平面平行的性质，平行于同一个平面的两个平面平行，故④正确.
故选：C.
6. 某图书馆统计了某个月前8天纸质图书的借阅情况，整理数据得到如下折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ）
A. 这8天里，每天图书借出数的极差大于50
B. 这8天里，每天图书借出数的平均数大于105
C. 这8天里，每天图书借出数的中位数大于101
D. 前4天图书借出数的方差小于后4天图书借出数的方差
【答案】C
【解析】A：每天图书借出数的极差为，错；
B：每天图书借出数的平均数，错；
C：由数据从小到大排序为，
则中位数为，对；
D：前4天平均数，则方差为，
后4天平均数，则方差为，
所以前4天图书借出数的方差大于后4天图书借出数的方差，错.
故选：C.
7. 在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，则正四棱锥的外接球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图所示：
设外接球的球心为O，半径为R，底面中心为E，连接SE，BO，BE，
因为在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，
所以，
在中，，即，
解得，所以外接球的体积为.
故选：C.
8. 如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】由于，
如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系，
连接由于，则≌，
而，故，则，
则，
设，则，，
故，
当时，有最小值.
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多个正确选项，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（ ）
A. 两件都是次品的概率为0.02
B. 事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件
C. 恰有一件正品的概率为0.26
D. 事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件
【答案】ACD
【解析】对于A，若取出的两件都是次品，其概率，
故A项正确；
对于B，事件“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以两个事件不是互斥事件，故B项错误；
对于C，恰有一件正品，其概率，
故C项正确；
对于D，“至少有一件正品” 包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件，故D项正确.
故选：ACD.
10. 已知复数z满足，则（ ）
A.
B. z满足方程
C.
D. z在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】AB
【解析】因为，
所以，
对于A项，，故A项正确；
对于B项，将代入得：，
故B项正确；
对于C项，，故C项错误；
对于D项，，所以在复平面内对应的点为，
故D项错误.
故选：AB.
11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为锐角三角形
B. 若，则
C. 若，则此三角形有2解
D. 若，则为等腰三角形
【答案】BC
【解析】对于A项，因为，所以，
所以为锐角，但不一定是锐角三角形，故A项不成立；
对于B项，因为，所以由正弦定理可知，，故B项正确；
对于C项，如图所示，
因为，
所以此三角形有2解，故C项正确；
对于D项，因为，，
所以或，即：或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故D项不成立.
故选：BC.
12. 已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点M为侧棱上的动点（包括端点），平面．下列说法正确的有（ ）
A. 异面直线AM与可能垂直
B. 直线BC与平面可能垂直
C. AB与平面所成角的正弦值的范围为
D. 若且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为
【答案】AD
【解析】在正四棱柱中，底面正方形ABCD的边长为1，AA1=2，如图：
选项A：当MC=时，
在矩形BCC1B1中，，所以，
又因AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，
又因为，、平面，
所以B1C⊥平面ABM，所以，故选项A正确；
选项B：因为AM与BC是异面直线，所以AM与BC不可能平行，
故与不可能垂直，故选项B错误；
选项C：因为平面，AB是平面的斜线，则AB与平面所成角，
所以，
又因为当点M在棱CC1移动时，，
所以，所以，故选项C错误；
选项D：当M为CC1中点时，连接AB1，AD1，AC，MB1，MD1，BD1，如图所示，
则有，，
所以，所以AM⊥MB1，同理AM⊥MD1，
又因为，、面，
所以AM⊥平面MB1D1，
所以平面截正四棱柱所得截面多边形为正△，
所以其周长，故选项D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，且与共线，则________．
【答案】
【解析】向量，且与共线，
得，，所以．
故答案为：.
14. 在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.
【答案】
【解析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，
在中，，，，如下图所示，
底面圆的半径为，
则所形成的几何体的表面积为.
故答案为：.
15. 如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面的高度为________m．
【答案】
【解析】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，
因为摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，
所以，解得，
因为每转一圈，所以，，
当时，，所以，所以可取，
所以，
所以当时，.
故答案为：.
16. 中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为______.
【答案】2
【解析】设，由向量共线的充要条件不妨设，
则，
即，
又面积为面积的一半可得：，
所以，
，
易知，
当时，即重合时取得最小值.
故答案为：2.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
解：（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
（2）有0个家庭回答正确的概率：
，
有1个家庭回答正确的概率：
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
18. 如图，已知等腰中，，，点P是边BC上的动点.
（1）若点P是线段BC上靠近B的三等分点，试用向量，表示向量；
（2）求的值.
解：（1）因为.
（2）取中点，则，且，
又因为，，所以，
所以
19. 如图①，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，BC，BB1，的中点．
（1）求证：平面EFG⊥平面BB1D1D；
（2）将该正方体截去八个与四面体B-EFG相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是，求该正方体的棱长．
解：（1）在正方体中，平而，而平面，
则
连接，如图，在中，分别为的中点，即，
在正方形中，，于是得
又因平面平面，
从而得平面
又平面，所以平面平面.
（2）设正方体的棱长为，由（1）知，
四面体的体积为，
因此所得多而体的体积为，解得，
所以该正方体的棱长为4．
20. 某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为8，2．
（1）求样本容量和频率分布直方图中的的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．
解：（1）由题意可知，样本容量n==50，
，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030.
（2）设本次竞赛学生成绩中位数为m，
则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040 =0.5，解得.
（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，
分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．
抽取的2名学生的所有情况有21种，
分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），
（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），
（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．
其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），
（a4，a5）．
∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率.
21. 如图，在平面四边形ABCD中，，．
（1）若，，，求△ACD的面积；
（2）若，，求的最大值．
解：（1）在中，，
因为，所以，
所以的面积.
（2）设，，
则，，
在中，，则，
在 中，，则，
所以
，
当时，取得最大值；
综上，的面积为 ，的最大值.
22. 已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有、两点.如图，，，点是上的动点.沿将纸片折为直二面角，并连结，，，.
（1）当平面时，求的长；
（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
解：（1）因平面，平面内，平面平面，
则有，
因此，，
而，
则，
所以的长是.
（2）因，平面平面，平面平面，
平面ABC，则平面，
三棱锥的体积为：
，
因此，三棱锥体积最大，
当且仅当，即，
取PD中点M，连接OM，CM，
由，，
可得，如图，
于是得，即是二面角的平面角，
而，在中，，
则，，
所以二面角的余弦值是.