2024陕西数学中考备考重难专题：圆的综合题（课后练习）

这是一份2024陕西数学中考备考重难专题：圆的综合题（课后练习），共10页。试卷主要包含了证明角间数量关系，求线段长等内容，欢迎下载使用。

典例精讲
例 （2022陕西逆袭卷原创）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，D是弦AC的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，过点D作FG⊥AB交AB于点F，交EC的延长线于点G.
例题图
(1)求证：∠ACG＝∠ADF；
(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求AF的长．
方法总结：
知识点：切线的性质、圆周角定理及其推论、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、勾股定理
模型：相似A字型，特点为有共用的一组角，且有另外一组角相等，形似字母“A”
辅助线作法：过圆心连半径，通常还要再转化构造直径去解题(题中没有给出直径的情况)
解题方法：
1.证明角间数量关系
切线的性质，圆周角定理的推论，两半径构成的等腰三角形，角间等量转换
2.求线段长
通常有3种方法：
①锐角三角函数，此时线段要在直角三角形中或者能够构造直角三角形，用锐角三角函数需要已知一条边和一个角；
②勾股定理，此时线段要在直角三角形中或者能够构造直角三角形，用勾股定理需要已知两边；
③三角形相似、全等，用相似需要证明两组角相等，有等边则证明全等.
课堂练兵
练习 （四川2023试题研究）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点F.
如图①，求证：DF⊥AC；
(2)如图②，连接AD，求证：CD2＝CF·AC.

练习题图① 练习题图②
课后小练
练习1 (2022西安模拟卷)如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E.
练习1题图
(1)求证：∠CDE＝∠CAD；
(2)若CD＝4，tanB＝22，求⊙O的半径．
练习2 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC上一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，与AB交于点F，连接OF，EF，DE.
练习2题图
(1)求证：ED＝EF；
(2)若AB＝6，⊙O的半径为4，求BC的长．
答案
典例精讲
例 (1)证明：如解图，连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCG＝90°，
∴∠OCA＋∠ACG＝90°.
例题解图
∵FG⊥AB，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF＋∠ADF＝90°.
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠DAF，
∴∠ACG＝∠ADF.
(2)解：如解图，连接OD，
∵D是弦AC的中点，AC＝8，
∴∠ADO＝90°＝∠AFD，AD＝CD＝4.
∵∠A＝∠A，
∴△ADF∽△AOD，
∴eq \f(AF,AD)＝eq \f(AD,AO)，
∴AF＝eq \f(AD2,AO).
∵⊙O的半径为5，
∴AF＝eq \f(42,5)＝eq \f(16,5).
课堂练兵
练习 (1)证明：如解图，连接OD，
∵AB＝AC，OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝∠C
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC；
练习题解图
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
由(1)知DF⊥AC，
∴∠CFD＝90°.
∵∠DCF＝∠ACD，
又∵∠C＝∠C
∴△DCF∽△ACD，
∴ eq \f(CD,CF) ＝ eq \f(AC,DC) ，
∴CD2＝CF·AC.
课后小练
练习1 证明(1)：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODA＋∠ODB＝90°.
∵AE是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，即∠OAD＋∠CAD＝90°.
∴∠ODB＝∠CAD
∵∠ODB＝∠CDE，∴∠CDE＝∠CAD；
(2)解：∵∠CAD＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠B＝90°，∴∠CAD＝∠B.
∵∠CDE＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，
∴CDCA＝DEAD.
∵tan ∠CAD＝DEAD＝tan B＝22，∴CA＝2CD＝42.
在Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，
即OA2＋(42)2＝(OA＋4)2，解得OA＝2，
∴⊙O的半径为2.
练习2 (1)证明：如解图，连接OE，
∵BC为⊙O的切线，
∴OE⊥BC，
∵∠ABC＝90°，
∴OE∥AB，
∴∠FAO＝∠EOD，∠AFO＝∠FOE，
∵OA＝OF，
∴∠FAO＝∠AFO，
∴∠EOD ＝∠FOE，
∴ED＝EF;
练习2题解图
(2)解：由(1)可得OE∥AB，
∴△ABC∽△OEC，
∴＝，
即＝ ，
解得DC＝4，
∴AC＝AD＋DC＝12，
∴在Rt△ABC中，BC＝＝ ＝6 .
年份
题号
题型
分值
考查知识
设问形式
辅助线作法
2022
24
解答题
8
(1)切线的性质、圆周角定理
(2)圆周角定理的推论、两角互余的性质、相似三角形的性质与判定
(1)证明两角相等；
(2)求线段长
构造直径所对圆周角
2021
24
(1)弦与圆心角的关系、圆周角定理
(2)切线的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理
(1)证明两角相等；
(2)求线段长
(1)作弧长中点，连圆心和切点；
(2)构造直径所对圆周角
2020
23
(1)切线的性质、平行线的性质与判定、圆周角定理
(2)圆周角定理及其推论、锐角三角函数
(1)证明两线段平行；
(2)求线段长
(1)连圆心和切点；
(2)过圆上点作切线的垂线
2019
23
(1)切线的性质、两角互余的性质
(2)圆周角定理及其推论、相似三角形的性质与判定
(1)证明两线段相等；
(2)求线段长
构造直径所对圆周角
2023
23
(1)切线的性质、直角三角形中线的性质、两半径构成的等腰三角形、平行线的性质与判定
(2)圆周角定理及其推论、矩形的性质与判定
(1)证明两线段垂直；
(2)证明线段相等
(1)连圆心和切点；
(2)连接切点和圆上另一点