辽宁省实验中学2024届高三下学期考前模拟训练（五模）数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省实验中学2024届高三下学期考前模拟训练（五模）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．有一组样本数据：,,,,,,其平均数为2024．由这组数据得到新的样本数据：,,,,,,,2024,那么这两组数据一定有相同的( )
A.极差B.中位数C.方差D.众数
2．复数,在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．若,则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
4．蜜蜂是母系社会生物,蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂,若不能受精则孵化为雄蜂即雄蜂是“有母无父”,雌蜂是“有父有母”的,下图是某只雄峰的家系图,规定：其“父母”为上溯第1代祖辈．其“祖父母”为上溯第2代祖辈,以此类推．记表示该雄蜂上溯第n代祖辈数量,例如,那么下列结论中不正确的是( )
A.B.C.D.
5．已知,,则( )
A.B.C.D.
6．某天小明打算出门去健身中心锻炼,起床发现闹钟停了,随意把闹钟调到6点30分,并使闹钟正常行走后,就出发去健身房．当到那里时,他看到墙上的时钟显示为7点10分,在那里跑步一小时五十分钟后结束锻炼,然后用同样的时间回到家,这时家里闹钟显示为9点10分．请问此时小明该把时间调到几点才和实际时间相符( )
A.9点20分B.9点25分C.9点5分D.8点55分
7．过点作圆的切线,A为切点,,则的最大值是( )
A.B.C.4D.3
8．三棱锥所有棱长都等于2,动点M在三棱锥的外接球上,且,的最大值为s,最小值为t,则( )
A.2B.C.D.3
二、多项选择题
9．已知函数的图象关于对称,则( )
A.函数为奇函数B.在区间有两个极值点
C.是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线
10．一般地,我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”,则下列命题正确的有( )
A.椭圆是“黄金椭圆”
B.若椭圆是黄金椭圆,则
C.设“黄金椭圆”C的左右焦点分别为,,存在椭圆C上一点P,使得
D.设过原点的直线与焦点在x轴上的“黄金椭圆”分别交于A、B两点,“黄金椭圆”上动点P(异于A,B),设直线PA,PB的斜率分别为,,则
11．已知函数的定义域为R,且,,,则下列说法中正确的是( )
A.为偶函数B.C.D.
三、填空题
12．二项式展开式的第3项的二项式系数是_____________.
13．已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆,若圆锥的表面积为,则该圆锥的体积为__________.
14．设O为坐标原点,,为双曲线的两个焦点,点P在C上,,则___________.
四、解答题
15．设的导数满足,,其中常数a,.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,求函数的极值．
16．如图,在四棱柱中,侧棱底面,,,,,,,.
（1）求证：平面;
（2）若直线与平面所成角的正弦值为,求k的值;
（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为,写出的解析式．（直接写出答案,不必说明理由）
17．某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元．在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列;
（2）若要求,确定n的最小值;
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？
18．在直角坐标系xOy中,点P到点距离与点P到直线距离的差为-1,记动点P的轨迹为W.
（1）求W的方程;
（2）设点P的横坐标为.
（i）求W在点P处的切线的斜率(用表示);
（ii）直线l与W分别交于点A,B．若,求直线l的斜率的取值范围(用表示).
19．已知是曲线上的点,,是数列的前n项和,且满足,
（1）求,;
（2）确定a的取值集合M,使时,数列是单调递增数列;
（3）证明：当时,弦的斜率随n单调递减．
参考答案
1．答案：A
解析：对于A,不妨设,,,,,,已经按照从小到大的顺序排列好了,
由其平均数为2024可知,,
所以两组数据的极差都是,故A正确;
对于B,取,,,,,,为2020,2021,2022,2023,2024,2029,2029满足题设,
但是2020,2021,2022,2023,2024,2029,2029的中位数为2023,
2020,2021,2022,2023,2024,2029,2029的中位数为,故B错误;
对于C,结合B选项以及题设可知,
2020,2021,2022,2023,2024,2029,2029的平均数是2024,
2020,2021,2022,2023,2024,2029,2029的平均数也是2024,
2020,2021,2022,2023,2024,2029,2029的方差为,
2020,2021,2022,2023,2024,2029,2029的方差为,故C错误;
对于D,2020,2021,2022,2023,2024,2029,2029的众数是2029,
2020,2021,2022,2023,2024,2029,2029的众数是2024,2029,故D错误.
故选：A.
2．答案：B
解析：,
复数z在复平面内对应的点的坐标为,
所以复平面内z对应的点位于第二象限.
故选：B.
3．答案：C
解析：对于A：当、,满足,但是,故A错误;
对于B：当、,满足,但是,故B错误;
对于C：因为在定义域R上单调递增,若,则,故C正确
对于D：当、,满足,但是,故D错误.
故选：C.
4．答案：D
解析：根据题意,数列满足：,,当时,.
所以单调递增,故A正确;
,即,故B正确;
数列的前10项依次为：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,所以,故C正确;
因为,即,故D错误.
故选：D.
5．答案：C
解析：由,得,而,即,
则,所以.
故选：C.
6．答案：B
解析：设小明从家到健身中心用的时间是x分钟,根据题意得：.
所以小明从家出发的时间为：6点45分,
故小明需要把表往后调15分钟,即应该调到：9点25分.
故选：B.
7．答案：A
解析：由题意：,即.
设,则,代入,得.
因为关于a的一元二次方程一定有解,
所以.
故选：A.
8．答案：C
解析：如图：
过P作平面于H,则正四面体的外接球球心（也是内切球球心）在线段上,
设为O,设内切球半径为r,外接球半径为R.
则,,
而,所以,.
因为M在的外接球上,且,
所以M在以为直径的球面上,取中点为,
则M在圆上,圆E所在的平面与垂直.
在中,,,,
过O作于G,则G为正的中心,且,
所以在中,,所以.
设,则当点P,O,E,M共面时,取得最值,即
所以.
在中,由余弦定理：.
所以,
所以,,.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：因为函数的图象关于对称,
所以,则,,即,,
因为,所以,则,
对A,由得,定义域R,且,
所以函数为奇函数,正确;
对B,当时,,
由正弦函数图象知只有1个极值点,由,解得,
即为函数的唯一极值点,错误;
对C,当时,,,
所以是曲线的对称中心,正确;
对D,由,得,
解得或,,
从而得或,,
所以函数在点处的切线斜率为,
此时切线方程为,即,
即直线是曲线的切线,正确.
故选：ACD.
10．答案：AD
解析：选项A,,离心率为,A正确;
选项B,若焦点在x轴,由得,,若焦点在y轴,由得,,B错;
选项C,,所以,
因此当P为椭圆短轴顶点时,最小,且,则P在以为直径的外,所以不存在P使得,C错;
选项D,椭圆方程为,,设,直线方程为（P不在直线上）,
由,解得,或,
即,,
,
又,即,代入得
,D正确．
故选：AD．
11．答案：BD
解析：令,则.
另令,则,由,所以不成立,
所以,所以函数为奇函数,故A错误;
令,,则,故B正确;
令,,则,
又,所以,故C错;
令得.且,,.
所以;;
所以,又,,
所以;
所以;
所以
所以,故D正确.
故选：BD.
12．答案：28
解析：由题意知,展开式的通项公式为,
令,得,即二项式展开式的第3项的二项式系数是28.
故答案为：28.
13．答案：
解析：设圆锥母线长为R,底面圆半径长r,
因为侧面展开图是一个半圆,此半圆半径为R,半圆弧长为,
所以,即,因为表面积是侧面积与底面积的和,
所以,所以,,则圆锥的高,
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为①,
则由余弦定理得,
即②,联立①②,
解得：,
而,所以,
即．
故答案为：．
15．答案：（1）;
（2）见解析.
解析：（1）,．
令,得,解得,
令,得,因此,解得,
因此,
,
又,
故曲线在点处的切线方程为,即．
（2）由（1）知
从而有
令,则或
当时,,
当时,,
当时,,
时取极小值,在时取极大值.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明：取的中点E,连接,
,,
四边形是平行四边形,
,且,,
,,
又,．
侧棱底面,,
,平面．
（2）以D为坐标原点,、、的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,,,．
,,．
设平面的一个法向量为,
则,取,则,．
．
设与平面所成角为,
则,
解得,故所求．
（3）由题意可与左右平面,,上或下面,拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．
写出每一方案下的表面积,通过比较即可得出．
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0．2,0．4,0．2,0．2,从而
;
;
;
;
;
;
．
所以X的分布列为
（2）由（1）知,,故n的最小值为19．
（3）购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用.
当时,费用的期望为：;
当时,费用的期望为：.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选．
18．答案：（1）
（2）（i）,（ii）答案见解析
解析：（1）设点P的坐标为,由题意得,
即,所以或
整理得或故W的方程为.
（2）（i）因为W为,所以．所以W在点P处的切线的斜率为：;
（ii）设直线l为,点M为线段AB的中点,当时,不合题意,所以;
因为点A,B满足所以,满足,
从而
因为直线PM方程为,所以,
即,从而.
因为,
所以,即,
等价于(其中)
①当时,即时,有,此时,
②当时,即时,有,此时,
③当时,即时,
有,
其中,
所以.
综上,当时,;
当时,.
19．答案：（1）,
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）由已知有对任意正整数n成立,
故.
而根据的定义域,有,所以.
这就说明,,.
故,.
（2）我们有.
故.
再由,,,就得到.
从而,,.
所以命题等价于,即.
故.
（3）先证明一个结论：对,有.
证明：该不等式等价于,即,.
所以只需要说明当时,有成立即可.
设,则,故当时,当时.
所以在上递减,在上递增,故当时,
有,即.
所以原来的结论也成立.
回到原题.
当时,数列是单调递增数列,结合的定义域知.
故有,.
所以,结论得证.
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04