2024成都中考数学二轮复习专题 B填翻折问题专项训练（含答案）

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题 B填翻折问题专项训练（含答案），共74页。

课中讲解
一. 三角形、矩形中的翻折
内容讲解
例1. 如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到△的位置，交于点．若△为直角三角形，则的长为 ．
过关检测
1. 如图，已知中，，，是线段上一点（不与，重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，延长与的延长线交于点．若是直角三角形，则的长为 ．
例2. 如图，在等腰中，，的顶点是的中点，且，现将绕点旋转一周，在旋转过程中，当的两边、分别交直线于点、，把沿折叠，点落在点处，连接，若，则的长为 ．
过关检测
1. 如图，在正方形中，，点是的中点，连接，将沿折叠至，连接，延长和交于点，与交于点，则 ．
例3. 在中，，，为边上一点，连接，过作于点，是边上的中点，连接，点是边上一点，将沿翻折．点落在点，若，，则 ．
过关检测
1. 如图，已知四边形是矩形，把矩形沿直线折叠，点落在点处，连接．若，则的值为 ．
例4. 如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合不与端点，重合），点落在点处，折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，的周长为，则的值为 ．
过关检测
1. 如图，在矩形中，，，点在边上不与，重合），连接，把沿直线折叠，点落在点处，当为直角三角形时，则的周长为 ．
例5. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是边的中点，则的面积是 ．
过关检测
1. 如图，在等腰直角三角形中，，在内一点，已知，将以直线为对称轴翻折，使点与点重合，与交于点，连结，将的面积记为，将的面积记为，则的值为 ．
例6. 如图，矩形中，，，点是边上一点，且，点是边上的任意一点，把沿翻折，点的对应点为，连接，，则四边形的面积的最小值为 ．
过关检测
1. 如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是上一动点．将沿直线折叠，点落在点处．在上任取一点，连接，，’，则的周长的最小值为 ．
例7. 如图，矩形中，，，是边上一点，将沿直线折叠得到，的延长线交边于点，则的最大值为 ．
过关检测
1. 如图，点是矩形的对角线的交点，，，直线经过点，分别与边，相交于点，（其中．现将四边形沿直线折叠得到四边形，点，的对应点分别为，，过作于点，则线段的长的最大值是 ，此时折痕的长为 ．
例8. 如图在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的值为 ．
过关检测
1. 如图，已知在中，，，、两点分别在边、上，将沿着直线翻折，点正好落在边上的点处，并且，设，那么的正切值是 （用含的代数式表示）
二. 函数中的翻折
内容讲解
例1. 如图，点为双曲线上一动点，连接并延长到点，使，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点．当时，连接，将沿直线进行翻折，则翻折后的△与四边形的重叠部分（图中阴影部分）的面积是 ．
例2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，，，点是边上一个动点，过点的反比例函数与边交于点．若将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则此时反比例函数的解析式是 ．
过关检测
1. 如图1，点在第一象限，轴于点连结，将折叠，使点落在轴上，折痕交边于点，交斜边于点．
（1）若点的坐标为，当时点的坐标是 ．
（2）若与原点重合，，双曲线的图象恰好经过，两点（如图，则 ．
三. 圆中的翻折
内容讲解
例1. 如图，等腰中，．，以为直径在另一侧作半圆，圆心为，点为半圆上的动点，将半圆沿所在直线翻叠，翻折后的弧与直径交点为，当弧与边相切时，的长为 ．
例2. 如图，四边形内接于以为直径的，，，，与相交于点，将沿翻折，得到，连接交于，则长为 ．
过关检测
1. 如图，内接于．为的直径，，，、分别是边、上的两个动点（不与端点、、重合），将沿折叠，点的对应点恰好落在线段上（包含端点、，若为等腰三角形，则的长为 ．
学习任务
1. 如图，矩形纸片中，，．将纸片折叠，使顶点与边上的点重合，折痕分别与、交于点、，与交于点．当的外接圆与相切于的中点．则折痕的长为 ．
2. 如图①，在等腰三角形中，，．如图②，在底边上取一点，连结，使得．如图③，将沿着所在直线折叠，使得点落在点处，连结，得到四边形．则的长是 ．
3. 如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上，如图2所示，然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上，如图3所示，则线段的长度为 ．
4. 如图，把矩形沿，折叠，使点，落在上同一点处，，△的面积是，△的面积是，则矩形的面积等于 ． ．
5. 如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是 ．
6. 如图，矩形纸片中，，为边上一点，先沿折叠纸片，点落在矩形内部处，再沿折叠纸片，使点落在边上处（不与点重合），当、、三点在一条直线上，则的长的最小值为 ．
7. 如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接，，延长交于点；为线段上一动点．有如下结论：
①；②；③是等边三角形；④若是的中点，则；⑤若为线段上任意一点，的周长的最小值是6，
其中正确结论的序号是 ．
8. 已知一个矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处；，分别交于，，若，则的值为 ．
9. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是的中点，则（1） ；（2） ．
10. 在正方形中，边长为2，如图1，点为边的中点，将边沿折叠到，点为边上一点，将边沿折叠恰能使与重合．
（1） ；
（2）如图2，延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，则 ．

11. 如图， 矩形的边，分别在轴、轴上， 点在第一象限， 点在边上， 且，四边形与四边形关于直线对称 （点和，和分别对应）。若，反比例函数的图象恰好经过点，，则的值为 ．
12. 将一张圆形纸片，进行了如下连续操作
（1）将圆形纸片左右对折，折痕为，如图（2）所示
（2）将圆形纸片上下折叠，使、两点重合，折痕与相交于，如图（3）所示
（3）将圆形纸片沿折叠，使、两点重合，折痕与相交于，如图（4）所示
（4）连结、，如图（5）所示，则 ．
2024成都中考数学二轮复习专题 B填翻折问题专项训练（学生版）
目标层级图
本节内容
本节内容为几何综合翻折问题的专题，题型为B填22-23，都是从近年成都一诊二诊及模拟题中选出的B填，难度较大，综合性较强，建议给135分以上的学生使用。建议老师提前一周刷本节讲义。本节内容将翻折问题分为了三角形四边形中的翻折、函数中的翻折以及圆中的翻折。三角形与四边形中的翻折是考得最多的，例题有按照难度梯度设置，并且还可细分为求线段长、求比例、求周长、求面积、求三角函数等。在反比例中的翻折与圆中的翻折题目较少，如果学生对反比例函数和圆存在知识点上的问题，可以在反比例函数B填和圆的专题中找出更多的题目练习。讲解此类几何综合专题时一定要及时给学生复习和补充相关知识，比如相似三角形相关知识、三角函数相关知识等。
课中讲解
一. 三角形、矩形中的翻折
内容讲解
例1. 如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到△的位置，交于点．若△为直角三角形，则的长为 3或 ．
【分析】利用三角函数的定义得到，，再利用折叠的性质得，，，设，则，，讨论：当时，则，则，于是在△中利用得到，解方程求出得到此时的长；若不落在点处，作于，连接，如图，证明得到，再计算出，则，，接着利用勾股定理得到，方程求出得到此时的长．
【解答】解：，，，
，
，
，
点是的中点，沿所在直线把翻折到△的位置，交于点
，，，
设，则，，
当时，
在中，，
，
，
在△中，，
，
即，解得，此时为3；
若不落在点处，作于，连接，如图，
，，
，
，
，
，
在中，，，
在中，，
，解得，此时为．
综上所述，的长为3或．
故答案为3或．
过关检测
1. 如图，已知中，，，是线段上一点（不与，重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，延长与的延长线交于点．若是直角三角形，则的长为 或 ．
【分析】如图1，当时，根据折叠的性质得到，推出点在以为圆心，为半径的圆上，连接，根据等腰直角三角形的性质得到结论；如图2，当，根据折叠的性质得到，，推出和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：，，
，
如图1，当时，
将沿翻折，使点落在点处，
，
，
，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
连接，
，
，
；
如图2，当，
将沿翻折，使点落在点处，
，，
，
，
，和是等腰直角三角形，
，
，
，
综上所述，若是直角三角形，则的长为或，
故答案为：或．
例2. 如图，在等腰中，，的顶点是的中点，且，现将绕点旋转一周，在旋转过程中，当的两边、分别交直线于点、，把沿折叠，点落在点处，连接，若，则的长为 或或 ．
【分析】分三种情形：①如图1中，当点在线段上，点在的延长线上时，连接，作于，设，．②如图2中，当点在线段上，点在上时，连接，作于，设，．③如图3中，当点在线段的延长线上，点在线段上时，连接，作于，设，．首先证明，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可．
【解答】解：①如图1中，当点在线段上，点在的延长线上时，连接，作于，设，．
，，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
解得或（舍弃），
．
②如图2中，当点在线段上，点在上时，连接，作于，设，．
同法可得：，
解得（舍弃）或，
．
③如图3中，当点在线段的延长线上，点在线段上时，连接，作于，设，．
同法可得：，
解得或（舍弃），
，
综上所述，满足条件的的值为或或．
故答案为或或．
过关检测
1. 如图，在正方形中，，点是的中点，连接，将沿折叠至，连接，延长和交于点，与交于点，则 ．
【分析】过点作，交于，交于，通过证明，可得，可得，，可求的长，即可求，，的长，由平行线分线段成比例可得，，，的长．
【解答】解：过点作，交于，交于，
，，
四边形是矩形，
，，
将沿折叠至，
，，，
，且，
，且，
，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
例3. 在中，，，为边上一点，连接，过作于点，是边上的中点，连接，点是边上一点，将沿翻折．点落在点，若，，则 ．
【分析】如图，作交于．首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程求出，再证明即可解决问题．
【解答】解：如图，作交于．
，
，
，，，
，，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，设，
在中，则有：，
解得或（舍弃），
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
故答案为．
过关检测
1. 如图，已知四边形是矩形，把矩形沿直线折叠，点落在点处，连接．若，则的值为 ．
【分析】根据翻折的性质可得，再根据矩形的对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，设与相交于，根据等角对等边的性质可得，再求出，从而得到和相似，根据相似三角形对应边成比例求出，设，，在中，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对边相等求出，然后代入进行计算即可得解．
【解答】解：矩形沿直线折叠，点落在点处，
，，
矩形的对边，
，
，
设与相交于，则，
，
即，
，
又，
，
，
设，，则，
在中，，
又，
．
故答案为：．
例4. 如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合不与端点，重合），点落在点处，折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，的周长为，则的值为 ．
【分析】由折叠的性质可得，，，通过证明，可得，，通过证明，可得，即可求解．
【解答】解：连接、，作于．
由折叠的性质可得：，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
的周长，的周长为，
四边形的周长，
故答案为：
过关检测
1. 如图，在矩形中，，，点在边上不与，重合），连接，把沿直线折叠，点落在点处，当为直角三角形时，则的周长为 12或 ．
【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得，，，分，两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求的周长．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
折叠
，，
若，且，
四边形是矩形，且
四边形是正方形，
，
的周长，
若，且
点，点，点三点共线，
在中，，
的周长
故答案为：12或
例5. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是边的中点，则的面积是 ．
【分析】如图1，过作，根据全等三角形对应边相等证明，是等腰直角三角形，利用勾理计算，如图2，由平行相似证明，列比例式可得的长，从而得的长，分别求出，，的面积，由面积的和差关系可求解．
【解答】解：如图1，过作，交于，交于，连接，
，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，，，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，是的中点，
，
，
，，
，
，
如图2，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，且，
，
，
，
，
将沿翻折，得到，
，，，
，
，
，
的面积，
的面积，
故答案为：．
过关检测
1. 如图，在等腰直角三角形中，，在内一点，已知，将以直线为对称轴翻折，使点与点重合，与交于点，连结，将的面积记为，将的面积记为，则的值为 ．
【分析】首先证明，，再证明，都是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，连接．
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
同法可知：，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
，
故答案为．
例6. 如图，矩形中，，，点是边上一点，且，点是边上的任意一点，把沿翻折，点的对应点为，连接，，则四边形的面积的最小值为 ．
【分析】根据矩形中，，，可得，由可得点是边上的任意位置时，点始终在的下方，设点到的距离为，要使四边形的面积的最小，即最小．所以点在以点为圆心，为半径的圆上，且在矩形的内部．过点作，交圆于点，此时最小．根据锐角三角函数先求得的值，再分别求得三角形和三角形的面积即可得结论．
【解答】解：如图，
在矩形中，，，
，
连接，
，
，，
点是边上的任意位置时，点始终在的下方，
设点到的距离为，
，
．
要使四边形的面积的最小，
即最小．
点在以点为圆心，为半径的圆上，且在矩形的内部．
过点作，交圆于点，此时最小．
在中，，
在中，，
，
解得，
，
．
．
故答案为：．
过关检测
1. 如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是上一动点．将沿直线折叠，点落在点处．在上任取一点，连接，，’，则的周长的最小值为 ．
【分析】如图，当点固定时，连接交于，连接，此时的周长最小，最小值．当最小时，的周长最小，求出的最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，当点固定时，连接交于，连接，此时△的周长最小，最小值．
四边形是矩形，
，，，
，
△的周长的最小值，
当最小时，的周长最小，
，
，
，
，
的最小值为，
的周长的最小值为，
故答案为：．
例7. 如图，矩形中，，，是边上一点，将沿直线折叠得到，的延长线交边于点，则的最大值为 2 ．
【分析】如图，以点为圆心，长为半径画弧，过点作弧的切线交于点，切点为，此时点和点重合，的最大值即为的长．再根据矩形性质和勾股定理即可求出的长．
【解答】解：如图，以点为圆心，长为半径画弧，
过点作弧的切线交于点，切点为，
此时点和点重合，
的最大值即为的长．
，
，
根据翻折可知：
，
，
则，
在中，根据勾股定理，得
，
则，
在中，根据勾股定理，得
，
解得．
则的最大值为2．
故答案为：2．
过关检测
1. 如图，点是矩形的对角线的交点，，，直线经过点，分别与边，相交于点，（其中．现将四边形沿直线折叠得到四边形，点，的对应点分别为，，过作于点，则线段的长的最大值是 ，此时折痕的长为 ．
【分析】如图，连接，．由题意，推出点的运动轨迹是弧，当时，的值最大，设，在中，根据，构建方程求出即可解决问题．
【解答】解：如图，连接，．
四边形是矩形，
，，，
，
，
点的运动轨迹是弧，
当时，的值最大，
，，
，
，
的最大值，
设，
在中，，
，
解得，
，
．
故答案为：，．
例8. 如图在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的值为 ．
【分析】过点作于点，连接交于点，连接，．根据菱形的性质得到，，，求得，根据线段中点的定义得到解直角三角形得到，求得，根据勾股定理得到，，由折叠的性质得到，，于是得到结论．
【解答】解：如图：过点作于点，连接交于点，连接，．
四边形是菱形，，，
，
，，
，
点是中点，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
在中，
由折叠的性质的，，，
，
故答案为：．
过关检测
1. 如图，已知在中，，，、两点分别在边、上，将沿着直线翻折，点正好落在边上的点处，并且，设，那么的正切值是 （用含的代数式表示）
【分析】作于，于，连接、、，先依据等腰三角形的性质求得，然后依据平行线分线段成比例定理可求得的长，从而可得到的长，则，再在中，由勾股定理可求得的长，最后依据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：作于，于，连接、、，如图所示：
，，，
，
，
，
，
，即，
解得：，
，
，
由翻折的性质可知，
在中，依据勾股定理可知：，
；
故答案为：．
二. 函数中的翻折
内容讲解
例1. 如图，点为双曲线上一动点，连接并延长到点，使，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点．当时，连接，将沿直线进行翻折，则翻折后的△与四边形的重叠部分（图中阴影部分）的面积是 ．
【分析】连接，，根据折叠性质得四边形为菱形，进而得，，由反比例函数的比例系数的几何意义和相似三角形的性质求出，，的面积，进而结合边的比例关系求出的面积，最后便可求得阴影部分面积．
【解答】解：连接，，则，
，
，将沿直线进行翻折得△，
，
四边形为菱形，
，，
轴，
轴，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
例2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，，，点是边上一个动点，过点的反比例函数与边交于点．若将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则此时反比例函数的解析式是 ．
【分析】设，，，求得，，得到，，根据三角函数的定义得到，求得，根据平行线的判定定理得到，连接，根据折叠的性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，于是得到结论．
【解答】解：四边形是矩形，，，
，，
，
设，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
连接，
将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，
，
，
，
，
反比例函数的解析式是，
故答案为：．
过关检测
1. 如图1，点在第一象限，轴于点连结，将折叠，使点落在轴上，折痕交边于点，交斜边于点．
（1）若点的坐标为，当时点的坐标是 ， ．
（2）若与原点重合，，双曲线的图象恰好经过，两点（如图，则 ．
【分析】（1）由轴，点的坐标为，可求得的长，又由，由三角函数与折叠的性质，可得，则可求得与的长，然后由勾股定理求得的长，即可求得答案；
（2）首先设点的坐标为：，由与原点重合，点的坐标为：，又由双曲线的图象恰好经过、两点，可得，点的坐标为：，即可得在中，，即①，在中，，即②，联立求解即可求得答案．
【解答】解：（1）轴，点的坐标为，
，，
，
，
轴，
，
由折叠的性质可得：，
，
，，
，
点的坐标是：，；
故答案为，；
（2）设点的坐标为：，
与原点重合，
点的坐标为：，
双曲线的图象恰好经过、两点，
，
点的坐标为：，
，，，
由折叠的性质可得：，
在中，，
即①，
在中，，
即②，
联立①②得：，，
．
故答案为：．
三. 圆中的翻折
内容讲解
例1. 如图，等腰中，．，以为直径在另一侧作半圆，圆心为，点为半圆上的动点，将半圆沿所在直线翻叠，翻折后的弧与直径交点为，当弧与边相切时，的长为 ．
【分析】作点关于的对称点，连接，延长交于点，设与相切于点，证明四边形为平行四边形，得，即，作于，在△中，，，可求得的长，进而得出的长．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，
．，
，
，
延长交于点，
是的直径，
，
设与相切于点，则，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
，
作于
，，
，
．
故答案为：．
例2. 如图，四边形内接于以为直径的，，，，与相交于点，将沿翻折，得到，连接交于，则长为 ．
【分析】根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据角平分线的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，得到，求得，过作于，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：为的直径，
，
，，
，
，
，
过作于，于，
，
，
，
将沿翻折，得到，
，
，
，
，
，
，
，，
过作于，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
过关检测
1. 如图，内接于．为的直径，，，、分别是边、上的两个动点（不与端点、、重合），将沿折叠，点的对应点恰好落在线段上（包含端点、，若为等腰三角形，则的长为 或或 ．
【分析】根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，①当时，设，根据相似三角形的性质得到；②当时，则；③当时，如图2，过作于，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：为的直径，
，
，，
，
将沿折叠，点的对应点恰好落在线段上，
，，
若为等腰三角形，
①当时，设，
则，
如图1，过作于，
则，
，，
，
，
，
解得：，
；
②当时，则；
③当时，如图2，过作于，
，
，
设，
，，
，，
，
，
，（不合题意舍去），
，
故答案为：或或．
学习任务
1. 如图，矩形纸片中，，．将纸片折叠，使顶点与边上的点重合，折痕分别与、交于点、，与交于点．当的外接圆与相切于的中点．则折痕的长为 ．
【分析】连接并延长交于，得到，设，则，表示出、，在中，利用勾股定理可解出，继而可得出折痕的长度．
【解答】解：连接并延长交于，
是直角三角形，是斜边，点是的中点，的外接圆与相切于点，
，，
，
点是的中点，点是线段的中点，
，
设，则，
在矩形中，，
故为的外接圆的直径．
延长交于点，则，
四边形是矩形，
，
，
的外接圆与相切，
是的外接圆的半径，
，，
在中，，
，
得，，
，
，
解得：，
．
故折痕的长是．
2. 如图①，在等腰三角形中，，．如图②，在底边上取一点，连结，使得．如图③，将沿着所在直线折叠，使得点落在点处，连结，得到四边形．则的长是 ．
【分析】只要证明，得，只要求出、即可解决问题．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，即，
，，
，
、、、四点共圆，
，，
，
，
．
故答案为：．
3. 如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上，如图2所示，然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上，如图3所示，则线段的长度为 5 ．
【分析】设，则可表示出、、，利用折叠的性质可得到，在中，利用勾股定理可求得，再利用，可求得、和．
【解答】解：如图，过点作，分别交、于点、，
四边形为矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
和为等腰直角三角形，且，
设，则，，，
又由折叠的可知，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
，，，
又，
，
，且，
，
，即，
，，
故答案为5．
4. 如图，把矩形沿，折叠，使点，落在上同一点处，，△的面积是，△的面积是，则矩形的面积等于 ． ．
【分析】由翻折可得，所以得，可以证明△△，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求得，再根据△的面积是可求，从而，再根据勾股定理求得的长，进而求得、，所以得，最后求得矩形的面积．
【解答】解：由翻折可知：
，，
，
，
，
，
△△，
，
，，，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
，
，
，
，
，
．
，
．
故答案为：．
5. 如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是 ．
【分析】延长交于，得到时，点到的距离最小，根据相似三角形的性质求出，根据折叠的性质，计算即可．
【解答】解：如图，延长交于，当时，点到的距离最小，
，，，
，
，，
，
，即，
解得，，
由折叠的性质可知，，
，
故答案为：．
6. 如图，矩形纸片中，，为边上一点，先沿折叠纸片，点落在矩形内部处，再沿折叠纸片，使点落在边上处（不与点重合），当、、三点在一条直线上，则的长的最小值为 ．
【分析】如图，作于．设，则易知，设，在中，，可得，推出，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作于．设，
，
，
，
，
，
，设，
在中，，
，
，，，
，
的最小值为．
故答案为．
7. 如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接，，延长交于点；为线段上一动点．有如下结论：
①；②；③是等边三角形；④若是的中点，则；⑤若为线段上任意一点，的周长的最小值是6，
其中正确结论的序号是 ①③ ．
【分析】①首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，即可判断出；
②首先根据，，求出；然后在中，根据，求出的大小即可；
③根据，，推得，即可推得是等边三角形；
④根据垂直的定义和点的不确定性质进行判断；
⑤当时，，若离上很近时，一定接近2，一定会存在的情形，由此进行判断．
【解答】解：①如图1，连接，
垂直平分，
，
根据折叠的性质，可得
，
．
为等边三角形．
，
即结论①正确；
②，，
，
，
即结论②不正确；
③，，
，
，
，
，
为等边三角形，
即结论③正确；
④为上的动点，
当与与的交点重合时，，
当不与与的交点重合时，与就不重合，
故结论④错误；
⑤当时，，
若离上很近时，一定接近2，
一定会存在的情形，
故⑤的结论错误．
故答案为：①③．
8. 已知一个矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处；，分别交于，，若，则的值为 ．
【分析】设，，根据折叠的对称性可得．证明△，△，则和均可用表示，所以在中，、也可用表示出来，再用勾股定理可求值，最后在中求解．
【解答】解：设，则．
根据折叠的对称性可知，．
在△和中，
△．
．
．
在△和中，
，
△．
．
．
在中，，
即，解得．
．
在中，，
则．
．
故答案为．
9. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是的中点，则（1） ；（2） ．
【分析】（1）如图，过作，，根据正方形的性质得到，推出四边形是正方形，根据全等三角形的性质得到，，且，设，则，根据勾股定理得到，，根据相似三角形的性质得到，过作，过作，过作，根据勾股定理得到结论；
（2）推出在正方形对角线上，过作，过作，则，根据平行线分线段成比例定理得到，求得，于是得到结论．
【解答】解：（1）将沿翻折，得到，
，
四边形是正方形，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，，
，
，
，
过作，过作，过作，
则易证全等，
，，
，，
即，
在正方形对角线上，
过作，则，
设，
，
，
解得，
所以，
为的中点，
是的中点，
，
，
，
，
故答案为：，．
10. 在正方形中，边长为2，如图1，点为边的中点，将边沿折叠到，点为边上一点，将边沿折叠恰能使与重合．
（1） ；
（2）如图2，延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，则 ．
【分析】（1）设，则，由正方形的性质得出，，由点为边的中点，得出，由折叠的性质得出，，则，在中，由勾股定理列出方程即可得出结果；
（2）延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，由折叠性质得，，，则，得出为等腰直角三角形，由勾股定理求出，证得，由证得，得出，推出，，则是的中位线，得出，即可得出结果．
【解答】解：（1）设，则，
四边形是正方形，
，，
点为边的中点，
，
由折叠的性质得：，，
则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即；
故答案为：；
（2）延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，如图2所示：
由折叠性质得：，，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
在和中，，
，
，
点为边的中点，
，
四边形是正方形，
，
，
是的中位线，
，
，
故答案为：．
11. 如图， 矩形的边，分别在轴、轴上， 点在第一象限， 点在边上， 且，四边形与四边形关于直线对称 （点和，和分别对应） ． 若，反比例函数的图象恰好经过点，，则的值为 ．
【分析】设，得到，根据轴对称的性质得到，，求得，过作于，解直角三角形得到，，列方程即可得到结论 ．
【解答】解：四边形是矩形，，
设，
，
四边形与四边形关于直线对称，
，，
，
过作于，
，，
，，
反比例函数的图象恰好经过点，，
，
，
．
故答案为：．
12. 将一张圆形纸片，进行了如下连续操作
（1）将圆形纸片左右对折，折痕为，如图（2）所示
（2）将圆形纸片上下折叠，使、两点重合，折痕与相交于，如图（3）所示
（3）将圆形纸片沿折叠，使、两点重合，折痕与相交于，如图（4）所示
（4）连结、，如图（5）所示，则 ．
【分析】由折叠的性质可得，证得，再根据垂径定理可得垂直平分，再求出，从而得到、互相垂直平分，连接，求出，再求出，根据等边对等角求出，由三角形的外角性质求出，得到，同理求出，判定是等边三角形，设圆的半径为，求出，，然后求出、，再根据三角形的面积公式与圆的公式列式整理即可得出结果．
【解答】解：纸片上下折叠、两点重合，
，
纸片沿折叠，、两点重合，
，
，
，
根据垂径定理，垂直平分，
又纸片沿折叠，、两点重合，
，
、互相垂直平分，
连接，如图所示：
则，
，
，
又（都是半径），
，
，
，
同理可求，
，
是等边三角形，设圆的半径为，则，，
，，
；
故答案为：．