2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 题型八 几何计算题 （含答案）

这是一份2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 题型八 几何计算题 （含答案），共11页。试卷主要包含了几何计算题等内容，欢迎下载使用。
类型一 求线段长
典例精讲
例 如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为______________________________________．
【思维教练】本题的关键条件是∠A＝2∠CBE，遇到二倍角，考虑构造等腰三角形，但∠A和∠CBE不在一个三角形中，故先过点C作CH∥AB交BD延长线于点H，将∠A和∠CBE转移到△CBH中，再延长BH使BD＝DF，得到等腰△CBF.
例题图
满分技法
在几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下添加辅助线的方法进行求解：
1. 作二倍角的平分线，构造一个等腰三角形．
如图①，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，△DBC是等腰三角形．
2. 延长二倍角的一边，构造两个等腰三角形．
如图②，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，可延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形．
3. 利用等腰三角形再构造一个二倍角，与原二倍角构造在一个新的等腰三角形中．
如图③，在△ABC中，∠B＝2∠C，可在BC边上取一点D，使DA＝DC，连接AD，则△ABD，△ADC都是等腰三角形．
针对演练
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，延长CE交AB于点F，则BF的长为________．
第1题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为BC的中点，将线段CD绕点D按顺时针方向旋转90°得到线段ED，连接CE并延长交AB于点F，则线段EF的长为________.
第2题图
3. 如图，在△ABC中，点D、E在BC上，∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝45°，BD＝2，EC＝3，则BC的长为________．
第3题图
类型二 线段最值问题(含取值范围)
典例精讲
例 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝6，BD⊥CD于点D，则线段AC长度的最大值为________．
【思维教练】由BC＝6，BD⊥CD，根据“定弦定角模型”可知点D在以BC为直径的圆上运动；由AB＝AD，∠BAD＝60°可知△ABD是等边三角形，即点A可看作是点D绕点B逆时针旋转60°而来，从而点A的轨迹是将点D的运动轨迹逆时针旋转60°，要求AC的最大值，即是求点圆最值．
例题图
针对演练
1. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，BD垂直平分AC，且AC＝4，BD＝6，点M在BD上，点N在AD上，连接AM，MN，则AM＋MN的最小值为________．
第1题图
2. 如图，四边形ABCD中，AB＝1，CD＝4，M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN的取值范围为________．
第2题图
类型三 面积问题
典例精讲
例 在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸
片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是________.
【思维教练】要求正方形的内接三角形面积最大和面积最小时的边长，由题意可知正三角形必有两顶点在正方形的一组对边上，可过另一顶点作正三角形的高，再结合正方形中存在90°角，结合四点共圆即可求解．
针对演练
1. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2eq \r(3)，点E、F分别是AD、CD的中点，若四边形ABCD的面积为4eq \r(3)，则△BEF的面积为________．
第1题图
2. 如图，⊙O的半径为2，正方形ABCD内接于⊙O，点P是⊙O上一点，连接AP、BP，则△ABP面积的最大值为________．
第2题图
类型四 轨迹问题
典例精讲
例 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是________．
【思维教练】在直角三角形DEF中，∠DFE＝30°，∴在整个运动过程中∠EDF始终等于60°，即DE可看作DF逆时针旋转60°，然后缩短为原来的eq \f(1,2)，∴点E的运动轨迹也就是点F的运动轨迹逆时针旋转60°后缩短为原来的eq \f(1,2).

例题图
针对演练
1. 如图，在△ABC中，∠B＝30°， AB＝AC＝eq \r(3)，点D在AB上运动，将△BCD沿CD折叠，得到点B的对应点B′，E为B′C的中点，则点D从点B运动到点A的过程中，点E运动的路径长为________．
第1题图
2. 如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连接BE，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，则eq \f(m,n)＝________．
第2题图
参考答案
类型一 求线段长
典例精讲
例 4eq \r(5) 【解析】如解图，延长BD到点F，使得DF＝BD, ∵CD⊥BF，∴△BCF是等腰三角形，∴BC＝CF.过点C作CH∥AB，交BF于点H，∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，∴EH＝CE，∵EA＝EB，∴AC＝BH，∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，∴HF＝HC，∵BD＝8，AC＝11，∴DH＝BH－BD＝AC－BD＝3，∴HC＝HF＝8－3＝5，由勾股定理可得，在Rt△CDH中，CD＝4，在Rt△BCD中，BC＝4eq \r(5).
例题解图
针对演练
1. eq \f(4\r(2),3) 【解析】方法1：如解图①，过点D作DG∥AB交CF于点G，∵D是BC的中点，∴CD＝2，∴在Rt△ACD中，AD＝eq \r(AC2＋CD2)＝2eq \r(5).∵∠ECD＋∠CDE＝∠CDE＋∠CAD＝90°，∴∠ECD＝∠CAD.∵∠CED＝∠ACD＝90°，∴△CED∽△ACD，∴eq \f(CE,AC)＝eq \f(DE,CD)＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(2,2\r(5))，∴CE＝eq \f(4\r(5),5)，DE＝eq \f(2\r(5),5)，∴AE＝AD－DE＝eq \f(8\r(5),5)，∴eq \f(DE,AE)＝eq \f(1,4).∵DG∥AB，∴△DEG∽△AEF，∴eq \f(AF,DG)＝eq \f(AE,DE)＝4，即AF＝4DG.∵DG∥BF，D是BC的中点，∴BF＝2DG，∴AF＝2BF，∴BF＝eq \f(1,3)AB＝eq \f(4\r(2),3).
第1题解图①
一题多解
方法2：如解图②，延长AD至点G，使得DG＝ED，连接BG，∵ED＝GD，∠EDC＝∠GDB，CD＝BD，∴△CED≌△BGD，∴∠ECD＝∠GBD，∴CF∥BG，即EF∥BG，∴△AEF∽△AGB，∴eq \f(AF,AB)＝eq \f(AE,AG)，由方法1，得eq \f(DE,AE)＝eq \f(1,4)，即AE＝4DE，∴AE＝2EG，∴eq \f(AE,AG)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(AF,AB)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(BF,AB)＝eq \f(1,3)，∴BF＝eq \f(1,3)AB＝eq \f(4\r(2),3).
第1题解图②
方法3：如解图③，过点B作BG∥AD交CF的延长线于点G，则△AEF∽△BGF，∵D是BC的中点，DE∥BG，∴BG＝2DE，由方法1，eq \f(DE,AE)＝eq \f(1,4)，得即AE＝4DE，∴AE＝2BG，∴eq \f(AF,BF)＝eq \f(AE,BG)＝2，∴BF＝eq \f(1,3)AB＝eq \f(4\r(2),3).
第1题解图③
2. eq \f(3\r(2),14) 【解析】如解图，延长DE交AB于点G，由题意得，DG∥AC，∵点D为BC的中点，AC＝4，∴DG＝eq \f(1,2)AC＝2.又∵DE＝DC＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(3,2)，∴EG＝DG－DE＝2－eq \f(3,2)＝eq \f(1,2).在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE＝eq \r(2)CD＝eq \f(3\r(2),2).∵DG∥AC，∴△EFG∽△CFA，∴eq \f(EG,CA)＝eq \f(EF,CF)，即eq \f(\f(1,2),4)＝eq \f(EF,EF＋\f(3\r(2),2))，解得EF＝eq \f(3\r(2),14)，∴EF的长为eq \f(3\r(2),14).
第2题解图
3. 6 【解析】如解图，取BE的中点M、DC的中点N，连接AM、AN，则AM＝BM，AN＝CN，∴∠BAM＝∠B，∠CAN＝∠C.∵∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝45°，∴∠BAC＝135°，∴∠B＋∠C＝45°，∴∠BAM＋∠CAN＝45°，∴∠MAN＝90°，设DE＝x，则BE＝x＋2，DC＝x＋3，AM＝eq \f(1,2)(x＋2)，AN＝eq \f(1,2)(x＋3)，∴MN＝ME＋EN＝eq \f(1,2)(x＋2)＋eq \f(1,2)(x＋3)－x＝eq \f(5,2)，在Rt△AMN中，AM2＋AN2＝MN2.∴(x＋2)2＋(x＋3)2＝52，解得x＝1或x＝－6(舍去)，∴BC＝2＋1＋3＝6.
第3题解图
类型二 线段最值问题(含取值范围)
典例精讲
例 3＋3eq \r(3) 【解析】如解图，∵BC＝6，∠BDC＝90°，∴点D在以BC中点O为圆心，3为半径的圆上．∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BA＝BD，∴点A在以O′为圆心，3为半径的圆上，且∠O′BC＝60°，∴O′B＝BO＝3.∵∠OCO′＝30°，∴CO′＝3eq \r(3)，∴CA的最大值为3＋3eq \r(3).
例题解图
针对演练
1. eq \f(8\r(5),5) 【解析】如解图，连接CM、CN，CN交BD于点M′，设AC、BD相交于点O，∵BD垂直平分AC，∴AM＝CM，OA＝OC＝2.又∵∠ABC＝90°，∴OB＝eq \f(1,2)AC＝2，∴OD＝4，∴AM＋MN＝CM＋MN，∴当点C、M、N三点共线，且 CN⊥AD时，CM＋MN的值最小，即AM＋MN的值最小，为CN的值．在Rt△AOD中，AD＝eq \r(OA2＋OD2)＝2eq \r(5)，易证△ANC∽△AOD，则eq \f(CN,DO)＝eq \f(AC,AD)，即eq \f(CN,4)＝eq \f(4,2\r(5))，∴CN＝eq \f(8\r(5),5)，∴AM＋MN的最小值为eq \f(8\r(5),5).
第1题解图
2. eq \f(3,2)＜MN≤eq \f(5,2) 【解析】如解图，连接AC，取AC的中点H，连接MH、NH，∵M、H分别是AD、AC的中点，∴MH＝eq \f(1,2)CD＝2，同理可得，NH＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2).在△MHN中，MH－NH＜MN＜MH＋NH，即eq \f(3,2)＜MN＜eq \f(5,2).当点H在MN上时，MN＝MH＋NH＝eq \f(5,2)，∴eq \f(3,2)＜MN≤eq \f(5,2).
第2题解图
类型三 面积问题
典例精讲
例 2eq \r(6)－2eq \r(2)，2 【解析】如解图，设△GEF为正方形ABCD的一个内接正三角形，作正△GEF的高EK，连接KA，KD，∵∠EKG＝∠EDG＝90°，∴E、K、D、G四点共圆，∴∠KDE＝∠KGE＝60°，同理∠KAE＝60°，∴△KAD是一个正三角形，则K必为一个定点．∵正三角形面积取决于它的边长，∴当FG⊥AB，边长FG最小，面积也最小，此时边长等于正方形边长为2.当FG过B点时，即F′与点B重合时，边长最大，面积也最大，此时作KH⊥BC于点H，由等边三角形的性质可知，K为FG的中点，∵KH∥CD，∴KH为△F′CG′的中位线，∴CG′＝2HK＝2(EH－EK)＝2×(2－2×sin60°)＝4－2eq \r(3)，∴F′G′＝eq \r(BC2＋CG′2)＝eq \r(22＋（4－2\r(3)）2)＝eq \r(（2\r(6)－2\r(2)）2)＝2eq \r(6)－2eq \r(2).
例题解图
针对演练
1. eq \f(3\r(3),2) 【解析】如解图，连接BD，在△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2eq \r(3)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).∵四边形ABCD的面积为4eq \r(3)，∴S△ADC＝2eq \r(3).∵E为AD的中点，F为DC的中点，∴S△ABE＝S△DBE，S△CFB＝S△DFB，∴S四边形EBFD＝S△EBD＋S△FBD＝eq \f(1,2)S四边形ABCD＝2eq \r(3)，∵E、F分别为AD、CD的中点，∴EF＝eq \f(1,2)AC，EF∥AC，∴eq \f(S△DEF,S△DAC)＝eq \f(1,4).∴S△DEF＝eq \f(1,4)S△ADC＝eq \f(1,4)×2eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2)，∴S△BEF＝S四边形EBFD－S△DEF＝2eq \r(3)－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
第1题解图
2. 2eq \r(2)＋2 【解析】如解图，过点P作PH⊥AB于点H，过点O作OH′⊥AB于点H′，连接OP，AC，则PH≤OP＋OH′，当点H′、O、P三点共线，PH最大，最大值为OH′＋OP的值．∵正方形ABCD内接于⊙O，∴点O在AC上，OA＝2，∠BAC＝45°，∴AH′＝OH′＝OA·sin45°＝eq \r(2)，∴OP＋OH′＝2＋eq \r(2)，AB＝2AH′＝2eq \r(2).∴PH的最大值为2＋eq \r(2).∴S△ABP的最大值为eq \f(1,2)AB·PH＝eq \r(2)PH＝2eq \r(2)＋2，∴当PH最大时，△ABP的面积最大，最大值为2eq \r(2)＋2.
第2题解图
类型四 轨迹问题
典例精讲
例 eq \f(4\r(3),3) 【解析】如解图，点E的运动路径是线段EE′的长．∵AB＝4，∠DCA＝30°，∴BC＝eq \f(4\r(3),3)，当点F与点A重合时，在Rt△ADE中，AD＝eq \f(4\r(3),3)，∠DAE＝30°，∠ADE＝60°，∴DE＝eq \f(2\r(3),3)，∠CDE＝30°，当F与点C重合时，∠E′DC＝60°，∴∠EDE′＝90°，∠DE′E＝30°，在Rt△DEE′中，EE′＝eq \f(4\r(3),3)，∴点E的运动路径长是eq \f(4\r(3),3).
例题解图
针对演练
1. eq \f(π,2) 【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，当点D运动到点A时，点B′运动到点F，点E运动到点E′.∵∠B＝30°，AB＝AC＝eq \r(3)，∴CH＝AB·cs∠ABC＝eq \f(3,2)，∴CE＝CH＝eq \f(3,2)，∴点E的轨迹为以点C为圆心，CH长为半径的一段圆弧，由折叠的性质可得，∠BCF＝2∠ACB＝60°，∴点E运动的路径长为eq \f(60π×\f(3,2),180)＝eq \f(π,2).
第1题解图
2. eq \f(\r(2),2) 【解析】如解图，在AC上取一点T，使得AT＝AB，连接BT，TM，取BT的中点J，连接NJ.∵△ABT，△BEM都是等腰直角三角形，∴BT＝eq \r(2)AB，BM＝eq \r(2)BE，∠ABT＝∠EBM＝45°，∴eq \f(AB,BT)＝eq \f(BE,BM)，∠ABE＝∠TBM，∴△ABE∽△TBM，∴eq \f(AE,TM)＝eq \f(AB,TB)＝eq \f(\r(2),2)，∠AEB＝∠TMB.∵∠AEB＋∠BET＝180°.∴∠BMT＋∠BET＝180°，∴∠EBM＋∠ETM＝180°，∵∠EBM＝∠ETB＝45°，∴∠ETM＝∠BET＝135°，∠BTM＝90°.∵BJ＝JT，BN＝NM，∴NJ∥TM，NJ＝eq \f(1,2)TM，∴∠BJN＝∠BTM＝90°，∴点N的运动轨迹是线段JN，JN＝eq \f(1,2)TM＝eq \f(\r(2),2)AE，∵点E从A运动到C时，AE＝AC＝n，∴m＝eq \f(\r(2),2)n，∴eq \f(m,n)＝eq \f(\r(2),2).
第2题解图