备战2024年高考数学模拟卷（七省新高考）（解析版）

这是一份备战2024年高考数学模拟卷（七省新高考）（解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.
【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为，而全集，集合，，
所以.
故选：C
2．已知复数，若为纯虚数，则的值为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由复数除法运算化简复数这代数形式，然后根据复数的定义求解．
【详解】由于，
∵z为纯虚数,，解得a=1，
故选：D．
3．若非零向量满足，，则与的夹角是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量垂直关系的表示及向量的夹角公式即可求解.
【详解】解：，
，即得，
，
，即，
，又，
，
故选：B．
4．儿童手工制作（DIY）对培养孩子的专注力、创造力有很大的促进作用．如图，在某节手工课上，小明将一张半径为2cm的半圆形剪纸折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将毛线编制成一个彩球，放置于圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型．已知彩球的表面积为，则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面上点的最远距离）为（ ）
A．B．C．6cmD．
【答案】B
【分析】先求圆锥的高和球的半径，再用勾股定理求彩球的球心到圆锥底面所在平面的距离，最后根据题意得到答案.
【详解】设圆锥的地面半径为，则，解得，所以圆锥的高．
设彩球的半径为，则，解得．
由勾股定理可得彩球的球心到圆锥底面所在平面的距离为，
所以该冰淇淋模型的高为.
故选：B．
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】构造，求出单调性，求出中范围，再判断即可.
【详解】设，则
，
，
当时为增函数，时为减函数，
当，时，所以
所以时，
又因为，故，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
6．数列的前项和为，，若该数列满足，则下列命题中错误的是（ ）
A．是等差数列B．
C．D．是等比数列
【答案】C
【分析】利用可化简已知等式证得A正确；利用等差数列通项公式可整理得到B正确；由与关系可求得C错误；由，结合等比数列定义可知D正确.
【详解】对于A，当时，由得：，
，即，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，A正确；
对于B，由A知：，，B正确；
对于C，当时，，
经检验：不满足，，C错误；
对于D，由B得：，，又，
是以为首项，为公比的等比数列，D正确.
故选：C.
7．椭圆上有两点、，、分别为椭圆的左、右焦点，是以为中心的正三角形，则椭圆离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件表示出的长，结合椭圆的定义，再由离心率的计算公式，即可得到结果.
【详解】
设边与轴交于点，且是以为中心的正三角形，
则，且为的重心，
由重心定理可得，，则，
在中，，则，
所以，由椭圆的定义可得，
，即，
化简可得，则.
故选：C
8．定义在R上的函数满足：①，②是奇函数，则下列结论可能不正确的是（ ）
A．是偶函数B．
C．D．关于x＝1对称
【答案】A
【分析】利用已知条件分析函数的对称性和周期性，再验证各个选项的结论.
【详解】定义在R上的函数,满足，有，函数图像上的点关于点的对称点为，即，所以函数图像上的点关于点的对称点也在函数图像上，即函数图像关于点对称；
是奇函数，有，函数图像上的点关于点的对称点为，即，所以函数图像上的点关于点的对称点也在函数图像上，即函数图像关于点对称，点关于点的对称点，所以；
∴，令，则，所以，得函数周期为4，B选项正确；
由，当时，有，又函数周期为4，有，所以，C选项正确；
令，，所以的图像关于x＝1对称，D选项正确；
函数，满足题目中的条件，但不是偶函数，A选项错误.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆和圆，则（ ）
A．圆的半径为4
B．轴为圆与的公切线
C．圆与公共弦所在的直线方程为
D．圆与上共有6个点到直线的距离为1
【答案】BD
【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径
即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合
图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得.
【详解】
对于A项，由圆配方得：
知圆的半径为2，故选项A错误；
对于B项，因圆心到轴的距离为1，等于圆的半径，故圆与轴相切，
同理圆心到轴的距离等于圆的半径，圆与轴相切，故轴为圆
与的公切线，故选项B正确；
对于C项，只需要将与左右分别相减，
即得圆与的公共弦所在的直线方程为：故选项C错误；
对于D项，如图，因直线同时经过两圆的圆心，依题意可作两条
与该直线平行且距离为1的直线与，其中与和圆都相切，各有一个公共点，
与和圆都相交，各有两个交点，故圆与上共有6个点到直线
的距离为1，故选项D正确.
故选：BD.
10．已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的经验回归方程为．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（ ）．
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．新的经验回归方程为
C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小
D．样本的残差为
【答案】ABD
【分析】根据线性回归方程的求法、意义可判断ABC ，再由残差的概念判断D.
【详解】，x新平均数，．
y新平均数，∴，∴．
新的线性回归方程，x，y具有正相关关系，A对．
新的线性回归方程：，B对．
由线性回归方程知，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度恒定，C错；
，，，D对．
故选：ABD．
11．设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线l的方程是B．的最大值为2
C．的最小值为7D．以线段为直径的圆与y轴相切
【答案】AD
【分析】根据抛物线方程求得直线方程，结合三角形的知识求得的最大值，结合抛物线的定义求得的最小值以及判断出以线段为直径的圆与y轴相切.
【详解】由题意得，则焦点，准线l的方程是，故A正确；
，
当点M在线段的延长线上时等号成立，∴的最大值为，故B错误；
如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，
则，当点M在线段上时等号成立，
∴的最小值为5，故C不正确；
设点，线段的中点为D，则，
∴以线段为直径的圆与y轴相切，D正确.
故选：AD
12．定义在上的函数满足：，，则关于不等式的表述正确的为（ ）
A．解集为B．解集为
C．在上有解D．在上恒成立
【答案】AC
【解析】构造函数，求导后可推出在上单调递增，由，可得，原不等式等价于，从而可得不等式的解集，结合选项即可得结论.
【详解】令，，则，
∵，
∴恒成立，即在上单调递增.
∵，
∴.
不等式可化为，等价于，
∴，即不等式式的解集为，
则在上有解，故选项AC正确.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性､解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中，常数项为 ．
【答案】
【分析】由题意结合二项式展开式的通项公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由二项式展开式的通项公式可得的展开式的通项公式可知通项公式为：，
由于，
令可得，令可得，
据此可得其常数项为：.
14．人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的 倍.
【答案】1.5
【分析】通过题目数据求出函数解析式，然后利用指数运算即可求解.
【详解】由题意，，所以，所以，
所以2022年全球产生的数据量为，则2023年全球产生的数据量，
所以2023年全球产生的数据量是2022年的倍.
故答案为：1.5
15．已知函数，，写出斜率大于且与函数，的图象均相切的直线的方程： .
【答案】
【分析】公切线问题，求导，再利用斜率相等即可解题.
【详解】∵，
∴，，
设相切的直线与函数，的图象的切点分别为，，
且，
∴，且，
解得，
∴两切点分别为，
∴与函数，的图象均相切的直线的方程为：.
故答案为：.
16．已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，点M在上，且，过点M作四边形外接球的截面，则截面面积的最小值为 .
【答案】
【分析】先由面面垂直的性质得到平面，求得、、、，从而求得外接球的半径，再由平行线分线段成比例的推论证得三点共线，从而求得，从而求得截面面积的最小值.
【详解】由题意知和为等边三角形，取中点为连接，
则
由平面平面平面平面平面
故平面，，则易知，
易知球心在平面的投影为的外心，
在上作于，易得
则在中，，
所以外接球半径，连接
因为
所以三点共线，所以
当为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为，截面面积为.
故答案为：.
.
四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．在中，内角，，的对边分别为，，，已知为边的中点，．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求周长的最小值．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）由平面向量的线性运算可得，由题意可得，结合余弦定理计算即可求解；
（2）根据三角形的面积公式可得，由（1），结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以．
由，得，
整理，得，由余弦定理，得．
又，故．
（2）由的面积为，得，即．
由（1）得，
所以．
所以当且仅当时，等号成立，
此时的周长最小，且最小值为12．
18．已知等差数列满足，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列前项的乘积，若，求的最大值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用，和成等比数列结合等差数列和等比数列知识，从而求出首项和公差，从而求解.
（2）根据（1）中结果并结合题意进行分情况讨论，从而求解.
【详解】（1）设的公差为，由，得：；
由成等比数列，得：，即：，整理得：.
由，解得：或.
所以：的通项公式为或.
（2）因为，所以：，
得：当时，；当时，.
从而，
又因为：，所以：的最大值为.
故的最大值为.
19．目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于分的学生才能进入面试环节.
(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率;
(2)现有甲、乙、丙名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据:若,则,,,,.
【答案】(1)
(2)随机变量的分布列见解析；期望为
【分析】（1）由正态分布的对称性有,求各学生能进入面试的概率,再由独立事件的乘法公式及对立事件的概率求法,求人中至少有一人进入面试的概率.
（2）求出的可能取值为的概率,写出分布列,由分布列求期望即可.
【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件,由已知得:,
所以,
则,
即这人中至少有一人进入面试的概率为.
（2）的可能取值为,
,
,
,
,
则随机变量的分布列为：
,.
20．如图，在四棱锥中，平面且，．
(1)求证；，
(2)在线段上是否存在一点M，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）先证明出，利用平面得到，即可证明平面，可以得到；
（2）假设存在点M符合题意.以A为原点，以过A平行于的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】（1）∵，
∵平面，∴.
∵面PAC, 面PAC,且，
∴平面,
.
（2）取的中点，连接，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，0，，，，，0，，
，，，
设，
则点为，
所以，
设平面的法向量是，
，
令，，（易知t=1不合题意）
又是平面的一个法向量，
，
解得(t=2舍去)则．
此时平面的一个法向量可取，，
设与平面所成的角为，
则，
与平面所成角的正弦值为．
21．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点是双曲线上异于的两个不同点，且，证明：直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）由双曲线渐近线方程和点坐标求解即可；
（2）由可得，设（斜率存在），与双曲线方程联立，利用韦达定理求出的关系即可求解，注意讨论斜率不存在的情况.
【详解】（1）因为双曲线与已知双曲线有相同的渐近线，
设双曲线的标准方程为，
代入点坐标，得，解得，
所以双曲线的标准方程为
（2）当直线斜率存在时，设，

设，联立与双曲线，
化简得，
，即，
则有，
又，
因为，所以
所以，
所以，
化简得，
即
所以，
且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点
（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线，
与双曲线方程联立解得，此时也过点，.
综上，直线过定点
22．已知且，函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由时，得到，求导，进而得到，写出切线方程；
（2）将函数有两个零点，转化为函数与的图象在上有两个交点求解.
【详解】（1）解：当时，，则，
故，
时，，故切点为，
所以在处的切线方程为，
即.
（2）函数有两个零点，
方程在上有两个根，
方程在上有两个根，
函数与的图象在上有两个交点，
设，则，
时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由，，当时，，当时，，作图如下：
由图得，即，
设，则，
时，，时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为时，且，
所以当时，；当时，，
又因为，
所以的解集为
综上所述.