2024江苏中考数学二轮专题复习 逆等线之乾坤大挪移（含解析）

这是一份2024江苏中考数学二轮专题复习 逆等线之乾坤大挪移（含解析），共45页。

\l "_Tc153530836" 2022年四川省内江中考
\l "_Tc153530837" 2022滨州中考
\l "_Tc153530838" 题型二 构造SAS型全等拼接线段
\l "_Tc153530839" 2022·贵州遵义·统考中考真题
\l "_Tc153530840" 2023·日照·二模
\l "_Tc153530841" 2023·咸阳·二模
\l "_Tc153530842" 2023·深圳中学联考
\l "_Tc153530843" 2023·甘肃武威中考真题拆解
\l "_Tc153530844" 2023·黄冈中考真题拆解
\l "_Tc153530845" 题型三 构造相似求加权线段和
\l "_Tc153530846" 2023年成都市天府新区二模
\l "_Tc153530847" 2022·广州中考真题（7种解法）
\l "_Tc153530848" 2023·湖北黄石中考拆解
\l "_Tc153530849" 题型四 取到最小值时对其它量进行计算
\l "_Tc153530850" 湖北武汉·中考真题
一、什么是逆等线段。
两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线段。
二、解题步骤:
1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形)
2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。
3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。
4.问题转化为将军饮马问题求最值。
【模型解读】
△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。
一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。
观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。
这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述
如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。
分析思路：
① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个
也叫做一边一角造全等。
② 即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）
③ 构造出△ADC≌△CEF ( SAS),证出EF=CD
④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求
此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值
⑤ 求BF
题型一 平移，对称或构造平行四边形
2022年四川省内江中考
如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为 ．

如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为 ．

2022滨州中考
如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC，分别交对角线AC，直线BC于点O，F，则在点E移动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为_________．
A
D
B
C
F
E
O
如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为 ．
如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，．
（1）的长为 ；
（2）的最小值为 ．
题型二 构造SAS型全等拼接线段
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，D、E分别是AC、AB上的动点，且AD＝BE，F是BC的中点，则BD＋EF的最小值为___________．
A
B
C
D
E
F
如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3eq \r(,3)，点E、F分别是对角线AC和边CD上的动点，且AE＝CF，则BE＋BF的最小值是___________．
D
A
B
C
E
F
如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为边BC上一点，AE＝AD，M、N分别为线段AE、BE上的动点，且AM＝EN，连接DM、DN，则DM＋DN的最小值为___________．
A
B
C
D
N
E
M
如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为___________．
A
D
B
C
E
F
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），C（4，3），CD⊥y轴于D，连接OC，E、F分别是线段CD、OC上的动点，且CE＝OF，连接AE、AF，则AE＋AF的最小值为___________，此时点E的坐标为___________．
y
x
O
A
D
C
E
F
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转30°到△AB'C'，M、N分别为边AC'、B'C' 上的动点，且AM＝C'N，连接CM、CN，则CM＋CN的最小值为___________．
A
B′
C′
N
M
C
B
2022·贵州遵义·统考中考真题
如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ．
2023·日照·二模
如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为 ．
2023·咸阳·二模
如图，在中，，，点P是边上的动点，在边上截取，连接，则的最小值为 ．

2023·深圳中学联考
如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分别是AC，AB上的动点，且AD＝BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值为 ．

如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．

2023·甘肃武威中考真题拆解
如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
2023·黄冈中考真题拆解
已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．

如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
题型三 构造相似求加权线段和
2023年成都市天府新区二模
如图，在中，，，．D，E分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ．
如图，已知BC⊥AB，BC＝AB＝3，E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且CE＝2BD，则AE＋2CD的最小值为________

如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°．E，F分别是BC，BD上的动点，且CE＝DF，则AE+AF的最小值为 。

如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是 。

如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段A B和B C上的动点， ，求的最小值.

2022·广州中考真题（7种解法）
如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
2023·湖北黄石中考拆解
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．

题型四 取到最小值时对其它量进行计算
如图，为等边的高，M、N分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， ．
如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM＝CN，则当AM+BN取最小值时，CN＝ ．
如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为 ．


如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为________

湖北武汉·中考真题
如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是 ．
参考答案与试题解析
题型一 平移，对称或构造平行四边形
2022年四川省内江中考
．
【答案】10
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．
【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵，EF＝CG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，
∴AF+CE的最小值为10
．
【答案】4
解：如图：
构造矩形ACBF，连接DF，EF，CF交AB于点O，
则OF＝OC，OA＝OB，AB＝CF，
∵AD＝BF， ∴OD＝OE，∴四边形CEFD为平行四边形，
∴DF＝CE， ∴CD+CE＝CD+DF≥CF，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，∴CD+CE≥4， 故答案为：4．
．

【答案】
【分析】证得，作点关于的对称点，则，据此即可求解．
【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接

由题意得：
∵
∴
∴
∵
∴
∴的最小值为
2022滨州中考
_________．
【答案】
【解析】∵AB＝5，AD＝10，∴AC＝＝．
∵EF⊥AC，∴由矩形内十字架模型可知，
＝，∴＝，∴EF＝．
以EF，EC为邻边作□EFGC，则EC＝FG，CG＝EF＝，
A
D
B
C
F
E
O
G
∠ACG＝∠EOC＝90°．
在Rt△ACG中，AG＝＝，
∴AF＋FE＋EC＝AF＋FG＋FE≥AG＋FE＝，
∴AF＋FE＋EC的最小值为．
．
【答案】13
【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DPBQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PBDQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE==13．
∴PC+PB的最小值为13
．
【答案】
【分析】(1)根据正方形的性质求得AB与BM，再由勾股定理求得AM；
(2)过F作FG⊥AB于G，证明△ABM≌△FGE得AM=EF，再将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，当A、F、H三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，由勾股定理求出此时的AH的值便可．
【详解】解：(1)∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∵M是BC的中点，
∴BM=BC=1，
∴，
故答案为：；
(2)过F作FG⊥AB于G，则FG=BC=AB，∠ABM=∠FGE=90°，
∵EF⊥AM，
∴∠BAM+∠AEN=∠AEN+∠GFE=90°，
∴∠BAM=∠GFE，
∴△ABM≌△FGE(ASA)，
∴AM=EF，
将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF=MH，∠AMH=90°，EM=FH，
当A、F、H三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，
此时，∴EM+AF的最小值为
题型二 构造SAS型全等拼接线段
如图，___________．
【答案】eq \r(,13)
提示：作BG∥AC且BG＝AB，连接GE，作GH⊥BC于H
A
B
C
D
E
F
G
H
则∠GBH＝∠C＝30°，GH＝1，HB＝eq \r(,3)
BF＝eq \r(,3)，HF＝2eq \r(,3)，GF＝eq \r(,13)
△ABD≌△BGE（SAS），BD＝GE
BD＋EF＝GE＋EF≥GF＝eq \r(,13)，最小值为eq \r(,13)
如图，___________．
【答案】3eq \r(,7)
提示：作AG⊥AC且AG＝BC，连接BG、EG
D
A
B
C
E
F
G
H
则△GAE≌△BCF，BF＝GE
BE＋BF＝BE＋GE≥BG
解△ABG得BG＝3eq \r(,7)，BE＋BF的最小值是3eq \r(,7)
如图___________．
【答案】4eq \r(,2)
提示：连接AN
A
B
C
D
N
E
M
A′
由题意，AD＝AE，∠DAM＝∠AEN＝30°，AM＝EN
∴△ADM≌△EAN，∴DM＝AN
延长AB至点A'，使A'B＝AB，连接A'N、A'D
则AN＝A'N，∴DM＋DN＝AN＋DN＝A'N＋DN≥A'D
当A'、N、D三点共线时DM＋DN的值最小
此时A'N＝DN，∴AN＝ EQ \F(1, 2 ) A'D＝DN
∴点N在线段AD的垂直平分线上
∴BN＝ EQ \F(1, 2 ) BC＝2，∴AN＝eq \r(,2)AB＝2eq \r(,2)
∴DM＋DN≥A'D＝2AN＝4eq \r(,2)
即DM＋DN的最小值为4eq \r(,2)
___________．
【答案】2eq \r(,2)
提示：作BG⊥AB且BG＝AB，连接AG、EG
A
D
B
C
E
F
G
则AD＝BG，∠ADF＝∠GBE＝30°
又∵DF＝BE，∴△ADF≌△GBE，∴AF＝EG
∴AE＋AF＝AE＋EG≥AG＝eq \r(,2)AB＝2eq \r(,2)
即AE＋AF的最小值为2eq \r(,2)
___________．
【答案】（ EQ \F(2, 13 )，0）
提示：在x轴上取点B（5，0），连接AB、AC、BF
y
x
B
O
A
D
C
E
F
y
x
B
O
A
D
C
E
F
∵A（0，6），C（4，3），CD⊥y轴，∴AD＝OD＝3
∴AC＝5＝BO，CD是AO的垂直平分线，∴CA＝CO
∴∠ACE＝∠OCE＝∠BOF
又∵CE＝OF，∴△ACE≌△BOF（SAS），∴AE＝BF
∵A（0，6），B（5，0），∴AB＝eq \r(,61)
∴AE＋AF＝AF＋BF≥AB＝eq \r(,61)，即AE＋AF的最小值为eq \r(,61)
此时点F落在线段AB上，即直线AB与OC的交点
易求直线AB：y＝－ EQ \F(6, 5 ) x＋6，直线OC：y＝ EQ \F(3, 4 ) x
可得F（ EQ \F(40, 13 )， EQ \F(30, 13 )），CE＝OF＝ EQ \F(50, 13 )，DE＝CD－CE＝4－ EQ \F(50, 13 )＝ EQ \F(2, 13 )
∴此时点E的坐标为（ EQ \F(2, 13 )，0）
___________．
【答案】4eq \r(,2)
提示：连接AN
由题意，AM＝C'N，∠C'＝∠ACB＝∠CAC'＝30°，AC＝AC'
∴△ACM≌△C'AN，∴CM＝AN
延长AB' 至点A'，使A'B'＝AB'，连接A'N、A'C
A
B′
C′
N
M
C
B
A′
则AN＝A'N，∴CM＋CN＝AN＋CN＝A'N＋CN≥A'C
当A'、N、C三点共线时CM＋CN的值最小
此时A'N＝CN，∴AN＝ EQ \F(1, 2 ) A'C＝CN
∴点N在线段AC的垂直平分线上
∴B'N＝ EQ \F(1, 2 ) AC＝AB＝AB'，∴AN＝eq \r(,2)AB'＝eq \r(,2)AB＝2eq \r(,2)
∴CM＋CN≥A'C＝2AN＝4eq \r(,2)
即CM＋CN的最小值为4eq \r(,2)
2022·贵州遵义·统考中考真题
．
【答案】
【分析】过点作，且，证明，可得，当三点共线时，取得最小值，证明，即可求解．
【详解】如图，过点作，且，连接，如图1所示，
，
又，
，
，
，
当三点共线时，取得最小值，
此时如图2所示，
在等腰直角三角形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，，
，
，
即取得最小值时，CM的长为，
故答案为：．
2023·日照·二模
．
【答案】/
【分析】如图：过点C作使，连接；证可得，；将最小值可转化成最小值，则当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度；；再根据求得、，即；再运用待定系数法求得直线表达式，最后将代入表达式求得x的值即可解答．
【详解】解：如图：过点C作使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴最小值可转化成最小值，
当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度；
∵，
∴，
∴
设表达式为:，由题意可得：
，
解得：，
∴表达式为:，
将代入得: ，
解得：，
∴D点坐标为．
故答案为：．
2023·咸阳·二模
．
【答案】
【分析】由“”可证，可得，则的最小值为，由勾股定理可求解．
【详解】解：过点C作，并截取，连接，设交于点E，
∵，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为，
如图，过点B作于F，

∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
2023·深圳中学联考
（ ）
【答案】A
【分析】取，则,证明得出，进而证明，即可证明，得出，则当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，取，则,连接，

∵，，
∴点在以为圆心为半径的圆上运动，点在以为圆心为半径的圆上运动，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
又，，
∴，
∴，
当时，则当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
在中，
．
解：过B作BF∥AC，在平行线上取BF＝AB，连接EF，如图：
∴∠EBF＝∠A，
∵BF＝AB，BE＝AD，
∴△BEF≌△ADB（SAS）， ∴EF＝BD， ∴BD+CE＝EF+CE，
当C，E，F共线时，EF+CE最小，即BD+CE最小，最小值即为CF的长度，
∵BF∥AC，∠ACB＝90°，
∴∠FBC＝90°，
∴CF＝＝，
∴BD+CE最小为， 故答案为：．
．
【答案】
【详解】解：如图，BC的下方作∠CBT＝30°，在BT上截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ADC＝30°，
∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE，
∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET，
∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，
∴AT＝＝，∴AE+AF＝AE+ET，∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥，
∴AE+AF的最小值为，故答案为．
2023·甘肃武威中考真题拆解
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，由题意得，，连接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为．
2023·黄冈中考真题拆解
连接．
【答案】，
【分析】①作，且使，连接．根据证明，可得，即Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，设，则，根据求出点Q的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；
②作轴，交于点T，求出解析式，设，，利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解．
【详解】解：①如图2，作，且使，连接．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，，
∴；

②如图3，作轴，交于点T，待定系数法可求解析式为，
设，，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．

题型三 构造相似求加权线段和
2023年成都市天府新区二模
最小值为 ．
【答案】
【分析】过作于，使，连接、，即可得到，，即最小值为的长．
【详解】方法一：过作于，使，连接、，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当三点共线时有最小值，最小值为的长
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴的最小值为
方法二：，则，，
∴，
设，
∴
∴可以看成点到点和的距离之和，
∴当、、三点共线时最小，最小值
为________
【答案】
解：作CF⊥CB，且使得CF=6，连接EF
过点A做AG⊥CF，交FC延长线于点G
∵=2 ，
∴△FCE∽△CBD，EF=2CD
∴AE+2CD=AE+EF
当A、E、F三点一线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF
易知：四边形ABCG为正方形 AG=3,CG=3
FG=9 在Rt△FAG中，由勾股定理得 AF=
AE+2CD的最小值为
为 。
【答案】
【解答】解：如图，连接AC，过点C作CT⊥CA，使得CT＝AD＝1，连接AT．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠ADB＝∠ADC＝30°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝1，
∵AC⊥CT，
∴∠ECT＝30°，
∴∠ADF＝∠ECT，
∵CE＝DF，CT＝DA，
∴△ADF≌△TCE（SAS），
∴AF＝ET，
∴AE+AF＝AE+ET≥AT，
∵∠ACT＝90°，AC＝CT＝1，
∴AT＝＝＝，
∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值为．
是 。
【答案】
【解答】解：连接DF，延长AB到T，使得BT＝AB，连接DT．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC∥AD，
∴tan∠DBA＝＝，∠ADE＝∠DBF，
∴∠DBA＝30°，
∴BD＝2AD，
∵BF＝2DE，
∴＝＝2，
∴△DBF∽△ADE，
∴＝＝2，
∴DF＝2AE，
∴AF+2AE＝AF+DF，
∵FB⊥AT，BA＝BT，
∴FA＝FT，
∴AF+2AE＝DF+FT≥DT，
∵DT＝＝
∴AF+2AE≥，
∴AF+2AE的最小值为
值.
【答案】
解：作BF⊥BC 并且使得BF=2，连接EF
∵=== ∴△BEF∽△ADC
∴EF= CD ∴AE+CD=AE+EF
当A、E、F三点共线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF
反向延长BF，过点A作AH⊥BF于点H
在Rt△AHF中，由勾股定理易得：AF=
∴AE+CD的最小值为
2022·广州中考真题（7种解法）
BD ．
【答案】(1)；(2)最小值为12
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s= S△ABD - S△DEF ，作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°==，
∴BD=2BO=；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD=；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN=BE
∵，
∴MN=，
设BE=，则EN=，
∴EM=MN-EN=，
∵S菱形ABCD= AD▪MN=，
∴S△ABD= S菱形ABCD=，
∵BE=DF，
∴DF=，
∴S△DEF=DF ▪EM= =，
记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S△ABD - S△DEF =-（），
∵点E在BD上，且不在端点，∴0作CH⊥AD于H，如图，
∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，
∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；
在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，
∵，∴当，即BE=时， s达到最小值，
∵BE=DF，∴DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，
∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，
∴CE+CF的值达到最小，其最小值为CO+CH==12．
【其它几何构造方法】
法2：核心是处理，刚好有，还有CE和CF两个动点需要拼一起，所以考虑把△CDF放大倍后拼到BE处
过B作CE＋＝CE
法3：过D作DG⊥CD，取△DGF∽△BCE
则
法4：先把DF放大倍，再把△CBE拼过来，延长CD到G使CG＝BD，作GH∥AD交CF于H，作GO⊥CG且，下略
法5：CE对称转化为AE，过B作BI⊥AB，BI＝BD＝AB⇒△CDF∽△IBE
由于对称性，CE＝AE，所以拼在上面也可以~这个算凑数吧
法6：先把DF放大倍，再把△CBE拼过来
延长DC到G使作交AD于H
作DO⊥DC，且DO＝AB＝6⇒△CDF∽△GDH，
⇒△DOH≌△BCE，CE＝OH
则有
法7：先把BE缩小放大倍到IH，再把△CDF拼过来
在BC上取，过H作HI∥BD交CE于I，作HG⊥BC，则HG＝AB⇒△CIH∽△CEB，BE＝HI，HI＝DF⇒△CDF≌△GHI⇒CF＝GH
故
2023·湖北黄石中考拆解
．
【答案】．
【分析】作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解．
【详解】解：作，

设，
，
且相似比为，
则，
故当、、共线时，为最小，
在中，设边上的高为，
则，
即，解得：，
则，则，
过点作轴于点，则，即点的纵坐标为：，
同理可得，点的横坐标为：，即点，
由点、的坐标得，，
即的最小值为．
题型四 取到最小值时对其它量进行计算
．
【答案】105°
【分析】解：如图，作，使，连接交于点F，连接,则.可证，从而得证，于是，.当点N与点F重合时，取最小值．于是．
【详解】解：如图，作，使，连接交于点F，连接,
∵是等边三角形，
∴，.
∴，
∴，
∵，
∴.
∴.
又∵，
∴.
∴.
∴.
当点N与点F重合时，,取最小值，则取最小值．
此时，．
故答案为：

如图CN＝ ．
【答案】
【分析】过点B作BDAC，使BD＝BC＝2，连接AD与BC交于点，连接DM，可证得，得到BN＝DM，AM+BN＝AM+DM，则有当A、M、D在同一直线上时，即M在点位置时，即有，利用BDAC，证得，得到，设CN＝BM′＝x，则CM′＝2﹣x，再利用已知的线段长度即可求出x，即问题得解．
【详解】过点B作BDAC，使BD＝BC＝2，连接AD与BC交于点，连接DM，如图：
在△CBN与△BDM中，
，
∴，
∴BN＝DM，
∴AM+BN＝AM+DM，
∴当A、M、D在同一直线上时，即M在点位置时，AM+BN最小为AD，
此时，
∵BDAC，
∴，
∴，
∵∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴，
设CN＝BM′＝x，则CM′＝2﹣x，
∴，解得x
如 ．

【答案】30°
解：过点C作CD⊥BC，取CD＝AB，连接BD，
∵△ABC是等边三角形，AH是BC边上的高，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠BAH＝30°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠BAH＝∠ACD，
在△ABP和△CDQ中，
，∴△ABP≌△CDQ（SAS），∴BP＝DQ，∠CQD＝∠APB，
∴当B、Q、D共线时，PB+QB最小，连接BD交AC于Q，
∴∠APB＝∠AQB，∴∠PBQ＝∠QAH＝30°，故答案为：30°．
________

【答案】（0，4）
解：由题意A（0，），B（﹣3，0），C（3，0），∴AB＝AC＝8，
取点F（3，8），连接CF，EF，BF．
∵C（3，0），∴CF∥OA，∴∠ECF＝∠CAO，
∵AB＝AC，AO⊥BC，∴∠CAO＝∠BAD，∴∠BAD＝∠ECF，
∵CF＝AB＝8，AD＝EC，
∴△ECF≌△DAB（SAS），∴BD＝EF，∴BD+BE＝BE+EF，
∵BE+EF≥BF，∴BD+BE的最小值为线段BF的长，
∴当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，
∵直线BF的解析式为：y＝x+4，
∴H（0，4），∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4）
湖北武汉·中考真题
．
【答案】
【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值．
【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2
∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值
由题意可得：CD=,AE=
∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和
∴当这三点共线时，AE+CD最小
设该直线的解析式为y=kx+b
解得
∴
当y=0时，x=．