数学：海南省部分学校2024届高三考前押题考试（三模）试题（解析版）

这是一份数学：海南省部分学校2024届高三考前押题考试（三模）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
故选:C
2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】因为，
所以，
故在复平面内对应的点为位于第二象限．
故选：B.
3. 样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为（ ）
A. 50B. 53C. 57D. 45
【答案】A
【解析】由这组数据共7个，则，
所以这组数据的下四分位数为第2个数据50.
故选：A．
4. 已知数列为等差数列，且，则（ ）
A. 33B. 44C. 66D. 88
【答案】B
【解析】依题意，是等差数列，设其公差为，由，
所以，即，
故选：B.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则，，
所以，
所以.
故选：C．
6. 展开式中的系数为（ ）
A. B. 5C. 15D. 35
【答案】A
【解析】若要产生这一项，则
当在中取1时，再在中取2个、取4个1，
当在中取时，再在中取3个、取3个1，
所以展开式中的系数为.
故选：A.
7. 已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
且，
则，即.
故选：C.
8. 已知抛物线C：的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点（），则当取最大值时，（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】由题可知焦点，准线，设线段AB的中点为，即为OP中点，
则，．分别过A、B、M向准线作垂线，垂足分别为，，，
如图所示．
则，当直线AB过焦点时取等号，此时．
设、，直线AB的斜率为k，
由，两式相减，得，所以，
即，得，所以，又，所以．
故选：B．
二、多选题
9. 已知直线，，平面，，则下列说法错误的是（ ）
A. ，，则
B. ，，，，则
C. ，，，则
D. ，，，，，则
【答案】ABC
【解析】选项A中，若，，则可能在内，也可能与平行，故A错误；
选项B中，若，，，，则与也可能相交，故B错误；
选项C中，若，，，则与也可能相交，故C错误；
选项D中，若，，，，，
依据面面平行的判定定理可知，故D正确．故选：ABC．
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 为偶函数
D. 在区间的最小值为
【答案】ACD
【解析】由题意得，
由图象可得，
又，所以，
由五点法可得，
所以.
A：由以上解析可得，故A正确；
B：由以上解析可得，故B错误；
C：，故C正确；
D：当时，，
所以最小值为，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线交于两点（点在第一象限），且，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的渐近线方程为
C.
D. 若点是双曲线上异于的任意一点，则
【答案】AD
【解析】如图，连接，
由双曲线定义可知，，
由题意得关于原点对称，故且，即四边形为平行四边形，
因为，又
所以，，
由，所以，
由，得，
即有，
所以，所以离心率，故A正确；
又，所以，
所以渐近线方程为，，故B、C错误，
设点，因为是直线与双曲线的交点，
根据对称性可得，所以.
又点在双曲线上，代入可得，
两式相减可得，所以，故D正确.
故选：AD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空
12. 已知向量，，则向量在向量上的投影为______________.
【答案】
【解析】因为，，所以，
所以向量在向量上的投影为.
故答案为：.
13. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】函数，求导得，由在上单调递减，
得，，即，令，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
14. 若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为______.
【答案】
【解析】设，外接球的半径为，
该多面体是由棱长为的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，
如图，过，，三点的截面为正六边形，其面积，即，
根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球，
故，即，
故该多面体的棱切球的表面积为．
故答案为：．
四、解答题
15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：
①;②；③.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积.
解：（1）若选①：，
由正弦定理得，
又，所以，
又，所以，即，
又，所以；
若选②：，
由正弦定理得，
又，所以，即，
又，所以；
若选③：，
，
，
即，
又，所以，即，
又，所以；
（2）由（1）知，，
所以，即，
又，所以，得，
所以，解得，
故.
16. 已如曲线在处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
解：（1）由于的斜率为，所以，
又,故，解得，
（2）由（1）知，所以，
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取最小值，
要使恒成立，故，解得，故的取值范围为
17. 如图，平面，∥，，，点是的中点，连接.

（1）证明：∥平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
（1）证明：取中点，连接，
因为分别为的中点，则∥，且，
由题意可知：∥，且，则∥，且，
可知四边形为平行四边形，可得∥，
且平面，平面，所以∥平面.
（2）解：因为平面，，
以为坐标原点，分别为轴所在直线，建立空间直角坐标系，

则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
因为，
所以与平面所成角的正弦值为.
18. 已知椭圆C：的离心率为，且过点.
（1）求C方程；
（2）设过C的左焦点且斜率为的直线与C交于M，N两点，求的面积.
解：（1）设的半焦距为，则.
故.
将代入C的方程有，故，，.
所以C的方程为.
（2）由（1）可知的左焦点为.
故过左焦点且斜率为的直线为：.
将与的方程联立，有.
设，，则不妨取，.
故.
且P到的距离.
所以的面积为.
19. 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．
（1）若，求；
（2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．
（1）解：因为，所以，
所以的分布列为：
所以.
（2）（ⅰ）解：记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件，
则，，，，
所以
，
所以；
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知，则，
则，
设，则，
所以当时，单调递增，当时，单调递减；
所以，即（当且仅当时取等号），
所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以.