山东省实验中学2024届高三第二次模拟考试数学试题

这是一份山东省实验中学2024届高三第二次模拟考试数学试题，共9页。试卷主要包含了05，椭圆的焦点坐标是，若是周期为的奇函数，则可以是，在中，为边的中点，，则等内容，欢迎下载使用。

数学试题
2024.05
说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.椭圆的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.若是周期为的奇函数，则可以是（ ）
A. B. C. D.
4.已知正方体分别是的中点，则（ ）
A.平面
B.平面
C.平面
D平面
5.在中，为边的中点，，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）
A. B.3 C. D.2
7.已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（ ）
A.63 B.64 C.71 D.72
8.质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知方程在复数范围内有个根，且这个根在复平面内对应的点等分单位圆.下列复数是方程的根的是（ ）
A.1 B. C. D.
10.某景点工作人员记录了国庆假期七天该景点接待的旅游团数量.已知这组数据均为整数，中位数为18，唯一众数为20，极差为5，则（ ）
A.该组数据的第80百分位数是20
B.该组数据的平均数大于18
C.该组数据中最大数字为20
D.将该组数据从小到大排列，第二个数字是17
11.对于具有相同定义域的函数和，若存在函数（为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”.下列选项中的函数定义域均为，其中，曲线和存在“分渐近线”的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中常数项是__________.
13.将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲､乙两个圆锥的侧面，甲､乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________.
14.已知函数，若实数满足，则的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在三棱锥中，均为等边三角形，为的中点，为的中点，平面.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
16.（15分）
如图，已知平面四边形中，.
（1）若四点共圆，求；
（2）求四边形面积的最大值.
17.（15分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）设是的两个极值点，是的一个零点，且.是否存在实数，使得按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求；若不存在，说明理由.
18.（17分）
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球.
（1）求再打2球该局比赛结束的概率；
（2）两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望；
（3）若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率.
19.（17分）
已知点是双曲线上一点，在点处的切线与轴交于点.
（1）求双曲线的方程及点的坐标；
（2）过且斜率非负的直线与的左､右支分别交于.过做垂直于轴交于（当位于左顶点时认为与重合）.为圆上任意一点，求四边形的面积的最小值.
山东省实验中学2024届高三第二次模拟考试数学
参考答案
2024.05
一､选择题
二､多选题
三､填空题
12.14 13. 14..
四､解答题
15.【解】（1）因为平面，且平面，所以，
因为为等边三角形，且为的中点，所以，
又因为为的中点，
所以，所以，所以，
所以是正三角形，所以.
（2）以为坐标原点，直线为轴，过点且与平行的直线为轴，直线为轴建立的空间直角坐标系如图所示：
设，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
所以.
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
所以.
设二面角的平面角为，则.
所以二面角的正弦值.
16.【解】（1）在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
因为四点共圆，所以，因此，
上述两式相加得：，得.
（2）由（1）得：，
化简得，①
四边形的面积
，
整理得，②
①②两边分别平方然后相加得：，
由于，当且仅当时，
取得最小值-1，
此时四边形的面积最大，由，得，
故四边形面积的最大值为.
17.【解】（1）当时，，
故，
又，所以曲线在点处的切线方程为.
（2），
由于，故，
所以的两个极值点为，
不妨设，
因为，且是的一个零点，故.
人因为，
，
此时依次成等差数列，
所以存在实数满足题意，且.
18.【解】（1）10：10平后，设事件“第个球甲得分”，
则“第个球乙得分”，设“再打两球该局比赛结束”，则，所以.
（2）的可能取值为所有正偶数，
考虑第个球与第个球，如果这两球均由甲得分或均由乙得分，则比赛结束：如果这两球甲､乙各得1分，则比赛相当于重新开始；这两球甲､乙各得1
分的概率为，
所以
，
，
……
，
……
所以，
记，
则，
以上两式相减得
，
所以，
当时，，所以.
（3）设再打个球比赛结束且甲获胜的概率为，
则，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以该局比赛甲获胜的概率
当时，，
所以该局比赛甲获胜的概率为.
19.【解】（1）由题意可知，，即，
故的方程为：.
因为在第一象限，不妨设，则可变形为，则，代入得：，
所以切线方程为，
令得.所以点坐标为.
（2）显然直线的斜率存在且不为，
设，则，
联立方程，整理得：，
，
由三点共线得：，即，
整理得：，
所以，
整理得，
满足，所以直线过定点.
所以
，
当且仅当时等号成立.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
C
D
D
C
B
题号
9
10
11
答案
ACD
AC
BD