浙江省强基联盟2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. 1B. -1C. 3D.
3. 已知，则（ ）
A. 1B. C. D. 或
4. 如图，在正方体中，M，N分别为和中点，则异面直线AM与BN所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知命题函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知样本数据平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则平均数（ ）
A. 1B. C. 2D.
7. 若实数，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知球的半径，球面上有三点A，B，C，满足，点在球面上运动，则当四面体的体积取得最大值时，（ ）
A. B. C. 13D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递减
D. 的图象关于点对称
10. 已知正方体的棱长为2，棱AB，BC的中点分别为E，F，点在上底面上（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A. 存在点，使得平面平面
B. 不存点，使得直线平面EFG
C. 三棱锥的体积不变
D. 存在点，使得平面
11. 如图，已知长方形中，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 对任意，不成立D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若为纯虚数（为虚数单位），则实数______．
13. 对于任意的恒成立，则实数的取值范围为______．
14. 已知勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙），若勒洛四面体ABCD能够容纳的最大球的表面积为，则正四面体ABCD的内切球的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，且与的夹角为．
（1）求和；
（2）若向量与所成角是锐角，求实数的取值范围．
16. 已知函数是定义在上的偶函数．
（1）求函数的解析式；
（2）对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
17. 如图，在三棱锥中，已知.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求侧面与侧面所成的二面角的余弦值.
18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角；
（2）若，求的面积的取值范围；
（3）若，且，求实数的取值范围．
19. 在复数域中，对于正整数，满足的所有复数称为次单位根，若一个次单位根满足对任意小于的正整数，都有，则称该次单位根为次本原单位根，规定1次本原单位根为1，例如当时存在四个次单位根，因为，，因此只有两个次本原单位根，对于正整数，设次本原单位根为，则称多项式为次本原多项式，记为，规定，例如，请回答以下问题.
（1）直接写出次单位根，并指出哪些是次本原单位根（无需证明）；
（2）求出，并计算，由此猜想（无需证明）；
（3）设所有次本原单位根在复平面内对应的点为，复平面内一点所对应的复数满足，求的取值范围.