河南省南阳市2023-2024学年高一下学期5月阶段检测考试数学试题

这是一份河南省南阳市2023-2024学年高一下学期5月阶段检测考试数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，函数是，已知，，且，，则，下列各式中，计算结果为的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一、二章占35%，第三章至第五章占65%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（ ）
A.B.C.D.
2.已知是第二象限角，且，则（ ）
A.B.C.D.
3.在中，是的中点，在上，且，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知复数是关于的一元二次方程（，）的一个根，则（ ）
A.B.C.19D.31
5.函数是（ ）
A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数
6.（ ）
A.B.1C.D.
7.某数学兴趣小组成员为测量某塔的高度，在该塔的底部点的同一水平面上的，两处进行测量.如图，已知在处测得塔顶的仰角为45°，在处测得塔顶的仰角为30°，，，米，则该塔的高度（ ）
A.15米B.米C.30米D.米
8.已知，，且，，则（ ）
A.或B.或C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列各式中，计算结果为的是（ ）
A.B.
C.D.
10.已知，是两个不同的非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则或D.若，则
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.是偶函数
B.的图象关于点中心对称
C.方程在上的所有解的和是
D.若，对任意的，，，恒成立，则的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，若，则______.
13.已知，则______.
14.已知复数，（），且，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.（13分）
已知复数（）.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
16.（15分）
已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
17.（15分）
在中，角，，的对边分别是，，，且.
（1）证明：.
（2）若，求的取值范围，
18.（17分）
已知复数（，，且），且是实数.
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）求的最小值.
19.（17分）
已知函数.
（1）若，求的最大值及对应的的取值集合；
（2）若对任意的，，恒成立，求的取值范围.
南阳地区2024年春季高一年级阶段检测考试卷
数学参考答案
1. A .
2. B 由题意可得，则.
3. D 因为是的中点，所以.
因为，所以，
则.
4. C 由题意可得，，则.
5. C 因为，
所以是最小正周期为的偶函数.
6. B
.
7. A 设米，则米，米.
在中，由余弦定理可得，
即，解得.
8. D 因为，，所以，
所以，.
因为，所以，所以.
因为，所以.
因为，所以，
则，
故（）.
因为，所以.
因为，所以.
因为，所以，
所以，所以.
9. BD 因为
，所以A错误.
因为，
所以，
所以，所以B正确.
因为，所以，所以C错误.
因为，所以D正确.
10. ABD 设，（，，，，且，不同时为0，，不同时为0），则，，.由，
得，则，故A正确.由，得，，，故B正确.
当，时，满足，此时，且，则C错误.
由，得，则，即，故D正确.
11. ACD 由题意可得.
则，从而是偶函数，故A正确.
由（），得（），则图象的对称中心为（），故B错误.由，得.
因为的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，所以方程在上有6个解，且在直线两侧各有3个解，则它们所有解的和是，故C正确.
由对任意的，，且，恒成立，得在上单调递增.
令（），得（）.因为，
所以当时，，此时的最大值是；当时，，此时的最大值是.故D正确.
12. 由题意可得，则，解得.
13
.
14.或3 由题意可得，则，即，
即，故.
因为，所以，，且.
因为，所以，解得或.
15.解：由题意可得，
则的实部为，虚部为，
（1）因为是纯虚数，所以
解得.
（2）由题意可得
解得，即的取值范围是.
16.解：（1）因为，
所以.
因为，所以.
因为，所以，所以.
.
（2）因为，所以.
由（1）可知，则，
所以，
故.
17.（1）证明：因为，所以，
所以，即，
所以.
因为，，所以，即.
（2）解：由正弦定理可得，则.
因为，，
所以，
则.
因为解得，所以.
设，则在上单调递增，
故，即的取值范围是.
18.解：（1）因为，
所以
因为是实数，所以.
因为，所以，即.
（2）由（1）可知.
设在复平面内对应的点为，则点的集合是以原点为圆心，2为半径的圆.
设，同理可知满足的点的集合是以为圆心，为半径的圆.
因为，所以，即的取值范围是.
（3）.
因为，所以，
则，
故.
因为，且，所以，所以，
则，当且仅当，即时，等号成立，
故，即的最小值是1.
19.解：（1）当时，，则，
此时（），即（），
故的最大值为3，此时的取值集合为.
（2）设，
则，故（）.
对任意的，，恒成立等价于对任意的，
恒成立，即对任意的，，恒成立.
当，即时，在上单调递增，
则，，
故.
由，得，解得，则不符合题.
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，，
故.
由，得，
解得或，
因为，所以符合题意.
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，，
故.
由.得，
解得，且.
因为，所以符合题意.
当，即时，在上单调递减，
则，.
所以.
由，得，
解得，则不符合题意.
综上，的取值范围是.