06- 备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）（解析版）

这是一份06- 备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，进而结合交集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
2．已知复数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，化简已知等式可求得，由复数模长运算可求得结果.
【详解】设，
由得：，，
整理可得：，，
（当且仅当时取等号），的最小值为.
故选：B.
3．已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则为“回旋数列”；
②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；
③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；
④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，结合题意中的“回旋数列”，对每项进行验证或者举特例即可
【详解】①由可得，
由可得，取即可，则为“回旋数列”，故①正确；
②当时，，，
由可得，故当时，很明显不成立，故不是“回旋数列，②错误”；
③是等差数列，故，，
因为数列是“回旋数列”，所以，即，
其中为非负整数，所以要保证恒为整数，
故为所有非负整数的公约数，且，所以，故③正确；
④由①可得当时，为“回旋数列”，
取，，显然不存在,使得，故④错误
故选：B
4．已知平面向量，，满足，，且．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的垂直和数量积的坐标表示求出，再用坐标公式求模即可.
【详解】设，则，可得，
所以.
故选:A
5．三位同学参加某项体育测试，每人要从跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出三个同学选择两个项目的试验的基本事件数，再求出有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数，即可列式作答.
【详解】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有个，它们等可能，
有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数有个，
所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率.
故选：C
6．已知为第三象限角，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据同角三角函数以及的范围得出的值，然后根据诱导公式以及两角和的正弦，即可得出答案.
【详解】由已知可得，所以.
又，所以，解得.
又为第三象限角，
所以，，.
所以， .
故选：A.
7．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ）

B．
C．D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积.
【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为，
正六棱柱的底面面积为，
如图所示，正六棱台中，，
过点分别作垂直于底面于点，
连接相交于点，则分别为的中点，
过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高，
其中，，，
由勾股定理得，故，

所以正六棱台的斜高为，
故正六棱台的侧面积为，
又正六棱台的下底面面积为，
所以该花灯的表面积为．
故选：A．
8．已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用的奇偶性和单调性求得正确答案.
【详解】设，
，
所以是奇函数.
当时，，
则，
所以在上单调递增，则在上单调递增，
不等式即，
所以，
所以不等式的解集为.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键点有两点，一个是函数的奇偶性，奇偶性可以转化为来进行判断；一个是构造函数法，有关和的不等关系式，在解题过程中可以考虑利用构造函数法，然后结合导数来进行求解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）
A．B．展开式中的常数项为
C．展开式中的系数为160D．展开式中无理项的系数之和为
9．已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减D．函数在上有3个零点
【答案】AC
【分析】根据周期及奇函数的性质求出，再利用正弦函数性质逐项判断即可.
【详解】因为函数的最小正周期是，所以，
则，
把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为，
因为为奇函数，所以，，即，，
因为，所以，，所以，
对于A，，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，当时，，
函数在上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，故C正确；
对于D，由，得，即，
令，解得，又，所以或，
所以函数在上有2个零点，分别为，，故D错误.
故选：AC.
10．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）

A．C的准线方程为
B．
C．若点，则
D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上
【答案】AD
【分析】根据抛物线的几何性质，可判定A正确；设直线，联立方程组，结合韦达定理，可判定B错误；根据，求得，可判定C错误；由，联立方程组得到，结合，可判定D正确.
【详解】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，所以A正确；
由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0，
设直线，联立方程组，整理得，
可得，所以，所以B错误；
若点，则，所以，所以，，
所以，所以C错误；
又由直线，联立方程组，解得，
由，得，所以，所以点N在直线上，所以D正确.
故选：AD.

11．如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列结论中正确的是（ ）

A．存在y，使得
B．当时，存在z使得∥平面AEF
C．当时，异面直线与EF所成角的余弦值为
D．当时，点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
【答案】BD
【分析】建系，利用空间向量处理位置关系、异面直线夹角以及点到面的距离.
【详解】如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系，

则，，，，，，
对于选项A：可得，
因为，且，可知，
所以与不垂直，故A错误；
因为，则，，可得，，
对于选项B：设平面AEF法向量为，则，
令，则，可得，
设，可得，
令，解得，
可知：当时，∥平面AEF，B正确；
对于选项C：当时，则，此时，
因为，
可知：当时，异面直线与EF所成角的余弦值为，故C错误；
对于选项D：因为，，
可得：点G到平面AEF的距离，点C到平面AEF的距离，
所以点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍，故D正确．
故选：BD．
12．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】先利用三角函数线得到，进而得到，作差法得到，得到；再构造函数，与，，证明出.
【详解】设为锐角，作出单位圆，与轴交于点，则，
过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点，
由三角函数定义可知，，
设扇形的面积为，则，即，故，
所以，

，
因为，所以，故，
综上：，A正确，B错误；
令，，则，
当时，，故在上单调递增，
所以，所以，
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故，故，
故，C正确，D错误；
故选：AC
【点睛】方法点睛：我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不等式有，，，，等.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若随机变量，且，则 ．
【答案】0.39/
【分析】由正态分布函数的性质结合已知条件即可求解.
【详解】因为，所以正态曲线的对称轴是直线，
又因为，所以.
故答案为：0.39.
14．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 .
【答案】
【分析】根据导数几何意义可分别用表示出切线方程，根据切线方程相同可构造方程组，化简得到，代入所求式子整理即可.
【详解】，，切线斜率，
切线方程可记为：或，
，，
则，易得，，
.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题考查导数中的公切线问题，求解此类问题的基本思路是假设切点坐标后，利用导数几何意义分别表示出两函数切点处的切线方程，由两方程形式一致可构造方程组来求解相关问题.
15．已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则 ．
【答案】/
【分析】设直线，由题意可得，可求得，进而可求得.
【详解】设直线，
直线与圆相切，
，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
所以，因为，
所以，
由对称性，不妨取，
故答案为：.

16．已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点分别为，离心率为，过且斜率为的直线与交于两点，四边形的面积为，则四边形的周长是 ．
【答案】14
【分析】设椭圆半焦距为，由离心率可得椭圆，将直线DE方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合四边形的面积为，可得，后注意到点A，两点关于直线DE对称，后利用椭圆定义可得答案.
【详解】设椭圆半焦距为，因椭圆离心率为，则，则椭圆.
由题，设直线DE为，将其与椭圆方程联立，则.
由题，联立方程判别式大于0，设，由韦达定理，有.
则.
又，则A到直线DE距离为，到DE距离为.
因四边形的面积S为，则.
因点A，到直线DE距离相等，且，则点A，两点关于直线DE对称.
则四边形的周长为.
注意到，，
则，得四边形的周长为.
故答案为：14

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．设正项数列的前项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 应用得出等差数列再求数列通项公式即可;
（2）应用裂项相消求和结合不等式恒成立求解.
【详解】（1）当时，，所以；
当时，且，两式相减并整理可得．
因为为正项数列，所以，所以．
（2）有（1）可知，
，
，
故，可化为，
因为恒成立，所以．
18．在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若内一点P满足，，，，记，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知，结合正余弦定理即可求；
（2）在直角中用角表示，在中，由正弦定理得到与角之间的关系，中，余弦定理求出及角，代入上式即可求角.
【详解】（1）因为，.
由正弦定理得：，
即，
由余弦定理，，
因为，所以.
（2）因为，所以，在中，，
在中，由正弦定理得，
即，即，（*）
又因为在中，，，
从而，
代入（*）式得，
即，
所以.
19．气象部门定义：根据24小时内降水在平地单位面积上的积水深度来判断降雨强度．其中小雨，中雨，大雨，暴雨）．为了了解某地的降雨情况，气象部门统计了该地20个乡镇的降雨情况，得到当日24小时内降雨量的频率分布直方图如图．

(1)若以每组的中点代表该组数据值，求该日这20个乡镇的平均降雨量；
(2)①根据图表，估计该日24小时内降雨强度为暴雨的乡镇的个数；
②通过降雨强度按分层抽样抽取5个乡镇进行分析．据以往统计数据，降雨过后，降雨强度为大雨的乡镇不受损失的概率为，降雨强度为暴雨的乡镇不受损失的概率为，假设降雨强度相互独立，求在抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数公式计算即可；
（2）根据频率分布直方图估计总体即可得①，根据分层抽样先判定抽中大雨和暴雨的乡镇数，再由独立事件的概率公式计算即可得②.
【详解】（1）这五组数据对应的频率分别为：，
故这20个乡镇的平均降雨量为
．
（2）①24小时降雨强度为暴雨的乡镇的频率为，
故降雨强度为暴雨的乡镇的个数为个．
②若按分层抽样抽取5个乡镇，
故降雨强度为暴雨的有个乡镇，降雨强度为大雨的有2个乡镇，
设事件表示“抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失”．
分两类情况，即不受损失的唯一乡镇为降雨强度为大雨或降雨强度为暴雨，
所以，
故抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率为．
20．如图，在四棱锥中，，，M为棱AP的中点．
(1)棱PB上是否存在点N，使平面PDC?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面平面ABCD，，，求二面角的正弦值．
【答案】(1)棱PB上存在点N，；
(2)
【分析】（1）作出辅助线，利用可证得平面PDC，再用相似三角形线段成比例即可求解.
（2）设O为CD的中点，由面面垂直的性质定理可得平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求二面角的正弦值．
【详解】（1）如图，分别延长BA与CD的延长线交于点E，连接PE，过点M在平面BEP内作直线，交BE于点F，BP于点N，
因为，平面PDC，所以平面PDC，
因为，，所以A，D分别为线段BE，CE的中点，
又，M为AP的中点，所以F为线段AE的中点，所以．
综上，棱PB上存在点N，使平面PDC，且．
（2）设，又，，所以，，
又，所以和为等边三角形，
设O为CD的中点，连接OP，OB，则，，，
又平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，平面ABCD，
又平面ABCD，，
综上，OP，OB，OC两两垂直．
以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，
，，，
设平面MDC的法向量为，
则即可取，
设平面MDB的法向量为，
则即可取，
所以，
故二面角的正弦值为．
21．已知双曲线C：的离心率为，F为C的左焦点，P是C右支上的点，点P到C的两条渐近线的距离之积为．
(1)求C的方程；
(2)若线段PF与C的左支交于点Q，与两条渐近线交于点A，B，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得曲线C的方程；
（2）设直线PF的方程为，再与曲线C联立方程组，再利用韦达定理以及弦长公式即可得出结论>
【详解】（1）由题意得，故，
又，C的两条渐近线方程分别为，
设，则，即
所以，所以，，故C的方程为．
（2）由（1）知，设直线PF的方程为，，，，
联立得，
则，，
因为P是C右支上的点，所以，
，
联立，得，
则，，
，
又，所以，解得，
所以．

【点睛】关键点睛：第（2）小问求的运算能力是关键，本题考查了直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的综合应用，属于较难题.
22．已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)已知函数，其中，若存在，证明：.
【答案】(1)函数在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数进行求导，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）先求出解析式，由，化简可得.不妨设，所以.再由函数单调递增，有，化简可得，再利用转化思想和换元法结合导数的性质求证即可.
【详解】（1）的定义域为，而，
由于，故，
所以函数在上单调递增.
（2）由（1）得，
又，即，
所以.
不妨设，所以.
由（1）得：当时，函数单调递增，故有：，
即，
所以
所以，故.
设, 则 , 因为 , 所以 , 即函数 在 上是增加的.
又, 所以 ,即 ,
所以，
故要证：，可证：，
要证，可证：
下证，
由于，
设，令，则，
所以函数在区间上单调递增，所以，
故，即成立.
综上有：，
故有，得证.
【点睛】关键点睛：第（2）问中，由函数单调递增，化简得，再利用转化思想和换元法是解题关键.本题考查转化思想，整体换元思想，考查利用导数研究函数的单调性，属于较难题..