2024年中考数学【高分·突破】考点16几何中的折叠问题(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学【高分·突破】考点16几何中的折叠问题(原卷版+解析)，共49页。
一、单选题
1．如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（ ）

A．B．C．6D．
2．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l与交于点P，且点P到的距离为，点Q为上任意一点，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
3．如图，在中，，点为边上一点，，点是边上的动点，将沿直线折叠得到，点的对应点为点，连接，有下列4个结论：①；②；③当时，；④若点恰好落在线段上时，则．其中正确的是（ ）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
4．如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（ ）

A．B．C．D．
5．如图，在平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴正半轴上，以，为边构造矩形，点的坐标为，，分别为，的中点，将沿折叠，点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
6．综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片对折，折痕为，再把点A折叠在折痕上，其对应点为，折痕为，连接，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，矩形中，，，P是边中点，将顶点D折叠至线段上一点，折痕为，此时，点C折叠至点．下列说法中错误的是（ ）
A．B．当时，
C．当时，是等腰三角形D．
8．如图，为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点M，连接，若点M为的黄金分割点（），则的值为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
9．如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为 ．
10．如图，在矩形中，，，为的中点，为边上一动点，把矩形沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交射线于点，交于点，当恰好运动到的三等分点处时，的长为 ．
11．如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．

12．在矩形中，点为边上一点（不与端点重合），连接，将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，连接并延长，分别交，于，两点若，，，则的长为 ．

13．如图，在矩形中， ，，E是的中点，F是线段上的一点，连接，把沿折叠，使点B落在点G处，连接，的延长线交线段于点H．给出下列判断：①；②；③当时，的长度是 ④线段长度的最小值是 ；⑤当点G落在矩形的对角线上，的长度是3或；其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）

14．如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交、于点G、F，且．
（1）若，则 ；
（2）若，，则 ．
三、解答题
15．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．
(1)操作判断
操作一：如图（1），正方形纸片，点是边上（点不与点，重合）任意一点，沿折叠到，如图（2）所示；
操作二：将图（2）沿过点的直线折叠，使点的对称点落在上，得到折痕，点的对称点记为，如图（3）所示；
操作三：将纸片展平，连接，如图（4）所示．
根据以上操作，回答下列问题：
①，，三点 （填“在”或“不在”一条直线上；
②和的位置关系是 ，数量关系是 ；
③如图（5），连接，改变点在上的位置， （填“存在”或“不存在”点，使平分．
(2)迁移探究
苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片，，，按照（1）中的方式操作，得到图（6）或图（7）．请完成下列探究：
①当点在上时，如图（6），和有何数量关系？并说明理由；
②当的长为1时，请直接写出的长．
16．在矩形中，，点是边上的一个动点，将沿直线折叠得到．

(1)如图1，当点与点重合时，与交于点，求的长度；
(2)当点为的三等分点时，直线与直线相交于点，求的长度；
(3)如图2，取中点，连接，若点恰好落在边上时，试判断四边形的形状，并说明理由．
17．矩形中，，，点为对角线上一点，过点作于点，交边于点，将沿折叠得，连接．
(1)如图1，若点落在边上，求证：；
(2)如图2，若，，三点在同一条直线上，求的长；
(3)若是以为腰的等腰三角形，求的长．
18．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片，组织同学们进行折纸探究活动．
【初步尝试】把正方形对折，折痕为，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点处，连接，如图1，请直接写出与的数量关系．
【能力提升】把正方形对折，折痕为，然后展开，沿过点A与上的点G所在的直线折叠，使点B落在上的点P处，连接，如图2，猜想的度数，并说明理由．
【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线的对称点，连接，，，如图3，求的度数．
19．综合与实践
数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片对折，使得点A，D重合，点B，C重合，折痕为，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为．

(1)如图（1）若，则当点落在上时，和的数量关系是________，的度数为________．
思考探究：
(2)在的条件下进一步进行探究，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为点．当点落在上时，如图（2），设，分别交于点J，K．若，请求出三角形的面积．
开放拓展：
(3)如图（3），在矩形纸片中，，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接，，若，请直接写出的长．(温馨提示：，)
20．综合与实践
综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点E，再沿折叠，点A落在点F处，把纸片展平，延长，与交点为G．
请写出线段与线段的数量关系______．
（2）迁移思考
如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断．
（3）拓展探索
如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值．

压轴热点考点16 几何中的折叠问题
压轴突破——2024年【中考·冲刺】数学高频热点考点好题精编
一、单选题
1．如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（ ）

A．B．C．6D．
【答案】D
【分析】过作于，过作于，由菱形性质和正切定义求出，，再由折叠证明，得到，从而得到，则，则问题可解．
【详解】解：过作于，过作于，

由已知，，，
∴，，
∴设，则，
∴在中，，
，
解得，
∴，，
由折叠可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离是．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出．
2．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l与交于点P，且点P到的距离为，点Q为上任意一点，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由折叠可得：为的角平分线，根据垂线段最短即可解答．
【详解】解：∵将折叠，使边落在边上，
∴为的角平分线，
∵点Q为上任意一点，
∴的最小值等于点P到的距离3cm．
故选C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．
3．如图，在中，，点为边上一点，，点是边上的动点，将沿直线折叠得到，点的对应点为点，连接，有下列4个结论：①；②；③当时，；④若点恰好落在线段上时，则．其中正确的是（ ）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】D
【分析】过点作于点，利用三线和一以及正切的定义，求出，即可判断①；过点作于点，利用勾股定理求出，判断②；过点作于点，证明为等腰直角三角形，设，三角函数求出的长，利用，求出的值，进而求出的长，判断③；证明，推出，根据折叠的性质，推出，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④．
【详解】解：①过点作于点，

∵，
∴，
∴，
∴；故①正确；
②过点作于点，则：四边形为矩形，

∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故②正确；
③过点作于点，

∵，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；故③错误；
④当点恰好落在线段上时，如图：设与交于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∴，
∴；故④正确，
综上：正确的是①②④；
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键．
4．如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连，由AB是的直径，可知，由折叠，和所在的圆为等圆，可推得，再利用正弦定义求解即可．
【详解】解：连，

∵是的直径，
∴，
由折叠，和所在的圆为等圆，
又∵，
∴和所对的圆周角相等，
∴，
∴，
在中，
，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦．
5．如图，在平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴正半轴上，以，为边构造矩形，点的坐标为，，分别为，的中点，将沿折叠，点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得直线的解析式，过点作于点，过点作于点，设点，在中，再利用勾股定理得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：点的坐标为，四边形是矩形，，分别为，的中点，
，，，
由折叠的性质可得：，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
过点作于点，过点作于点，

设点，
则，，
在中，，
，
解得：或（不合题意，舍去），
当时，，
点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质，中点的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
6．综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片对折，折痕为，再把点A折叠在折痕上，其对应点为，折痕为，连接，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先证明，，，，，可得，，再利用正切的定义求解即可.
【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为，，，
∴，，，，
由折叠可得：，
∴，
∴，
∴.
故选A
【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.
7．如图，矩形中，，，P是边中点，将顶点D折叠至线段上一点，折痕为，此时，点C折叠至点．下列说法中错误的是（ ）
A．B．当时，
C．当时，是等腰三角形D．
【答案】C
【分析】根据矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质计算判断即可．
【详解】∵矩形中，，，P是边中点，
∴，，
∴，
∴，
故A正确；
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
故D正确；
设，
根据题意，得，，
∵，
∴，
解得，
∴，
故B正确；
当时，
设，根据题意，得，
∴，
解得；
此时重合，三角形不存在，不符合题意；
当时，过点作于点N，
则；
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
设，根据题意，得，，
∴，
解得；
∴，
解得；
∴；
当时，过点作于点H，
设，根据题意，得，
∴，，
∴，
根据勾股定理，得，
∴
解得；
∴；
综上所述，或，
故C错误，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角函数，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质是解题的关键．
8．如图，为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点M，连接，若点M为的黄金分割点（），则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点M作，垂足为D，延长交半于点，连接，，根据折叠的性质可得：，，从而可得，再根据黄金分割的定义可得，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而证明A字模型相似三角形，进而利用相似三角形的性质可得，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：过点M作，垂足为D，延长交半于点，连接，，

由折叠得：，，
∴，
∵点M为的黄金分割点（），
∴，
∵为半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是半的内接四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题
9．如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，设，，证明，求得，由折叠的性质求得，在中，利用勾股定理列式计算，即可求解．
【详解】解：连接，设，，
由矩形的性质和折叠的性质知，，，
∵，，
∴，
∴，
由矩形的性质知：
∴，
折叠的性质知：，
∴，
∴，
由折叠的性质知，
∴，
∴，即，
在中，，即，
解得，
∴，
故答案为：
10．如图，在矩形中，，，为的中点，为边上一动点，把矩形沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交射线于点，交于点，当恰好运动到的三等分点处时，的长为 ．
【答案】1或5
【分析】分两种情况：①当时．过点作于点，则四边形为矩形；②当时，过点作于点，则四边形为矩形，根据矩形的性质得再由折叠的性质可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【详解】解：①当时．
如图，过点作于点，则四边形为矩形，
，．
为的中点，
，
．
由折叠与对应，
，
，，
，即．
又，
，
，
解得，
．
②当时，
如图，过点作于点，则四边形为矩形，
，．
为的中点，
，
．

由折叠与对应，

，，
，即．
又，
∽，
，
解得，
．
综上，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查的是翻折变换折叠问题、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
11．如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．

【答案】
【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得．
【详解】解：是等边三角形，
，
∵折叠得到，
，
，，
平分等边的面积，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
12．在矩形中，点为边上一点（不与端点重合），连接，将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，连接并延长，分别交，于，两点若，，，则的长为 ．

【答案】
【分析】连接，证明，可得，设，在中，有，可解得，知，由矩形沿折叠，折叠后点与点重合，得，可得，，故，从而得到 ．
【详解】连接，如图：

四边形是矩形，
，
将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，
，
，
，
，
，
设，则
在中，
，
解得：，
，
，
将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，
，
//，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．
13．如图，在矩形中， ，，E是的中点，F是线段上的一点，连接，把沿折叠，使点B落在点G处，连接，的延长线交线段于点H．给出下列判断：①；②；③当时，的长度是 ④线段长度的最小值是 ；⑤当点G落在矩形的对角线上，的长度是3或；其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）

【答案】①②③
【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出，可判断②正确；推出点D、G、F三点共线，证明，可判断③正确；当点D、G、E三点共线，线段长度的最小值是，由于F是线段上的一点，不存在D、G、E三点共线，可判断④不正确；证明是等边三角形，可判断⑤．
【详解】解：连接，

∵矩形中，，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由折叠的性质知是的垂直平分线，
∴，∴，
∴，故②正确；
由折叠的性质知，
∵，
∴点D、G、F三点共线，连接，

在和中，，，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴点A、G、B都在以E为圆心，3为半径的圆上，，
∴当点D、G、E三点共线，线段长度的最小值是，但F是线段上的一点，∴D、G、E三点不可能共线，故④不正确；
当点G落在矩形的对角线上时，

由折叠的性质知，
∵E是的中点，由①知，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴的长度是3；由于F是线段上的一点，则点G不会落在矩形的对角线上，故⑤不正确；
综上，①②③说法正确，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
14．如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交、于点G、F，且．
（1）若，则 ；
（2）若，，则 ．
【答案】 /度 /
【分析】（1）先证明，，利用，可得答案；
（2）如图，过作于，可得，，同理可得：，，而，则，设，而，则，，，再求解，由折叠可得：，，利用 ，再建立方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，结合折叠可得：
，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴；
故答案为：．
（2）如图，过作于，
∴四边形是矩形，
则，，
同理可得：，，而，
∴，
∴设，
∵矩形，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
解得：，经检验符合题意；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．
三、解答题
15．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．
(1)操作判断
操作一：如图（1），正方形纸片，点是边上（点不与点，重合）任意一点，沿折叠到，如图（2）所示；
操作二：将图（2）沿过点的直线折叠，使点的对称点落在上，得到折痕，点的对称点记为，如图（3）所示；
操作三：将纸片展平，连接，如图（4）所示．
根据以上操作，回答下列问题：
①，，三点 （填“在”或“不在”一条直线上；
②和的位置关系是 ，数量关系是 ；
③如图（5），连接，改变点在上的位置， （填“存在”或“不存在”点，使平分．
(2)迁移探究
苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片，，，按照（1）中的方式操作，得到图（6）或图（7）．请完成下列探究：
①当点在上时，如图（6），和有何数量关系？并说明理由；
②当的长为1时，请直接写出的长．
【答案】(1)①在，②，相等；③不存在；
(2)①，理由见解析；②或．
【分析】（1）①的对称点为，，，即可判断；②由①，由同角的余角相等得，由可判定，由全等三角形的性质即可得证；③由可判定，由全等三角形的性质得，等量代换得，与矛盾，即可得证；
（2）①由（1）中的②可判定，由三角形相似的性质即可求解；②当在上时，，由三角形相似的性质即可求解；当在上时，同理可判定，由三角形相似的性质即可求解．
【详解】（1）解：①的对称点为，
，，
、、共线，
故答案为：在；
②由①知：、、共线，在上，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
在和中
，
()，
，
故答案为：相等；
③不存在，理由如下：
假如存在，
平分，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中
()，
，
，
，
是的斜边，
，
与矛盾，
故假设不成立，所以答案为：不存在；
（2）解：①，理由如下：
由（1）中的②得：
，
，
，
；
②当在上时，
，
由①知：，
，
，
当在上时，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，“十字架”典型问题的解法是解题的关键．
16．在矩形中，，点是边上的一个动点，将沿直线折叠得到．

(1)如图1，当点与点重合时，与交于点，求的长度；
(2)当点为的三等分点时，直线与直线相交于点，求的长度；
(3)如图2，取中点，连接，若点恰好落在边上时，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)的长度为5；
(2)的长度为或;
(3)四边形是平行四边形（理由见解析）
【分析】本题利用了折叠的知识（折叠后的两个图形全等）以及矩形的性质（矩形的对边相等，对角相等），以及平行四边形的判定有关知识．
（1）利用矩形性质和折叠的性质可推出，设则利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；
（2）设则，设交于，可证得，得出，即，求得，分两种情况：当时，当时，分别添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案；
（3）由中点定义可得，过点作交于点，过点作于点，由矩形性质和翻折的性质可得，可证得，得出，再证得，进而推出
，利用角平分线的判定定理可得推出，再由平行线的判定定理可得，运用平行四边形的判定定理即可证得四边形是平行四边形．
【点睛】点睛片段
【详解】（1）解： ，
，
四边形是矩形，
，，
，
由折叠得：，
，即，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
的长度为5；
（2）设，则，设交于，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，即，
，
当时，，
连接，过点作于点，如图，
将沿直线折叠得到，
，，
，
，
即，
，
，，
，
，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
解得：，
经检验，是该方程的解，
；
当时，，
连接，过点作交的延长线于点，作于点，如图，
同理可得：，
同理，
，即，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长度为或；
（3）四边形是平行四边形，理由如下：
点是的中点，
，
过点作交于点，过点作于点，如图，
则，
四边形是矩形，
，
，
，
由翻折得：，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
17．矩形中，，，点为对角线上一点，过点作于点，交边于点，将沿折叠得，连接．
(1)如图1，若点落在边上，求证：；
(2)如图2，若，，三点在同一条直线上，求的长；
(3)若是以为腰的等腰三角形，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质证明，即可解决问题；
（2）结合（1）的方法，解，分别求得；
（3）当△是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当，②当，结合（）的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题．
【详解】（1）四边形是矩形，．
由折叠得到，
，
，
；
（2）矩形中，．
当，，三点在同一条直线上时，．
同（1）可得．
又，
．
，，
．
在中，，
．
在中，，
．
（3）①若，如图3①
(图3①)
设，
，
，
，

，
，
，，，
，
，
，
．
②若，如图②．
(图3②)
过点作，
设
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，翻折的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
18．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片，组织同学们进行折纸探究活动．
【初步尝试】把正方形对折，折痕为，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点处，连接，如图1，请直接写出与的数量关系．
【能力提升】把正方形对折，折痕为，然后展开，沿过点A与上的点G所在的直线折叠，使点B落在上的点P处，连接，如图2，猜想的度数，并说明理由．
【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线的对称点，连接，，，如图3，求的度数．
【答案】初步尝试：；能力提升：猜想：，理由见解析；拓展延伸：
【分析】初步尝试：连接，由折叠的性质可知，，，，，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出，推出，即可得出答案；
能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证，从而证明是等边三角形，即可得到答案；
拓展延伸：连接、，由（2）得是等边三角形，进而得出，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得，，由对称性质得：，，证明，得到，再由，即可求出的度数．
【详解】解：初步尝试：，理由如下：
如图，连接，
由折叠的性质可知，，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
解：能力提升：猜想：，理由如下：
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠性质可得：，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
解：拓展延伸：如图，连接、，
由（2）得是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
由对称性质得：，，
∴，
∴是等边三角形，
在与中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
19．综合与实践
数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片对折，使得点A，D重合，点B，C重合，折痕为，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为．

(1)如图（1）若，则当点落在上时，和的数量关系是________，的度数为________．
思考探究：
(2)在的条件下进一步进行探究，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为点．当点落在上时，如图（2），设，分别交于点J，K．若，请求出三角形的面积．
开放拓展：
(3)如图（3），在矩形纸片中，，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接，，若，请直接写出的长．(温馨提示：，)
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质得：，，根据直角三角形的性质可得，由直角三角形的两锐角互余可得结论；
（2）由折叠得：，证明，可知，，得是等腰直角三角形，再证明四边形是正方形，分别计算，，由三角形面积公式可得结论；
（3）如图（3），过点作于，于，根据等腰三角形的三线合一可得，由折叠的性质和矩形的性质可得，，，设，则，，根据，列方程可解答．
【详解】（1）解：由折叠得：，，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）由折叠得：，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）如图，过点作于，于，

，
，
，
四边形是矩形，
，
由折叠得：，，
中，，
，
延长，交于，
中，，，
，
中，，
，
设，则，，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．
20．综合与实践
综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点E，再沿折叠，点A落在点F处，把纸片展平，延长，与交点为G．
请写出线段与线段的数量关系______．
（2）迁移思考
如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断．
（3）拓展探索
如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值．

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）如图所示，连接，由矩形的性质得到，由折叠的性质可得，证明，即可证明，得到；
（2）如图所示，连接，由平行四边形的性质得到，由折叠的性质可得，证明，得到，再证明，即可证明；
（3）由矩形的性质得到，，，则，由折叠的性质可得，由（1）得，可推出，即可求出．
【详解】解：（1）如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴
∵点E是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：

（2），证明如下：
如图所示，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

（3）∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质可得，
由（1）得，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边，全等三角形的性质与判定等等，熟知折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．