2024年中考数学二次函数压轴题专题15二倍角、半角问题(学生版+解析)

这是一份2024年中考数学二次函数压轴题专题15二倍角、半角问题(学生版+解析)，共36页。试卷主要包含了知识导航，典例精析，中考真题演练等内容，欢迎下载使用。
既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下：
思路1：构造半角三角函数．
构造二倍角三角函数：
思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．
二、典例精析
例一、如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）思路：转化为等角
本题中的∠BAC和∠ABD是内错角，若是构造∠ABD=∠BAC，作平行线即可．
两倍角亦可以作平行构造出，
过B作x轴的平行线，
作BA关于平行线对称的直线，与抛物线交点即为D点．
考虑到，故，
可得直线BD解析式为：，
与抛物线联立方程：，解得：，，
故D点坐标为（2，3）．
例二、
如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
问题：当t=1时，抛物线经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】
思路：三角函数构造相等角
t=1时，P点坐标为（1，0），Q点坐标为（3，2），
代入抛物线解析式，可求得抛物线：，
故顶点K的坐标为．
考虑要构造，过点K作KH⊥MQ交MQ于H点，则．
根据图形可求得，
故若，则，
故，
分别解得直线DQ解析式为或，
与抛物线联立方程：
，解得：，，
则对应D点坐标为；
，解得：，，
则对应D点坐标为．
综上所述，D点坐标为或．
三、中考真题演练
1．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：

(1)当点M在上时，求t的值；
(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

(1)求，的值；
(2)如图①，是第二象限抛物线上的一个动点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图②，在（2）的条件下，当时，连接交轴于点，点在轴负半轴上，连接，点在上，连接，点在线段上（点不与点重合），过点作的垂线与过点且平行于的直线交于点，为的延长线上一点，连接，，使，是轴上一点，且在点的右侧，，过点作，交的延长线于点，点在上，连接，使，若，求直线的解析式．
3．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．
(1)请直接写出，的值；
(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．
①求的最大值；
②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．
4．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．

(1)直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______；
(2)如图1，当时，求点P的坐标；
7．（2022·广东汕头·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(3)点M在抛物线上，当时，求点M的横坐标．
8．（2022·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，连接，且．
(1)求抛物线解析式．
(2)点是抛物线上的一点．
②当时，求点的坐标．
9．（2020·山东济南·一模）已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
(1)抛物线的解析式为___________，抛物线的顶点坐标为___________．
(4)如图3，点E的坐标为，点C为x轴负半轴上的一点，，连接PE，若，请求出点Р的坐标．
二倍角、半角问题
一、知识导航
既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下：
思路1：构造半角三角函数．
构造二倍角三角函数：
思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．
二、典例精析
例一、如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）思路：转化为等角
本题中的∠BAC和∠ABD是内错角，若是构造∠ABD=∠BAC，作平行线即可．
两倍角亦可以作平行构造出，
过B作x轴的平行线，
作BA关于平行线对称的直线，与抛物线交点即为D点．
考虑到，故，
可得直线BD解析式为：，
与抛物线联立方程：，解得：，，
故D点坐标为（2，3）．
例二、
如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
问题：当t=1时，抛物线经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】
思路：三角函数构造相等角
t=1时，P点坐标为（1，0），Q点坐标为（3，2），
代入抛物线解析式，可求得抛物线：，
故顶点K的坐标为．
考虑要构造，过点K作KH⊥MQ交MQ于H点，则．
根据图形可求得，
故若，则，
故，
分别解得直线DQ解析式为或，
与抛物线联立方程：
，解得：，，
则对应D点坐标为；
，解得：，，
则对应D点坐标为．
综上所述，D点坐标为或．
三、中考真题演练
1．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：

(1)当点M在上时，求t的值；
(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明， 则 ， 即可求解；
（2）由 即可求解；
（3）当点在的平分线上时，则 ，在中， ，即可求解．
【详解】（1）∵平行四边形，
∴，，，
由题意得∶，，
如下图，点在上时，

∵，，，
∴，
∴，
则 即
解得：
（2）如上图，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
则，
∴，
∴为等腰三角形， 则
过点作于点，
则
即 解得∶ ，
则 ，
设中边上的高为，则
即：
，故有最大值，
当时， 的最大值为；
（3）存在， 理由∶
如下图， 过点作于点，

当点在的平分线上时，则
，
在中，
，
解得：
2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

(1)求，的值；
(2)如图①，是第二象限抛物线上的一个动点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图②，在（2）的条件下，当时，连接交轴于点，点在轴负半轴上，连接，点在上，连接，点在线段上（点不与点重合），过点作的垂线与过点且平行于的直线交于点，为的延长线上一点，连接，，使，是轴上一点，且在点的右侧，，过点作，交的延长线于点，点在上，连接，使，若，求直线的解析式．
【详解】（1）点，在抛物线上，
，
解得：，
，
（2）由（1）知，抛物线的解析式是，
是抛物线与轴的交点，
时，，
，
，
如下图，过点作轴，垂足为，

是第二象限抛物线上一点，点的横坐标为，
，
（3）如下图，以为一边作，的另一边交的延长线于点；作，垂足为；作，垂足为；作轴，垂足为，

，由（2）知，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，轴，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
设，则，，
，
，
，
，
，
又点在轴负半轴上，
，
设直线的解析式为，
把，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为
3．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．
(1)请直接写出，的值；
(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．
①求的最大值；
②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．
【答案】(1)，
(2)①；②2或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①过点作轴平行线分别交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，则，进而可得，求得直线的解析式为，设，则，进而表示出，最后根据二次函数的性质即可求解．
②根据已知，令，，在上取点，使得，得出，然后根据，设，．进而分两种情况讨论，ⅰ当时，，则相似比为，得出代入抛物线解析式，即可求解；ⅱ当时，，同理可得，代入抛物线解析式即可求解．
【详解】（1）∵二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点
∴
解得：
∴，，；
（2）①如图1，过点作轴平行线分别交、于、．
∵，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵
设直线的解析式为
∴
解得：
直线解析式为．
设，
，
，
当时，取得最大值为，
的最大值为．
②如图2，已知，令，则，
在上取点，使得，
∴，
设，则，
则，
解得，
∴，即．
如图3构造，且轴，相似比为，
又∵，
设，则．
分类讨论：ⅰ当时，则，
∴与的相似比为，
∴，，
∴，
代入抛物线求得，（舍）．
∴点横坐标为．
ⅱ当时，则，
∴相似比为，
∴，，
∴，
代入抛物线求得，（舍）．
∴点横坐标为．
综上所示，点的横坐标为2或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段长的最值问题，相似三角形的性质与判定，正切的定义．利用分类讨论的思想并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．

(1)直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______；
(2)如图1，当时，求点P的坐标；
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求得、，从而可得，，由，可得，求得，在中，根据正切的定义求值即可；
（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E， 由，即，再由，可得，证明，可得，设点P坐标为，可得，再进行求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵抛物线与x轴交于A、两点，
∴时，，解得：，，
∴，
∴，，
在中，，
故答案为：，2，，；
（2）解：过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则，，
∴，解得：（舍），，
∴点P坐标为．

5．（2022·湖北武汉·模拟预测）抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴的正半轴交于C点，的面积为6．

(1)直接写出点A、B的坐标为 、 ；抛物线的解析式为
(3)如图2，平行于的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，恰好平分，求P点坐标．
【答案】(1)，；．
(3)
【分析】（1）令，可求出的值，进而可得出，的坐标；令，可求出的值，可得出点的坐标，得出线段的长，利用三角形的面积公式可得出的值；
（3）过点作于，过点作于，根据，，可得，设出、、三点的坐标（只设横坐标，纵坐标用横坐标表示），分别用横坐标之差、纵坐标之差表示出两个相似三角形的直角边，列出比例等式；设出的解析式，与抛物线方程联立，得出两根之和的关系式，结合前面的比例等式解出点的横坐标，进而算出纵坐标．
【详解】（1）令，即，
解得或，
，；
令，则，
，即，
，解得，
函数解析式为：．
故答案为：，；．
（3）如图，过点作于，过点作于，
设，，，，，，
则：
，
，
，
，
恰好平分，即，，
，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
令，
由消去整理得：，
由韦达定理可知：，
，
，
．

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线的对称性、相似三角形的判定与性质、三角形面积计算、配方法求二次函数最值、角平分线的定义、韦达定理等众多知识点，综合性很强，难度较大．本题第（3）问使用代数手段解决几何问题，是几何与代数的巧妙结合，有很强的解析性质，是难点所在，熟练掌握这些技巧，对今后高中的数学学习有很大的帮助．
6．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知直线经过定点M，以M为顶点的抛物线与x轴交于A，B两点（A左B右）．

(1)点M的坐标是 ， ， （直接写出结果）；
(2)如图1，若直线l与抛物线交于另一点C，且恰好平分，求k的值；
【答案】(1)；2；3
(2)
【分析】（1）根据直线的解析式的变形列出关于x，y的方程组进而解得即可得出M的坐标，再根据二次函数的顶点式即可解得b，c的值；
（2）过点M作x轴的平行线，交的延长线于点D，得出，通过平分，
得出，进而得出，联立，可得或，写出直线的解析式得出，的长度，即可得出k的值；
【详解】（1）解：，
，
，解得：，
，
以M为顶点的抛物线与x轴交于A，B两点（A左B右），
，解得：
故，，；
（2）解：过点M作x轴的平行线，交的延长线于点D，则，
平分，
，
．
联立，
解得或，
，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，，
，
，
；

7．（2022·广东汕头·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(3)点M在抛物线上，当时，求点M的横坐标．
【答案】(1)
(3)或
【分析】（1）将、代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即可得到抛物线的解析式为；
（3）取点中，连接，则，，可证明，得，再证明，则，即可证明，再分两种情况讨论，一是点在轴的上方，则，可求得直线的解析式为，进而求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标；二是点在轴的下方，可求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标．
【详解】（1）抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（3）如图2，取点中，连接，则，，
，，
，
，
，
，
，
，
当点在轴的上方，设交轴于点，
，
，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
由，
得，
解得，（不符合题意，舍去），
点的横坐标为；
当点在轴的下方，设交轴于点，
直线，当时，，
，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
由，
得，
解得，（不符合题意，舍去），
点的横坐标为，
综上所述，点的横坐标为或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
8．（2022·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，连接，且．
(1)求抛物线解析式．
(2)点是抛物线上的一点．
②当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)②或
【分析】（1）先根据直线的解析式求出点和的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）②过点作平分，交拋物线于点，过点作轴，交于点，可得到，利用勾股定理和等腰三角形的性质得到，可确定点G的坐标，进而求出直线BG与抛物线的交点坐标，便可得出其中一个满足条件的点坐标；利用翻折，设与轴的交点为点，关于轴的对称点为，进而求得直线BN与抛物线的交点坐标，便可得出另一个满足条件的点坐标．
【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于、两点，
当时，，
∴，，
当时，得，解得：，
∴，，
∵，设，，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
∵抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，
∴，
解得：．
∴拋物线的解析式为．
（2）
②如图，过点作平分，交拋物线于点，
∴，
∴，
过点作轴，交于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点G的坐标为，
又∵，
设直线BG的解析式为，
∴，
∴直线BG的解析式为，
由，
解得：，，
∴；
将直线沿轴翻折，交拋物线于点，
∴，
设与轴的交点为点，关于轴的对称点为，
∵直线BG的解析式为，
(1)抛物线的解析式为___________，抛物线的顶点坐标为___________．
(4)如图3，点E的坐标为，点C为x轴负半轴上的一点，，连接PE，若，请求出点Р的坐标．
【答案】(1)；；
(4)，
【分析】（1）设函数的表达式为：，即可求解；
（4），，则，故，即可求解．
【详解】（1）解：设函数的表达式为：，
即：，
解得：．
故抛物线的表达式为：．
顶点坐标为；
故答案是：；；
（4）如答图2，设直线交轴于点，
，，
，
，
则直线的表达式为：，
联立方程，得
解得：（舍去正值），
故点，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图形的面积计算，掌握函数图像上点的坐标特征，待定系数法是关键．