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浙江省永嘉县上塘中学2024届高三下学期模拟考试数学卷试题（Word版附解析）
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这是一份浙江省永嘉县上塘中学2024届高三下学期模拟考试数学卷试题（Word版附解析），文件包含浙江省永嘉县上塘中学2024届高三下学期模拟考试数学试题卷Word版含解析docx、浙江省永嘉县上塘中学2024届高三下学期模拟考试数学试题卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.
2. 作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.
选择题部分 (共58分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 合题目要求的.
1. 已知定义域为的函数，求出是（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用赋值即可求解.
【详解】令则，
令则，所以，
故选：D
2. 集合,则以下可以是的表达式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本函数的导数，分别对各个选项对应的函数求导，再利用集合的互异性，即可求出结果.
【详解】对于选项A，因为，所以，，，，不满足集合的互异性，所以选项A错误，
对于选项B，因为，所以，不满足集合的互异性，所以选项B错误，
对于选项C，因为，所以，，，，所以选项C正确，
对于选项D，因为，所以，，，，后面再求导，导数均为，不满足集合的互异性，所以选项D错误，
故选：C.
3. 若，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助诱导公式与辅助角公式化简后利用三角函数值域可得、，即可得的最小值.
【详解】
，
由，故，
则，，且、，
即，且、，
故当时，有最小值.
故选：B.
4. 已知抛物线，则焦准距（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据标准方程可得，即可根据的几何意义求解.
【详解】由可得，所以，
故焦准距为，
故选：D
5. 边长为2的立方体被一个平面所截，截得的截面图形面积最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当截面过立方体中心且过两条侧棱时，截面面积最大，得出截面后计算即可得.
【详解】当截面过立方体中心且过两条侧棱时，其截面面积最大，
如图所示矩形符合要求，
此时截面面积为.
故选：A.
6. ，求 的值为 （ ）.
A. 922B. 923C. 924D. 925
【答案】B
【解析】
【分析】代入求和公式，算出组合数的值即可.
【详解】由题意知
.
故选：B.
7. 平面上的两个点A()，B()，其中横纵坐标均为自然数，且不大于5，则两点之间的距离可以有多少种取值（ ）
A. 19B. 20C. 25D. 27
【答案】A
【解析】
【分析】依题先确定中任意两个数的差的绝对值的所有可能值有共6个，推得与的可能的取值都分别有共6个，再结合两点间距离公式，考虑的不同取值即得.
【详解】依题意， ，且均不大于5，
将其中任意两个数的差的绝对值记为，则可能的值有共6个，
而A()，B()之间的距离为,
而与的可能的取值都分别有共6个，
故的不同取值可分成五类：
①与中有一个取0，另一个可取六个数，则|AB|的不同取值有：；
②与中有一个取1，另一个可取五个数，则|AB|的不同取值有：；
③ 与中有一个取2，另一个可取四个数，则|AB|的不同取值有：；
④ 与中有一个取3，另一个可取两个数，则|AB|的不同取值有：
⑤ 与中有一个取4，另一个可取两个数，则|AB|的不同取值有：.
由分类加法计数原理可得，不同的取值共有6+5+4+2+2=19个.
故选：A.
8. 古希腊著名的约瑟夫环问题讲的是：共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存活下来的人依次杀死相邻的下一位士兵，若一名叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在几号位上？（ ）
A 1B. 63C. 127D. 31
【答案】C
【解析】
【分析】由约瑟夫环原理，第一轮过后剩下号位为1到127的奇数号士兵，然后每个号位数加1后除2得到新一轮编号，进行下一轮剩下的是编号为2的倍数的士兵，再下一轮剩下的是编号为4的倍数的士兵，以此类推，最后剩下的是编号为64的士兵，即为最开始编号为127的士兵.
【详解】由题意，从一号位的士兵开始，每个存活下来的人依次杀死相邻的下一位士兵，杀死所有偶数号士兵后，还剩64个士兵，
号位为1到127的奇数号士兵，每个号位数加1后除2得到新一轮编号，
64是2的幂，则进行下一轮剩下的是编号为2的倍数的士兵，再下一轮剩下的是编号为4的倍数的士兵，
以此类推，最后剩下是编号为64的士兵，即为最开始编号为127的士兵，
所以叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在127号位上.
故选：C.
【点睛】方法点睛：约瑟夫环原理的内容，
起始状态，有n个人围成一圈，每个人有一个唯一的编号从1到n；
报数规则，从某个人开始，按照顺时针方向报数，数到m的人将被移除出圈；
重复过程，接下来从下一个人开始继续报数，直到圈中只剩下一个人.
关键在于理解并应用递推关系，假设表示在n个人中，按照报数规则m进行，最后存活的人的编号.
那么可以通过递推公式计算得出：，这个公式表明，最后存活的人的编号是基于初始时圈中人的排列顺序的.
此外，约瑟夫环问题也可以使用其他方法解决，例如数组模拟、链表处理或公式法。这些方法各有优劣，但核心原理是相同的，通过模拟或计算，找出在特定的报数规则下，最后存活的人的编号.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知单位向量共面，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的运算法则，以及向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由，可得，即，
可得，所以，所以A不正确，B正确；
因为向量为单位向量，可得，
又由，可得，则，即，
可得，所以，
因为，所以，所以C错误；
由，可得，则，可得，
所以，因为，所以，所以D正确.
故选：BD.
10. 已知 ， ，且 则以下正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先利用因式分解法得，再通过证明，可知只有一解即：，然后把选项中的代换为并进行化简可得A正确，C错误，而BD则需要构造为关于的函数，利用求导法来判断单调性和最值，从而得证．
【详解】由因式分解可得：，
又因为，可知，即，
又由函数，求导，
当时，，可知在上递减，
当时，，可知在上递增，
所以在时取到最小值为0，有
即不等式成立，所以，
由可得：，即，
对于选项A，，所以选项A的正确的；
对于选项B，，构造函数，求导，
由时，，所以在上递增，
即，因为，所以，所以选项B是正确的；
对于选项C，与不可能等价，所以选项C是错误的；
对于选项D，，构造函数，求导，
由时，，所以在上递增，
由时，，所以在上递减，
所以的最大值是，即，所以选项D是正确的；
故选：ABD.
11. 若， ，则下列说法中正确的有（ ）
A. B.
C. 的解集是D. 的最小值是 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】代入求，即可得A正确，求导即可判断B正确，定义新函数求导解不等式即可得到C选项正确，运用基本不等式可得到的最小值.
【详解】因为，，
所以，A正确；
因为，，所以B正确；
的解集，即的解集，，
当且仅当时等号成立，所以在R上单调递增，
且，所以解集为，所以C正确；
，当，即时取到最小值为1，所以D错误.
故选：ABC.
非选择题部分 (共92分)
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分，把答案填在题中的横线上.
12. 给定定点，对任意可能的，及函数的图象上的任意可能的点，的最小值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】先证明，然后给出，，说明等号可以取得即可.
【详解】设，则.
.
从而无论怎样都有，即.
当且仅当时，有，此时.
所以的最小值是.
故答案为：.
13. 不计容器壁厚度的有盖立方体容器的边长是1，向其中放入两个小球，则这两个小球的体积之和的最大值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据正方体内切球的特征结合球的体积公式及二次函数性质求最值计算即可.
【详解】
如上图所示，当两个小球内切于正方体，且两个小球也相切，
球心位于体对角线上时球的体积可取最大，设两个小球的半径分别为，
作出横截面如下图，不妨设分别切于，
则有，
不妨设，易知，则，
则两球体积之和为，
又，
显然当时取得最大值，此时.
故答案为：.
14. 椭圆右焦点是F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原点，若直线AB上存在异于F的点P，使得，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论直线AB的斜率是否为0，设设，联立方程，由数量积结合韦达定理可得，结合基本不等式运算求解即可.
【详解】由题意可知：，则，
因为直线AB过F，可知直线AB与椭圆必相交，
若直线AB的斜率为0，即直线AB为x轴，不妨设，
则，
因为，则，解得，
当，此时点即为点，不合题意；
当，此时点，；
若直线AB的斜率不为0，设，
则，
联立方程，消去x得，
则，
因为，则，
可得，
整理得，则，，
即，
可得，
因为，则，当且仅当，即时，等号成立，
可得，所以；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法
一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 的角对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知.
（1）求 a 的长.
（2）求的面积.
【答案】（1）；
（2）18.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合数量积的运算律求出a 的长.
（2）由（1）的信息，利用三角形面积公式，结合三角形重心的性质计算即得.
【小问1详解】
在中，由O是重心，得 ，即有，
于是，解得，
而，所以.
【小问2详解】
由（1）得，又O是重心，
所以的面积.
16 函数
（1）求的单调区间.
（2）若在时恒成立，求的取值范围.
【答案】（1） 的单调递增区间是 单调递减区间是
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导有，根据导数判断函数的单调性区间即可；
（2）构造函数，将问题转化为：在时恒成立，求的取值范围；根据，求出命题成立的必要条件，再验证充分性即可确定的取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以，定义域为，
令，即，即，
解得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上所述， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
【小问2详解】
记，则，
所以，
根据题意原题可化为：在时恒成立，求的取值范围；
因为，所以在时恒成立的必要条件为，
即，即；
构造函数，则，
所以在上单调递增，所以，
所以有，即在上恒成立，
令，当时，有，
所以在上恒成立，
因为，不等式两边同时乘以，
有在上恒成立，
即在上恒成立，
即时，在上恒成立，
综上，是在时恒成立的充要条件，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
17. 已知椭圆：，左右顶点分别是，，椭圆的离心率是.点是直线上的点，直线与分别交椭圆于另外两点，.
（1）求椭圆的方程.
（2）若，求出的值.
（3）试证明：直线过定点.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意结合计算即可得；
（2）设出点坐标，借助斜率公式计算即可得；
（3）设出直线方程，联立曲线方程，借助韦达定理与（2）中所得计算即可得.
【小问1详解】
由题意可得，，即，
所以，则椭圆；
【小问2详解】
设，由于，则；
【小问3详解】
显然MN斜率不为0，设：，，，
联立方程，则有，
，
则有，，
由于，则，
因为，
故，
即，解得或，
当时，，故舍去，即，适合题意，
故: ，则直线过定点.
18. 在坐标平面内 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数的一个整点，记该点到坐标原点的距离是随机变量X
相关公式:
（1）当 时，写出X的分布列和期望.
（2）记随机变量 与分别表示 的横纵坐标.
①求出 的期望
②现在实际上选取了四个点尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此来得到估计值 (四舍五入取整).
（3）记方差 ，试证明 .
【答案】（1）分布列见解析，期望
（2）①，②8
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意写出的分布列并计算期望.
（2）①根据期望的性质求解；②根据已知条件求平均数，然后求解数据；
（3）根据方差的计算公式，进行证明求解.
【小问1详解】
整点有，
故的取值为，则分布列：
期望
【小问2详解】
①，
所以
②，所以平均数是 7.75.
所以取， 四舍五入取
【小问3详解】
先求 ,
则方差成立
19. 复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作，他以虚无缥缈的数字展示了人类数学最纯粹的浪漫．欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠，相关的内容是，欧拉公式:，其中表示虚数单位，是自然对数的底数．数学家泰勒对此也提出了相关公式:其中的感叹号!表示阶乘，试回答下列问题：
（1）试证明欧拉公式．
（2）利用欧拉公式，求出以下方程的所有复数解．
①；②；
（3）求出角度的倍角公式(用表示，)．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
（3）
【解析】
【分析】（1）根据泰勒展开式，结合虚数的运算法则即可证明；
（2）利用欧拉公式，同角三角函数关系及对数运算即可求解；
（3）根据二项式定理及同角三角函数的平方关系即可求解．
【小问1详解】
证明：令，
则
因为
所以，即
【小问2详解】
①因为，，
所以；
②由得，，
所以，，
由得，当时，，
所以，两边同时取对数得，，
解得，
【小问3详解】
令实部相等，
即得．
【点睛】关键点睛：第三问中，应用及二项式定理，结合复数相等即可证明．
X
0
1
2
P
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.
2. 作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.
选择题部分 (共58分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 合题目要求的.
1. 已知定义域为的函数，求出是（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用赋值即可求解.
【详解】令则，
令则，所以，
故选：D
2. 集合,则以下可以是的表达式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本函数的导数，分别对各个选项对应的函数求导，再利用集合的互异性，即可求出结果.
【详解】对于选项A，因为，所以，，，，不满足集合的互异性，所以选项A错误，
对于选项B，因为，所以，不满足集合的互异性，所以选项B错误，
对于选项C，因为，所以，，，，所以选项C正确，
对于选项D，因为，所以，，，，后面再求导，导数均为，不满足集合的互异性，所以选项D错误，
故选：C.
3. 若，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助诱导公式与辅助角公式化简后利用三角函数值域可得、，即可得的最小值.
【详解】
，
由，故，
则，，且、，
即，且、，
故当时，有最小值.
故选：B.
4. 已知抛物线，则焦准距（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据标准方程可得，即可根据的几何意义求解.
【详解】由可得，所以，
故焦准距为，
故选：D
5. 边长为2的立方体被一个平面所截，截得的截面图形面积最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当截面过立方体中心且过两条侧棱时，截面面积最大，得出截面后计算即可得.
【详解】当截面过立方体中心且过两条侧棱时，其截面面积最大，
如图所示矩形符合要求，
此时截面面积为.
故选：A.
6. ，求 的值为 （ ）.
A. 922B. 923C. 924D. 925
【答案】B
【解析】
【分析】代入求和公式，算出组合数的值即可.
【详解】由题意知
.
故选：B.
7. 平面上的两个点A()，B()，其中横纵坐标均为自然数，且不大于5，则两点之间的距离可以有多少种取值（ ）
A. 19B. 20C. 25D. 27
【答案】A
【解析】
【分析】依题先确定中任意两个数的差的绝对值的所有可能值有共6个，推得与的可能的取值都分别有共6个，再结合两点间距离公式，考虑的不同取值即得.
【详解】依题意， ，且均不大于5，
将其中任意两个数的差的绝对值记为，则可能的值有共6个，
而A()，B()之间的距离为,
而与的可能的取值都分别有共6个，
故的不同取值可分成五类：
①与中有一个取0，另一个可取六个数，则|AB|的不同取值有：；
②与中有一个取1，另一个可取五个数，则|AB|的不同取值有：；
③ 与中有一个取2，另一个可取四个数，则|AB|的不同取值有：；
④ 与中有一个取3，另一个可取两个数，则|AB|的不同取值有：
⑤ 与中有一个取4，另一个可取两个数，则|AB|的不同取值有：.
由分类加法计数原理可得，不同的取值共有6+5+4+2+2=19个.
故选：A.
8. 古希腊著名的约瑟夫环问题讲的是：共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存活下来的人依次杀死相邻的下一位士兵，若一名叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在几号位上？（ ）
A 1B. 63C. 127D. 31
【答案】C
【解析】
【分析】由约瑟夫环原理，第一轮过后剩下号位为1到127的奇数号士兵，然后每个号位数加1后除2得到新一轮编号，进行下一轮剩下的是编号为2的倍数的士兵，再下一轮剩下的是编号为4的倍数的士兵，以此类推，最后剩下的是编号为64的士兵，即为最开始编号为127的士兵.
【详解】由题意，从一号位的士兵开始，每个存活下来的人依次杀死相邻的下一位士兵，杀死所有偶数号士兵后，还剩64个士兵，
号位为1到127的奇数号士兵，每个号位数加1后除2得到新一轮编号，
64是2的幂，则进行下一轮剩下的是编号为2的倍数的士兵，再下一轮剩下的是编号为4的倍数的士兵，
以此类推，最后剩下是编号为64的士兵，即为最开始编号为127的士兵，
所以叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在127号位上.
故选：C.
【点睛】方法点睛：约瑟夫环原理的内容，
起始状态，有n个人围成一圈，每个人有一个唯一的编号从1到n；
报数规则，从某个人开始，按照顺时针方向报数，数到m的人将被移除出圈；
重复过程，接下来从下一个人开始继续报数，直到圈中只剩下一个人.
关键在于理解并应用递推关系，假设表示在n个人中，按照报数规则m进行，最后存活的人的编号.
那么可以通过递推公式计算得出：，这个公式表明，最后存活的人的编号是基于初始时圈中人的排列顺序的.
此外，约瑟夫环问题也可以使用其他方法解决，例如数组模拟、链表处理或公式法。这些方法各有优劣，但核心原理是相同的，通过模拟或计算，找出在特定的报数规则下，最后存活的人的编号.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知单位向量共面，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的运算法则，以及向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由，可得，即，
可得，所以，所以A不正确，B正确；
因为向量为单位向量，可得，
又由，可得，则，即，
可得，所以，
因为，所以，所以C错误；
由，可得，则，可得，
所以，因为，所以，所以D正确.
故选：BD.
10. 已知 ， ，且 则以下正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先利用因式分解法得，再通过证明，可知只有一解即：，然后把选项中的代换为并进行化简可得A正确，C错误，而BD则需要构造为关于的函数，利用求导法来判断单调性和最值，从而得证．
【详解】由因式分解可得：，
又因为，可知，即，
又由函数，求导，
当时，，可知在上递减，
当时，，可知在上递增，
所以在时取到最小值为0，有
即不等式成立，所以，
由可得：，即，
对于选项A，，所以选项A的正确的；
对于选项B，，构造函数，求导，
由时，，所以在上递增，
即，因为，所以，所以选项B是正确的；
对于选项C，与不可能等价，所以选项C是错误的；
对于选项D，，构造函数，求导，
由时，，所以在上递增，
由时，，所以在上递减，
所以的最大值是，即，所以选项D是正确的；
故选：ABD.
11. 若， ，则下列说法中正确的有（ ）
A. B.
C. 的解集是D. 的最小值是 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】代入求，即可得A正确，求导即可判断B正确，定义新函数求导解不等式即可得到C选项正确，运用基本不等式可得到的最小值.
【详解】因为，，
所以，A正确；
因为，，所以B正确；
的解集，即的解集，，
当且仅当时等号成立，所以在R上单调递增，
且，所以解集为，所以C正确；
，当，即时取到最小值为1，所以D错误.
故选：ABC.
非选择题部分 (共92分)
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分，把答案填在题中的横线上.
12. 给定定点，对任意可能的，及函数的图象上的任意可能的点，的最小值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】先证明，然后给出，，说明等号可以取得即可.
【详解】设，则.
.
从而无论怎样都有，即.
当且仅当时，有，此时.
所以的最小值是.
故答案为：.
13. 不计容器壁厚度的有盖立方体容器的边长是1，向其中放入两个小球，则这两个小球的体积之和的最大值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据正方体内切球的特征结合球的体积公式及二次函数性质求最值计算即可.
【详解】
如上图所示，当两个小球内切于正方体，且两个小球也相切，
球心位于体对角线上时球的体积可取最大，设两个小球的半径分别为，
作出横截面如下图，不妨设分别切于，
则有，
不妨设，易知，则，
则两球体积之和为，
又，
显然当时取得最大值，此时.
故答案为：.
14. 椭圆右焦点是F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原点，若直线AB上存在异于F的点P，使得，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论直线AB的斜率是否为0，设设，联立方程，由数量积结合韦达定理可得，结合基本不等式运算求解即可.
【详解】由题意可知：，则，
因为直线AB过F，可知直线AB与椭圆必相交，
若直线AB的斜率为0，即直线AB为x轴，不妨设，
则，
因为，则，解得，
当，此时点即为点，不合题意；
当，此时点，；
若直线AB的斜率不为0，设，
则，
联立方程，消去x得，
则，
因为，则，
可得，
整理得，则，，
即，
可得，
因为，则，当且仅当，即时，等号成立，
可得，所以；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法
一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 的角对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知.
（1）求 a 的长.
（2）求的面积.
【答案】（1）；
（2）18.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合数量积的运算律求出a 的长.
（2）由（1）的信息，利用三角形面积公式，结合三角形重心的性质计算即得.
【小问1详解】
在中，由O是重心，得 ，即有，
于是，解得，
而，所以.
【小问2详解】
由（1）得，又O是重心，
所以的面积.
16 函数
（1）求的单调区间.
（2）若在时恒成立，求的取值范围.
【答案】（1） 的单调递增区间是 单调递减区间是
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导有，根据导数判断函数的单调性区间即可；
（2）构造函数，将问题转化为：在时恒成立，求的取值范围；根据，求出命题成立的必要条件，再验证充分性即可确定的取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以，定义域为，
令，即，即，
解得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上所述， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
【小问2详解】
记，则，
所以，
根据题意原题可化为：在时恒成立，求的取值范围；
因为，所以在时恒成立的必要条件为，
即，即；
构造函数，则，
所以在上单调递增，所以，
所以有，即在上恒成立，
令，当时，有，
所以在上恒成立，
因为，不等式两边同时乘以，
有在上恒成立，
即在上恒成立，
即时，在上恒成立，
综上，是在时恒成立的充要条件，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
17. 已知椭圆：，左右顶点分别是，，椭圆的离心率是.点是直线上的点，直线与分别交椭圆于另外两点，.
（1）求椭圆的方程.
（2）若，求出的值.
（3）试证明：直线过定点.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意结合计算即可得；
（2）设出点坐标，借助斜率公式计算即可得；
（3）设出直线方程，联立曲线方程，借助韦达定理与（2）中所得计算即可得.
【小问1详解】
由题意可得，，即，
所以，则椭圆；
【小问2详解】
设，由于，则；
【小问3详解】
显然MN斜率不为0，设：，，，
联立方程，则有，
，
则有，，
由于，则，
因为，
故，
即，解得或，
当时，，故舍去，即，适合题意，
故: ，则直线过定点.
18. 在坐标平面内 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数的一个整点，记该点到坐标原点的距离是随机变量X
相关公式:
（1）当 时，写出X的分布列和期望.
（2）记随机变量 与分别表示 的横纵坐标.
①求出 的期望
②现在实际上选取了四个点尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此来得到估计值 (四舍五入取整).
（3）记方差 ，试证明 .
【答案】（1）分布列见解析，期望
（2）①，②8
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意写出的分布列并计算期望.
（2）①根据期望的性质求解；②根据已知条件求平均数，然后求解数据；
（3）根据方差的计算公式，进行证明求解.
【小问1详解】
整点有，
故的取值为，则分布列：
期望
【小问2详解】
①，
所以
②，所以平均数是 7.75.
所以取， 四舍五入取
【小问3详解】
先求 ,
则方差成立
19. 复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作，他以虚无缥缈的数字展示了人类数学最纯粹的浪漫．欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠，相关的内容是，欧拉公式:，其中表示虚数单位，是自然对数的底数．数学家泰勒对此也提出了相关公式:其中的感叹号!表示阶乘，试回答下列问题：
（1）试证明欧拉公式．
（2）利用欧拉公式，求出以下方程的所有复数解．
①；②；
（3）求出角度的倍角公式(用表示，)．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
（3）
【解析】
【分析】（1）根据泰勒展开式，结合虚数的运算法则即可证明；
（2）利用欧拉公式，同角三角函数关系及对数运算即可求解；
（3）根据二项式定理及同角三角函数的平方关系即可求解．
【小问1详解】
证明：令，
则
因为
所以，即
【小问2详解】
①因为，，
所以；
②由得，，
所以，，
由得，当时，，
所以，两边同时取对数得，，
解得，
【小问3详解】
令实部相等，
即得．
【点睛】关键点睛：第三问中，应用及二项式定理，结合复数相等即可证明．
X
0
1
2
P
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