2024年河南省TOP二十名校高考数学质检试卷（二）（含详细答案解析）

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这是一份2024年河南省TOP二十名校高考数学质检试卷（二）（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−1A. (−2,1)B. (−1,1)C. [1,2)D. (1,+∞)
2.已知复数z满足(1−2i)z−=2+i，则|z|=( )
A. 15B. 55C. 1D. 5
3.已知向量a=(3,3)，b=(x,−3)，则“(a+b)⊥b”是“x=−3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.中国传统文化博大精深，源远流长，其中我国古代建筑文化更是传统文化中一颗璀璨之星，在古代建筑中台基是指建筑物底部高出室外地面的部分，通常由台阶，月台，栏杆，台明四部分组成，某地的国家二级文化保护遗址一玉皇阁，其台基可近似看作上、下底面边长分别为2m，4m，侧棱长为3m的正四棱台，则该四棱台的体积约为( )
A. 28 73m3B. 12 2m3C. 13m3D. 25m3
5.在直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为F(c,0)(c>0)，A是C上一点，且AF⊥x轴，若直线OA的斜率为2，则C的离心率为( )
A. 3−1B. 2−1C. 33D. 5−12
6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，nSn+1=(n+1)Sn+n(n+1)，则a1314=( )
A. 1056B. 1123C. 1315D. 2627
7.若某公司一共有3个食堂，现调研发现员工小王周一去知味餐厅的概率为35，周二去知味餐厅的概率为310，且小王周一不去知味餐厅的条件下周二去知味餐厅的概率是周一去知味餐厅的条件下周二去知味餐厅的概率的2倍，则员工小王周一、周二都去知味餐厅的概率为( )
A. 970B. 910C. 35D. 1315
8.已知a<02，且21a=1a2，eb=(b+1)2，c=2ln2c，则( )
A. b<−a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则( )
A. 这组数据的众数为1B. 这组数据的极差为2
C. 这组数据的平均数为2D. 这组数据的40%分位数为1
10.已知位于第一象限的点(a,b)在曲线1x+1y=1上，则( )
A. (a−1)(b−1)=−1B. ab≥4
C. a+4b≤9D. 1a2+2b2≥23
11.定义函数y=f(x)的曲率函数K(x)=|y′′|[1+(y′)2]32(y′′是y′的导函数)，函数y=f(x)在x=x0处的曲率半径为该点处曲率(K(x0))的倒数，曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是( )
A. 若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小
B. 函数y=sinx在x=π2处的曲率半径为1
C. 若圆C为函数y=lnx的一个曲率圆，则圆C半径的最小值为2
D. 若曲线y=lnx在x1x2(x1≠x2)处的弯曲程度相同，则x1x2<12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在( x+1x2)11的展开式中，x3的系数为______.(填数字)
13.已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)，若关于x的方程f(x)−1=0在区间(0,π)上恰有两个实数根，则ω的取值范围为______.
14.已知A，B为抛物线y2=4x上两点，∠AOB=π4，F为焦点，O为坐标原点，A在第一象限，且点A的纵坐标大于点B的纵坐标，若|AF|−1|BF|−1=94，则点A的坐标为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且sinB+sinC= 3sinAsinC+sinAcsC.
(1)求tanA2；
(2)若a+2 3=b+c，求△ABC面积的最小值.
16.(本小题15分)
近日，欧冠拉开帷幕，引得无数球迷的纷纷关注，成了体育竞技赛事的又一热点，为此某中学组织人员对在校学生“是否热爱踢足球”做了一次随机调查.共随机调查了18名男生和12名女生，调查发现，男、女生中分别有12人和6人喜爱该项运动，其余不喜爱.
(1)根据以上数据完成以下2×2列联表.
依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析性别与喜欢踢足球是否有关？
(2)从被调查的女生中随机抽取3人，若其中喜爱踢足球的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
附:χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AA1=8，BC=6，BC⊥AC，点D在线段AB上.
(1)当AD=12AB时，证明：AC1//平面B1CD；
(2)当BA=3BD时，求直线B1B与平面CDB1所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2−y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的右支上，△AF1F2为等腰三角形且周长为10.
(1)求点A的坐标；
(2)若点P满足cs∠APF2= 154，求△AF2P面积的最大值.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xsinx+csx−a(1+x2)，x∈(0,π].
(1)若a=0，求f(x)的最大值；
(2)若关于x的不等式f(x)≥0有解，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x|−1则A∩B=[1,2).
故选：C.
求出集合B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由(1−2i)z−=2+i，得：|1−2i||z−|=|2+i|，
所以|z−|=1，即|z|=1.
故选：C.
先求出|z−|=1，然后再求|z|=1.
本题考查复数的模长的计算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为a=(3,3)，b=(x,−3)，
所以a+b=(x+3,0)，
若(a+b)⊥b，则(a+b)⋅b=x(x+3)=0，解得x=0，x=−3，故充分性不成立；
若x=−3，则a+b=(0,0)，此时(a+b)⋅b=0，所以(a+b)⊥b，故必要性成立．
故“(a+b)⊥b”是“x=−3”的必要不充分条件．
故选：B.
由平面向量的坐标运算分别判断充分性和必要性是否成立即可．
本题考查平面向量的坐标运算和充要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：某地的国家二级文化保护遗址一玉皇阁，
其台基可近似看作上、下底面边长分别为2m，4m，侧棱长为3m的正四棱台，
∴正四棱台的高为：
h= 32−( 42+422− 22+222)2= 7，
则该四棱台的体积约为：
V=13(22+42+ 22×42)× 7=28 73m3.
故选：A.
先求出正四棱台的高为h= 32−( 42+422− 22+222)2= 7，由此能求出该四棱台的体积．
本题考查正四棱台结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5.【答案】B
【解析】解：在直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为F(c,0)(c>0)，A是C上一点，且AF⊥x轴，
由椭圆的性质可得：|AF|=b2a，
即A(c,b2a)，
又直线OA的斜率为2，
则b2ac=2，
即c2+2ac−a2=0，
即e2+2e−1=0，
又0则e= 2−1，
则C的离心率为 2−1.
故选：B.
由椭圆的性质，结合椭圆离心率的求法求解．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆离心率的求法，属中档题．
6.【答案】D
【解析】解：因为a1=1，nSn+1=(n+1)Sn+n(n+1)，
所以S1=1,Sn+1n+1−Snn=1，
所以数列{Snn}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以Snn=n，所以Sn=n2，
所以a1314=S1314−S1313=13142−13132=2627.
故选：D.
将已知变形得到{Snn}为等差数列，进而求得Snn=n，然后得到Sn=n2，用n≥2时，an=Sn−Sn−1求解．
本题考查数列递推式的应用，属中档题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，设小王周一去知味餐厅为事件A，周二去知味餐厅为事件B，
设周一去知味餐厅的条件下周二去知味餐厅的概率为t，即P(B|A)=t，则周一不去知味餐厅的条件下周二去知味餐厅的概率为2t，即P(B|A−)=2t，
则有P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)=35t+(1−35)2t=310，解可得t=314，
则小王周一、周二都去知味餐厅的概率P(AB)=P(A)P(B|A)=35×314=970.
故选：A.
根据题意，设小王周一去知味餐厅为事件A，周二去知味餐厅为事件B，设P(B|A)=t，则P(B|A−)=2t，由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)=310，解可得t的值，由概率的乘法公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及全概率的计算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：令1a=t<0，则2t=t2，
令f(t)=2t−t2，由基本初等函数单调性可得f(t)在(−∞,0)上单调递增，
且f(−1)=12−1<0,f(−12)=1 2−14>0，∴−1令g(x)=ex−(x+1)2，g′(x)=ex−2(x+1)，g′′(x)=ex−2，
∴g′(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，
g′(ln2)0，
∴存在x0∈(ln2,2)，使g′(x0)=0，且g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
g(x0)0，∴b∈(2,3)，
令h(x)=x−2ln2x，(x>1),h′(x)=1−2x，令h′(x)=0，得x=2，
∴h(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
又因为h(2)=2−2ln4<0，h(4)=4−6ln2<0，h(5)=5−2ln10>0，∴c∈(4,5)，
综上，−a故选：B.
构造函数，根据导数与函数单调性的关系分别求出−a，b，c的范围即可求解．
本题考查了函数的导数的综合应用，属于难题．
9.【答案】ACD
【解析】解：数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4.
对于A，该组数据的众数为1，故A正确；
对于B，极差为4−1=3，故B错误；
对于C，平均数为1×4+2×2+4×28=2，故C正确；
对于D，∵8×40%=3.2，∴这组数据的40%分位数为第4个数1，故D正确．
故选：ACD.
根据众数的定义可判断A的正误，根据极差公式或均值公式或p百分位数计算方法可判断BCD的正误，故可得正确的选项．
本题考查众数，百分位数等统计知识，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：因为位于第一象限的点(a,b)在曲线1x+1y=1上，
所以1a+1b=1，a>0，b>0，
所以ab=a+b，
A：(a−1)(b−1)=ab−(a+b)+1=1，A错误；
B：1=1a+1b≥2 1ab，当且仅当a=b=2时取等号，
所以ab≥4，B正确；
a+4b=(a+4b)(1a+1b)=5+4ba+ab≥5+2 4ba⋅ab=9，当且仅当a=2b，即b=32，a=3时取等号，C错误；
1a2+2b2=(1−1b)2+2b2=3b2−2b+1，
因为1a=1−1b>0，
所以b>1，0<1b<1，
结合二次函数的性质可知，当1b=13，即b=3时，上式取得最小值23，D正确．
故选：BD.
由已知可得1a+1b=1，a>0，b>0，然后结合基本不等式及二次函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，若曲线在各点处的曲率均不为0，显然K(x)≥0，由K(x)≠0知K(x)>0，
由于曲线在x=x0处的曲率为K(x0)，曲率圆的半径为1K(x0)，
所以曲率圆的半径等于曲率的倒数，而曲率大于0，所以曲率越大，曲率圆越小，A正确；
对于B，y=sinx，直接计算知K(x)=|y′|(1+(y′)2)32=|−sinx|(1+(csx)2)32=|sinx|(1+cs2x)32，
所以K(π2)=|sinπ2|(1+cs2π2)32=11=1，
从而函数y=sinx在x=π2处的曲率为1，
从而函数y=sinx在x=π2处的曲率半径为1的倒数，即1，B正确；
对于C，若y=lnx，直接计算知K(x)=|y′|(1+(y′)2)32=|−1x2|(1+(1x)2)32=1x2(1+1x2)32=x(1+x2)32，
这里x>0.所以x处的自率圆半径R(x)=1K(x)=(1+x2)32x，
从而我们有R(x)=1K(x)=(1+x2)32x=(12+12+x2)32x≥(3312⋅12⋅x2)32x=3 3⋅ 12⋅12⋅x2x=3 32>2，
所以圆C的半径一定大于2，不可能以2为最小值，C错误；
时于D.若y=lnx，在C选项的过程中已经计算得知K(x)=x(1+x2)32，
现在如果曲线y=lnx在x1，x2(x1≠x2)处的弯曲程度相同，则K(x1)=K(x2)，
故x1(1+x12)32=x2(1+x22)32，
所以x12(1+x12)3=x22(1+x22)3，即(1+x12)3x12=(1+x22)3x22，
设x12=a，x22=b，则a≠b，a，b>0，
(1+a)3a=(1+b)3b，
将(1+a)3a=(1+b)3b两边展开，
得到a2+3a+3+1a=b2+3b+3+1b，
从而(a2−b2)+3(a−b)+(1a−1b)=0，
故0=(a2−b2)+3(a−b)+(1a−1b)=(a−b)(a+b)+3(a−b)+b−aab=(a−b)((a+b)+3−1ab)，
而a≠b，
故(a+b)+3−1ab=0，
这意味着1ab=a+b+3>2 ab+3，
从而2( ab)3+3( ab)2<1=2(12)3+3(12)2，
定义函数g(x)=2x3+3x2，
则g( ab)由于 ab>0，
函数g(x)=2x3+3x2在(0,+∞)上递增，
故 ab<12，
所以x1x2= x12x22= ab<12，D正确．
故选：ABD.
直接根据倒数的性质即知A正确；直接根据曲率半径的定义计算函数y=sinx在x=π2处的曲率，再取倒数得到曲率半径即可判断B正确；使用三元均值不等式可以证明函数y=lnx的曲率圆的半径一定大2，从而C错误；设x12=a，x22=b，然后将条件转化为关于a，b的等式，再使用基本不等式进行处理，即可证明D正确．
本题考查导数的应用，属于难题．
12.【答案】11
【解析】解：根据( x+1x2)11的展开式Tr+1=C11r⋅x11−r2⋅x−2r=C11r⋅x11−5r2(r=0,1,2,3,,11)，
令r=1时，x3的系数为C111=11.
故答案为：11.
直接利用二项式的展开式和组合数求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数主要考查学生的运算能力，属于中档题．
13.【答案】(2,83]
【解析】解：因为x∈(0,π)，
所以π6<ωx+π6<ωπ+π6，
由题意可得sin(ωx+π6)=12在区间(0,π)上恰有两个实数根，
则13π6<ωπ+π6≤17π6，
解得2<ω≤83，
即ω的取值范围为(2,83].
故答案为：(2,83].
将问题转化为sin(ωx+π6)=12在区间(0,π)上恰有两个实数根，再根据正弦函数的图象与性质列出不等式求解即可．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力了，属于中档题．
14.【答案】(36,12)
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，y1>y2，k1=kOA=y1x1=4y1，k2=kOB=y2x2=4y2，
若|AF|−1|BF|−1=94，则x1+1−1x2+1−1=x1x2=94，即有y12y22=94，即y1y2=±32，
当y1>0，y2>0时，设y1=3t，y2=2t，t>0，
由tanπ4=42t−43t1+166t2，化为3t2−2t+8=0，可得t无解；
当y1>0，y2<0时，设y1=−3t，y2=2t，t<0，
由tanπ4=4−3t−42t1+16−6t2，化为3t2+10t−8=0，可得t=−4(舍去正的)，
即有A(36,12).
故答案为：(36,12).
由抛物线的定义和直线的斜率公式、直线的到角公式，解方程可得所求点的坐标．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及两直线的到角公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为sinB+sinC= 3sinAsinC+sinAcsC，
所以sin(A+C)+sinC= 3sinAsinC+sinAcsC，
所以sinAcsC+csAsinC+sinC= 3sinAsinC+sinAcsC，
因为sinC≠0，所以csA+1= 3sinA，即 3sinA−csA=1，
所以2sin(A−π6)=1，即sin(A−π6)=12，
因为A∈(0,π)，所以A=π3，所以tanA2=tanπ6= 33；
(2)由(1)知，A=π3，
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−3bc，
因为a+2 3=b+c，所以a=b+c−2 3，
所以(b+c)2−4 3(b+c)+12=(b+c)2−3bc，
所以12=4 3(b+c)−3bc≥8 3 bc−3bc，
解得 bc≤2 33或 bc≥2 3，
因为a+2 3=b+c，所以2 3=b+c−a<2b，所以b> 3，
且2 3=c+b−a<2c，所以c> 3，所以bc>3，所以bc≥12，
所以S△ABC=12bcsinA≥12×12× 32=3 3，
所以△ABC面积的最小值为3 3.
【解析】(1)由三角恒等变换知识结合A的取值范围求出A，从而求得tanA2；
(2)由余弦定理和基本不等式变形可得12≥8 3bc−3bc，解出bc的取值范围，再由三角形的面积计算即可求得．
本题考查利用三角恒等变换知识，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
16.【答案】解：(1)2×2列联表如下：
零假设H0为：性别与喜欢踢足球无关，
χ2=30×(12×6−6×6)218×12×18×12=56≈0.833<6.635，
故依据小概率值α=0.01的独立性检验，可得性别与喜欢踢足球无关；
(2)ξ的可能取值为0、1、2、3，
则P(ξ=0)=C63C123=111,P(ξ=1)=C62C61C123=922，
P(ξ=2)=C61C62C123=922,P(ξ=3)=C63C123=111，
故其分布列为：
其期望为：E(ξ)=0×111+1×922+2×922+3×111=32.
【解析】(1)由题意可列出2×2列联表，计算出卡方后与6.635比较即可得；
(2)ξ的可能取值为0、1、2、3，借助超几何分布的概率公式计算即可得其分布列，即可得其期望．
本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望计算，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AA1=8，BC=6，BC⊥AC，
由题意建立以C为坐标原点O，以CB，CA，CC1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，B(6,0,0)，A(0,8,0)，B1(6,0,8)，
C1(0,0,8)，
则AC1=(0,−8,8)，
因为AD=12AB时，即D为AB的中点，即D(3,4,0)，
设平面CDB1的法向量为n=(x1,y1,z1)，
CD=(3,4,0)，CB1=(6,0,8)，
则n⋅CD=0n⋅CB1=0，即3x1+4y1=06x1+8z1=0，
令x1=4，则n=(4,−3,−3)，
所以n⋅AC1=4×0+(−3)×(−8)+(−3)×8=0，
即n⊥AC1，
AC1⊄平面CDB1，
所以AC1//平面CDB1；
(2)解：当BA=3BD时，可得D(4,83,0)，
CD=(4,83,0)，CB1=(6,0,8)，BB1=(0,0,8)，
设平面CDB1的法向量m=(x2,y2,z2)，
则m⋅CD=0m⋅CB1=0，即4x2+83y2=06x2+8z2=0，
令z2=3，则m=(−4,6,3)，
设直线B1B与平面CDB1所成角为θ，θ∈[0,π2]，
则m⋅BB1=−4×0+6×0+3×8=24，|m|= (−4)2+62+32= 61，|BB1|=8，
所以cs=n⋅BB1|n|⋅|BB1|=24 61×8=3 6161，
则sinθ=|cs|=3 6161.
【解析】(1)由题意建立空间直角坐标系，可得点的坐标，求出平面平面CDB1的法向量为n的坐标，求出n⋅AC1=0，
可证得AC1//平面B1CD；
(2)求出平面CDB1的法向量m的坐标，求出cs的值，进而求出直线B1B与平面CDB1所成角的正弦值．
本题考查用空间向量的方法证明线面平行及线面所成的角的正弦值的求法，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由双曲线的方程知双曲线半长轴长a=1，
半短轴长b= 3，故半焦距c= a2+b2=2，
所以F1(−2,0)，F2(2,0)，
然后由△AF1F2的周长为10，
所以10=|AF1|+|AF2|+|F1F2|=|AF1|+|AF2|+2c=|AF1|+|AF2|+4，
所以|AF1|+|AF2|=6，
再由双曲线的定义及点A在双曲线C的右支上，知|AF1|−|AF2|=2a=2，
故|AF1|=12(|AF1|+|AF2|)+12(|AF1|−|AF2|)=3+1=4，
|AF2|=12(|AF1|+|AF2|)−12(|AF1|−|AF2|)=3−1=2，
设点A的坐标是(x,y)，
则16=|AF1|2=(x+2)2+y2=x2+y2+4x+4，4=|AF2|2=(x−2)2+y2=x2+y2−4x+4，
两式相减，知8x=12，所以x=32，
而4=x2+y2−4x+4，故y2=4x−x2=6−94=154，
所以y= 152或y=− 152，
当点A的坐标是(32, 152)或(32,− 152)时，
由32>0,(32)2−( 152)23=94−54=1，知A在双曲线右支上，
此时有|AF1|= (x+2)2+y2= (32+2)2+( 152)2= 494+154=4，
|AF2|= (x−2)2+y2= (32−2)2+( 152)2= 14+154=2，
故|AF1|=4=2c=|F1F2|，|AF1|+|AF2|+|F1F2|=4+2+4=10，
所以△AF1F2为等腰三角形，且周长为10，
综上，点A的坐标是(32, 152)或(32,− 152)；
(2)设|PA|=p，|PF2|=q，△AF2P的面积为S，
在△AF2P中由余弦定理，
得4=|AF2|2=|PA|2+|PF2|2−2|PA||PF2|cs∠APF2=p2+q2− 152pq，
所以p2+q2− 152pq=4，
从而有4=p2+q2− 152pq=(p−q)2+(2− 152)pq≥(2− 152)pq，
故pq≤42− 152=84− 15=8(4+ 15)，
而S=12pqsin∠APF2=12pq 1−(cs∠APF2)2=12pq 1−1516=18pq，
所以S=18pq≤4+ 15，
由于2( 5+ 3)+2( 5+ 3)=4( 5+ 3)>2=|AF2|，
故可选取一个合适的点P，使得|PA|=|PF2|=2( 5+ 3)，
所以cs∠APF2=|PA|2+|PF2|2−|AF2|22|PA|⋅|PF2|=4( 5+ 3)2+4( 5+ 3)2−48( 5+ 3)2
=1−12( 5+ 3)2=1−( 5− 3)28=1−8−2 158= 154，故满足条件，
此时，p=q=2( 5+ 3)，
故S=18pq=18⋅4( 5+ 3)2=12(8+2 15)=4+ 15，
综上，△AF2P的面积的最大值是4+ 15.
【解析】(1)直接根据双曲线的定义和△AF1F2的周长即可解出|AF1|和|AF2|，进而确定A的坐标．值得注意的是，尽管我们不需要使用△AF1F2为等腰三角形的条件就能求出A的坐标，但我们在求出后必须验证所求的A的坐标满足该条件，以保证所求的A的坐标的确符合题意，从逻辑上排除无解的可能；
(2)通过余弦定理研究|PA|和|PF2|之间的关系，然后通过等式的变形证明△AF2P的面积不超过4+ 15，再给出取到4+ 15的例子即可得到最大值为4+ 15.
本题考查了双曲线的性质及直线与双曲线的位置关系的综合应用，属于难题．
19.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=xsinx+csx，所以f′(x)=xcsx，
当x∈(0,π2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(π2,π]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
故f(x)的最大值为f(π2)=π2；
(2)f′(x)=x(csx−2a)，
当2a≤−1，即a≤−12时，f′(x)≥0，f(x)在x∈(0,π]单调递增，
所以f(π)=−1−a(1+π2)≥0即可，故a≤−11+π2，此时a≤−12，
当2a≥1，即a≥12时，f′(x)≤0，f(x)在x∈(0,π]单调递减，
所以f(0)=1−a>0即可，故a<1，此时12≤a<1，
当−12当x∈(0,x0)，则csx>2a，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(x0,π)，则csx<2a，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x0)=x0sinx0+csx0−a(1+x02)=x0sinx0+12csx0−x022csx0，
令h(x)=xsinx+12csx−x22csx,x∈(0,π],
则h′(x)=12sinx+x22sinx>0，
所以h(x)在x∈(0,π]上单调递增，故h(x)>h(0)=12，即f(x)≥0成立，
综上，实数a的取值范围(−∞,1).
【解析】(1)利用导数判断函数的单调性，求解函数最值；
(2)含参数的不等式恒等问题，分类讨论，利用函数的导数判断单调性，进而分析函数的范围，求得参数范围．
本题考查了导数的综合应用，属于难题．喜欢踢足球
不喜欢踢足球
合计
男
女
合计
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.01
x0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜欢踢足球
不喜欢踢足球
合计
男
12
6
18
女
6
6
12
合计
18
12
30
ξ
0
1
2
3
P
111
922
922
111

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