数学：河北省邯郸市2024届高三下学期高考保温试题（解析版）

这是一份数学：河北省邯郸市2024届高三下学期高考保温试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，为第一象限角，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
又因为，所以，；
因为为第一象限角，所以.
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：D.
3. 的展开式中，常数项为（ ）
A. 60B. -60C. 120D. -120
【答案】A
【解析】依题意有，
令，所以常数项为，
故选：A.
4. 中国地震台网测定：2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震.已知地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为，2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震的多少倍？（ ）
A. 98B. 105C. 355D. 463
【答案】C
【解析】由题设，
日本东北部海域发生里氏9.0级地震所释放出来的能量，
中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震所释放出来的能量，
所以.
故选：C.
5. 已知M，N是圆C：上的两个点，且，P为的中点，Q为直线：上的一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆C的标准方程：，圆心C，半径为2，
由，可得，
所以点P在以C为圆心，为半径的圆上，
又点C到直线：距离，
所以的最小值为.
故选：B.
6. 某疾病全球发病率为0.03%，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为5%，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为1%，则某人检测成阳性的概率约为（ ）
A. 0.03%B. 0.99%C. 1.03%D. 2.85%
【答案】C
【解析】由题意，未患病者判定为阳性的概率为1%，患病者判定为阳性的概率为95%，
所以某人检测成阳性包含两种情况：
①非患者检测为阳性的概率为；
②患者检测为阳性的概率为,
所以某人检测成阳性的概率为.故选：C.
7. 若函数的部分图象如图所示，，为图象上的两个顶点.设，其中O为坐标原点，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图可知，，
由题意知，解得.
又因为，，且，
则，
因为，所以.
所以.
故选：A
8. 已知双曲线：，O为坐标原点，、分别为的左、右焦点，点P在双曲线上，且轴，M在外角平分线上，且.若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】如图所示，不妨设在第一象限，延长与交于点，
因为轴，，将代入双曲线中，可得，
解得，且在第一象限，则，
因为在的外角平分线上，且，
则，，
故垂直平分，为等腰三角形，
所以，为中点，
因为分别为，的中点，
则为的中位线，故，
，
由双曲线的定义可得，则，
所以，
又因为，则，
因为，所以，都是等腰三角形，
则，
故，则，
又因为，
则，整理可得，
因为，则，
整理可得，则，所以.故选：B.
二、选择题
9. 已知复数，是其共轭复数，则下列命题正确的是（ ）
A.
B. 若，则的最小值为1
C.
D. 若是关于的方程的一个根，则
【答案】BC
【解析】对于A，复数（虚部不为0）不能比较大小，所以A不正确；
对于B，设，，由可得，设，
则
，当时，取到最小值1，B正确；
对于C，设，，，，
所以，即，C正确；
对于D，，整理得，
所以且，解得，，D不正确.
故选：BC
10. 如图，将一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，正四棱锥的侧面积为
B. 当时，正四棱锥的体积为
C. 当时，正四棱锥外接球的体积为
D. 正四棱锥的体积最大值为
【答案】BCD
【解析】用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示：
对于A：当时，即，由题意可得的边上的高为2，
所以侧面面积为，故A错误；
对于B：当时，由题意可得侧面斜高，，
可得，所以，故B正确；
对于C：当时，可得，，
正四棱锥外接球的球心在直线上，设外接球的半径为，
则，解得，所以正四棱锥外接球的体积为，故C正确；
对于D：可得，，
，
令，则，求导得，
令，则，解得，
当，，，，
所以，此时时取等号，故D正确.
故选：BCD.
11. 定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是的对称中心
C. 是偶函数D.
【答案】ABD
【解析】对于A，令，可得，因为，
所以，故A正确；
对于B，令，可得，
即，所以是的对称中心，故B正确；
对于C，若是偶函数，则，
因为，所以，，
从而得到的周期为2，的周期也为2，
而，故C错误；
对于D，由C得，所以的周期为4，
令，得，得，
令，得，，
所以，所以
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12. 已知向量，若向量在上的投影向量为，且与不共线，请写出一个符合条件的向量的坐标________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由向量，可得向量，
因为向量在上的投影向量为，可得，可得，
设，可得，取，
此时向量与向量不共线，故.
故答案为：（答案不唯一）.
13. 记为等比数列的前项的和，若，，则________.
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由题意可得，
由，可得，解得，
又，即，所以，
同理，，，，
因为，
所以.
故答案为：
14. 若不等式恒成立，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】不等式恒成立，
即不等式恒成立，
即不等式恒成立，
先求解与的相切的情况.
因为函数与图象关于直线对称，
所以切点一定在直线上，且切线斜率为1，
假设切点坐标为
则 ①
由求导得，
所以 ，即②
由①②得，
所以，
所以，所以，解得，
因为当时，
指数函数的导数递增，
对数函数的导数递减，
如图:
因此可得：
当时，没有公共点，
当，有1个公共点，
当时，有2个公共点.
结合图象可知：当时，不等式恒成立，
即若不等式恒成立，则的范围为.
故答案为：
四、解答题
15. 已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若为增函数，求的取值范围.
解：（1）当时，，即，所以切点坐标为，
又因为，则，
由直线的点斜式方程可得，
化简可得.
（2）因为函数定义域为，且，
为上增函数等价于在上恒成立，
由可得，令，
所以只需，求导可得，
令，则，
即是上的减函数，又，
故是的唯一零点，
当时，递增，
当时，递减，
故当时，取得极大值且为最大值，，
所以，即的取值范围是.
16. 某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点的横坐标，另一枚的点数记为点的纵坐标，令事件“”，事件“为奇数”.
（1）证明：事件相互独立；
（2）若连续抛掷这两枚骰子三次，求点在圆内的次数的分布列与期望.
（1）证明：由题意可知点的坐标有种，其中事件所包含的基本事件有
，，，，，，共6种，所以，
事件所包含的基本事件有种，所以，
积事件有，，，共3种，所以，
满足，所以事件A、B相互独立；
（2）解：点P在圆内的基本事件有：，，，，，，共6种 ，
所以点P在圆内的概率为，
由题意可知，，
，
，
，
，
所以，X的分布列为
所以.
17. 如图，已知菱形和菱形的边长均为2，，，分别为、上的动点，且.
（1）证明：平面；
（2）当的长最小时，求平面与平面的夹角余弦值.
（1）证明：延长交直线于点，连结，
因为菱形，所以，
所以，
又，
所以，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面.
（2）解：取的中点，连接，，，，
因为菱形和菱形的边长均为2，，
所以，
且，，
又，平面，平面，
所以平面，
又，所以为等边三角形，
取中点，连接，则，
由平面，得，
又，，，
所以平面，
所以以所在直线为轴，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：
且，，，，，
设，
则，，
则，，
，
，
显然时的长最小，
此时，，，
，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，
即，
令，解得，，则，
，即，
令，解得，，则，
设平面与平面的夹角为，
则.
即当的长最小时，平面与平面的夹角余弦值为.
18. 动点M到定点距离与它到直线的距离之比为，记点M的轨迹为曲线.若为上的点，且.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）已知，，直线交曲线于两点，点在轴上方.
①求证：为定值；
②若，直线是否过定点，若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.
（1）解：设，动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，
则，化简得，
所以M的轨迹曲线的轨迹方程.
（2）①证明：为上的点，则，，
因为，，则（定值），所以为定值.
②解：直线恒过定点，理由如下：
由①知，，因为，所以，
设直线：，，，
将直线与曲线联立方程得，
则，，，
因为，，，，
所以，
即，
所以，
由题知，，所以.
即直线恒过定点.
19. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不
等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：
设，则当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立.
（1）请你写出柯西不等式的二元形式；
（2）设P是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；
（3）已知无穷正数数列满足：①存在，使得；②对任意正整数，均有.求证：对任意，，恒有.
（1）解：柯西不等式的二元形式为：设，
则，当且仅当时等号成立.
（2）解：由正四面体的体积，
得，所以，
又由柯西不等式得，
所以，
当且仅当时等号成立.
（3）证明：对，记是的一个排列，
且满足.
由条件②得：.
于是，对任意的，
都有
由柯西不等式得
所以
从而，对任意的，都有，
故对任意，，恒有.
X
0
1
2
3
P