辽宁省鞍山市岫岩满族自治县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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（考试时间：90分钟：试卷满分：120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. B. 0.1010010001C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【详解】解：是无理数；
0.1010010001是有限小数，属于有理数；
1是整数，属于有理数；
有理数；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点在第二象限．
故选：B．
3. 实数在数轴上的位置如图所示，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟知二次根式的性质的解答本题的关键．根据a在数轴上位置可知，它在2和3之间，且接近2，根据无理数的估算方法，逐项进行判断，即可得出答案．
详解】解：A．∵，
∴的值不可能是，故A不符合题意；
B．∵，
∴的值不可能是，故B不符合题意；
C．∵，
∴的值可能是，故C符合题意；
D．∵，
∴的值不可能是，故D不符合题意．
故选：C．
4. 如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理即可作出判断．
【详解】解：A. ，不能判定，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵，∴，故该选项正确，符合题意；
C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，∴，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5. 第三象限内的点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是8，那么点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数以及点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】解：第三象限的点到轴的距离是7，到轴的距离是8，
点横坐标是，纵坐标是，
点的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
6. 下列命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中真命题的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定可以判断①②；根据对顶角的定义可以判断③ ；根据垂线的定义可以判断④．
【详解】解：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；故①错误；
在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，故②正确；
对顶角相等，但相等的角不一定对顶角，故③错误；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角的定义，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断．
7. 下列四组数值中，是方程组的解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解，解题的关键是利用加减消元法进行求解．
方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】
得：
得：
把代入中
，
把，代入得：
，
方程组的解为，
故选：D．
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺．现设绳长尺，木长尺，则可列二元一次方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题的等量关系是：绳长木长；木长绳长，据此可列方程组求解．
【详解】解：设绳长尺，长木为尺，
依题意得，
故选：B．
【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．
9. 在平面直角坐标系中，，，，，，，连接，，．若，则的平方根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形性质、平方根的定义，熟记垂直于轴的直线上的点横坐标相等，平行轴上的直线上的点纵坐标相等是解题关键．根据点，的坐标可知，点，在垂直于轴的一条直线上，于是，进而可知点，在平行于的轴的一条直线上，得到，即，再利用平方根的定义求解即可．
【详解】解：，，，，
点，在垂直于轴的一条直线上，
轴，
，
∵，
∴，
如图，
点，在平行于的轴的一条直线上，
，即，
的平方根为．
故选：D
10. 如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，……，依次扩展下去，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查点的坐标规律．根据题意，先写出前8个点的坐标，再找出规律即可，具体见详解．
【详解】解：，，，，，，，，……
，，，
．
故选：D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 的平方根是______．
【答案】
【解析】
【分析】一个数x的平方等于a，则这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式，即________．
【答案】##
【解析】
分析】把当成常数，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程．熟练掌握代入法是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系中，，，将线段平移得到线段，其中点是点的对应点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点、的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【详解】解：点的对应点的坐标为，
平移规律为向右平移1个单位，向下平移2个单位，
的对应点的坐标为，即．
故答案为：．
14. 当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若，则的度数为_____________

【答案】##70度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，根据题意可得：，然后利用平行线的性质可得，再利用两直线平行，内错角相等可得，即可解答，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】如图，设光线与水面相交于点C，

由题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合.若固定三角板，改变三角板的位置（绕A点旋转三角板），则当______时，.
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，分两种情况，根据，利用平行线的性质，即可得到的度数．
【详解】解：如图所示：当时，；
如图所示，当时，，
；
故答案为：或．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：
（2）求x的值：
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，平方根的应用．
（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减即可；
（2）根据平方根的定义解方程．
【详解】解：（1）
；
（2）由原方程得，
则，
解得：或．
17. 如图，已知直线和相交于点O，是直角，平分，，求和的度数．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了邻补角，对顶角相等，角平分线等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由是直角，可得，由，可得，由平分，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是直角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
18. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：
得，，解得： ，
将代入①，得： ，解得，
∴原方程组的解为；
【小问2详解】
解：
整理得，
得，，解得，
把代入①得，，解得，
原方程组的解为．
19. 下图是北京市三所大学位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若清华大学的坐标为（0，3），北京大学的坐标为（﹣3，2）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出北京语言大学的坐标： ；
（2）若中国人民大学的坐标为（﹣3，﹣4），请在坐标系中标出中国人民大学的位置．
【答案】（1）（3，1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）利用清华大学的坐标为（0，3），北京大学的坐标为（-3，2）画出直角坐标系，进而即可得结果；
（2）根据点的坐标的意义即可描出表示中国人民大学的坐标即可得．
【详解】（1）如图，
北京语言大学的坐标：（3，1）；
故答案是：（3，1）；
（2）中国人民大学的位置如图所示：
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
20. 如图，CD//AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．
（1）直线EF与AB有怎样的位置关系？说明理由；
（2）若∠CEF＝68°，则∠ACB的度数是多少？
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）42゜
【解析】
【分析】（1）由题意推出∠DCB=∠ABC=70°，结合∠CBF=20°，推出∠CBF=50°，即可推出EF∥AB；
（2）根据（1）推出的结论，推出EF∥CD，既而推出∠ECD=112°，根据∠DCB=70°，即可推出∠ACB的度数．
【详解】解：（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下：
∵CD∥AB，∠DCB=70°，
∴∠DCB=∠ABC=70°，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABF=∠ABC∠CBF=50°，
∵∠EFB=130°，
∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°，
∴EF∥AB；
（2）∵EF∥AB，CD∥AB，
∴EF∥CD，
∵∠CEF=68°，
∴∠ECD=112°，
∵∠DCB=70°，
∴∠ACB=∠ECD∠DCB，
∴∠ACB=42°．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质定理，关键在于（1）求出∠ABC的度数，（2）熟练运用已知和已证的结论，推出∠ECD=112°，熟练运用平行线的判定定理和性质定理．
21. （1）一般地，当时，
（2）如图，在正方形纸片中，、相交于点O，且，
①当时，求出正方形的面积．
②当时，是否能用正方形纸片 沿着边的方向剪出一个面积为的长方形，使它的长与宽的比是？如果能，求出长方形的长和宽；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）a；（2）①；②不能剪出符合要求的长方形，详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用和无理数大小的比较．
（1）根据算术平方根的意义即可得出答案；
（2）根据即可解答，
（3）先求出正方形的边长，再求出为的长方形，使它的长与宽的比是的长，比较它们的大小即可解答．
【详解】（1）．
（2）因为 ，
所以
②因为 ，
所以
即，
长方形的长与宽的比是，可设长为，宽为，
依题意，得： ，
，
，
，
长方形的长为
，
，
又，
，
即长方形的长超过了正方形的边长，所以，不能剪出符合要求的长方形
22. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：A种书籍每本的进价为元、B种书籍每本的进价为元； 任务2：当天卖出A种书籍本
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．
（1）设A种书籍每本的进价为元、B种书籍每本的进价为元，根据订购A种书籍100本，B种书籍200本，共花5000元；若订购A种书籍120本，B种书籍400本，共花费8400元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设当天卖出A种书籍本，根据读书日当天共卖出B种书籍200本，两种书籍的总销售额为10600元，列出方程，根据且为正整数，为整数，求解即可．
【详解】任务1：
解：设A种书籍每本的进价为元、B种书籍每本的进价为元，
根据题意得
解得
答：A种书籍每本的进价为元、B种书籍每本的进价为元；
任务2：
解：设当天卖出A种书籍本，根据题意得：
解得
∴
∵且为正整数，为整数
∴当时， （不合题意，舍去）
当时，
答：当天卖出A种书籍本．
23. 已知，点在上，点在上，点为射线上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分）
证明：过点作直线，
∵，
∴_______①_______．
∵，
∴_______②_______．
∵，
∴_______③_______（_______④_______）．
∴．
（2）【类比探究】如图2，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，点与点重合，平分，且，，那么的度数为________．
【答案】（1）；；；两直线平行，内错角相等
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（）过点作直线，根据平行线性质与判定即可求解；
（）过点作直线，同理可得，，则；
（）利用平行线的性质求出的值，再利用平行线的性质进行计算即可；
本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.
【小问1详解】
过点作直线，
∵，
∴ (平行于同一条直线的两条直线平行)，
，
∴，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴；
故答案为：；；；两直线平行，内错角相等；
【小问2详解】
如图所示，过点作直线，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图所示，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．图书销售
素材1
4月23日赴世界读书日，旨在让全球各地的人们不论年龄、贫富、健康状况，都能享受阅读，尊重并感谢为文明做出巨大贡献的大师们，同时保护知识产权．
素材2
某批发商在“世界读书日”前夕，订购A、B两种书籍进行销售，若订购A种书籍100本，B种书籍200本，共花5000元；若订购A种书籍120本，B种书籍400本，共花费8400元．
素材3
为了回馈读者，该批发商调整了销售策略：A种书籍每本在进价的基础上提高进行销售；B种书籍则在每本进价的基础上提高元（），且a为正整数）进行销售．此举旨在让读者以更优惠的价格买到心仪的书籍，共享阅读乐趣．
问题解决
任务1
求A、B两种书籍每本的进价分别为多少元？
任务2
经过统计，读书日当天共卖出B种书籍200本，两种书籍的总销售额为10600元．求当天卖出A种书籍多少本？