广西“贵百河”2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)

这是一份广西“贵百河”2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设复数z满足，则( )
A.B.2C.D.3
2．下列说法错误的是( )
A.B.，都是单位向量，则
C.若，则D.零向量方向任意
3．设，为两个非零向量，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．在中，若，，，则( )
A.B.C.D.
5．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，，则
6．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边b的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，，.则此直三棱柱的体积是( )
A.B.C.D.
8．已知O为锐角内部一点，且满足，已知，若，则实数( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形.已知，，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.四边形ABCD的周长为D.四边形ABCD的面积为
10．如图，在正方体中，点P在线段上运动时，下列命题正确的是( )
A.三棱锥的体积为定值
B.直线AP与平面所成角的大小不变
C.直线AP与直线垂直
D.二面角的大小不变
11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的有( )
A.为定值
B.当时，为定值
C.的最大值为12
D.的取值范围是
三、填空题
12．已知向量，，若，则______.
13．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________.
14．已知D,E分别为的边,上的点,线段和相交于点P,若,且,,其中,,则的最小值为______________.
四、解答题
15．已知复数，，其中i是虚数单位，.
（1）若为纯虚数，求m的值；
（2）若，求的取值范围.
16．在平面直角坐标系中，已知向量，，向量与间的夹角为.
（1）求在方向上的投影向量的坐标；
（2）求的值；
（3）若向量与夹角为钝角，求的取值范围.
17．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，E，F分别是BC，的中点，是边长为2的等边三角形，.
（1）证明：；
（2）求点C到平面AEF的距离.
18．在锐角中，a，b，c分别为作A，B，C的对边，且.
（1）求角C的大小；
（2）求的取值范围.
19．如图所示正四棱锥，，，P为侧棱SD上的点，且.求：
（1）正四棱锥的表面积；
（2）若M为SA的中点，求平面BMD与平面ABCD所成的二面角的余弦值；
（3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：，，
，，则.故选：A.
2．答案：C
解析：对于A，，A正确，对于B，，是单位向量，则，B正确，对于C，向量有大小和方向，不可以比较大小，故C错误，对于D，零向量是模长为0，方向任意的向量，D正确，故选：C
3．答案：A
解析：因为，所以，同向共线，所以，因为，所以，同向共线，此时不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A
4．答案：D
解析：，
5．答案：C
解析：对于A，只能得到n垂直于平面内与m平行的直线，故A错误；
对于B，由面面垂直的性质定理得当时，，当时，m与不垂直，故B错误；
对于C，由线面平行的性质定理知C正确；
对于D，只有当m，n为异面直线时，，故D错误.故选C.
6．答案：B
解析：由，得，所以
7．答案：D
解析：设.因为，所以.于是（r是外接圆的半径），.又球心到平面ABC的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为.所以球的表面积为，解得.因此.于是直三棱柱的体积是.故选D
8．答案：B
解析：因为，所以O是的外心。设外接圆的半径为R，，
，
，，
，即
，
即，故，
故，故，故答案为：.
9．答案：CD
解析：如图过作交于点E，
由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，即，故B错误；还原平面图如下图，则，，，故A错误；过C作交AB于点，则，由勾股定理得，故四边形ABCD的周长为：，即C正确.；四边形ABCD的面积为：，即D正确.故选：CD.
10．答案：ACD
解析：平面，上任意一点到平面的距离相等，所以体积不变，A选项正确；
B.与平面相交，所以直线AP与平面所成角的大小在变，B选项错误；
C.平面，，C选项正确；
D.二面角也就是二面角大小不变，D选项正确；
11．答案：ABD
解析：如图，设直线PO与圆O交于E，F，对于A，
，
A选项正确；对于B，时，，，则，B选项正确；
对于C，圆O的半径为2，则，，，
因AC，BD不能同时过圆心，故不能取等号，，C选项错误；
对于D，取AC的中点为M，连接OM，
，
而，的取值范围是，D选项正确.故选：ABD
12．答案：
解析：
由可得，，解得
13．答案：
解析：易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则，所以，所以，所以，所以内切球的体积，即该圆锥内半径最大的球的体积为.
14．答案：
解析：如图：
因为,所以,又,所以,
,所以,
,
又P,B,E三点共线,所以,
所以,,当且仅当时,
即,时,等号成立,
故答案为：.
15．答案：（1）；（2）
解析：（1）因为为纯虚数，所以，
解得.
（2）由，得.
因此.
因为，所以当时，；
当时，，
故的取值范围是.
16．答案：（1）；（2）；（3）
解析：（1）由题设知所以在方向上投影向量的坐标为
（2）因为，
所以.
（3）因为向量与夹角为钝角，且与不能共线
所以，
即，所以，解得.
又与不能共线，若与反向共线，则.
综上，实数的取值范围是
17．答案：（1）答案见解析；（2）
解析：（1）是等边三角形，且E是BC中点
面ABC，面ABC，
面，面，且，面
面，
（2）；
在中，，；
取中点G，在中，
AE边上的高为；
；
设点C到平面AEF的距离为h，
则，
解得，即点C到平面AEF的距离为.
方法2：建系法
（1）取的中点G，则面ABC，可知EG，EA，EC两两垂直，
如图以EC为x轴，EA为y轴，EG为z轴；，，，；
，
，，
（2），，，，
设面AEF的法向量为
；
设点C到面AEF的距离为d，；
18．答案：（1）；（2）
解析：（1）因为，
由正弦定理得：，
又因为
所以，
因为，所以，即，
所以，即
因为，，
所以，即；
（2）由（1）及余弦定理得
因为，
在锐角中，，解得，
所以，所以，
由对勾函数的性质可得，所以.
19．答案：（1）8；（2）；
（3）在侧棱SC存在点E，使得平面PAC，
解析：（1）在正四棱锥中，，，
则正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的表面积为；
（2）如图，连接BD交AC于点O，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点，
在正四棱锥中，，，
当M为SA的中点时，有，
又四边形ABCD是正方形，
即为平面BMD与平面ABCD所成的二面角的平面角
又为AC的中点，M为SA的中点，，且，
易得，
所以平面BMD与平面ABCD所成的二面角的余弦值为
（3）在侧棱SC上存在点E，使得平面PAC，满足
理由如下：取SD的中点Q，由，得，
过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE，中，有，
又平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，
由，得，所以
又平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，
又，BQ，平面BEQ，所以平面平面PAC，
而平面BEQ，所以平面PAC
方法二：（1）同法一；
（2）建系法，如图连接BD，AC交于点O，连接OS，可知OS，OB，OE两两垂直
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系；
，，，，，，
易知面ABCD的法向量为，
设面BMD的法向量为，，，，
所以平面BMD与平面ABCD所成的二面角的余弦值为.
（3）假设PC上存在E点满足，使得面PAC
，，
设面PAC法向量为，，，
，
若面PAC，则，
，即，解得；
所以，在E点满足，使得面PAC