2024北京市十一学校高三下学期三模数学试题及答案解析

这是一份2024北京市十一学校高三下学期三模数学试题及答案解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（ ）
A．B．C．1D．
2．已知，，则（ ）
A．空集B．或
C．或且D．以上都不对
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是两条直线，是一个平面，且，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，公比且，则（ ）
A．B．C．D．
6．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．B．C．16D．144
7．已知函数满足：和都是偶函数，且，设，则（ ）
А．B．C．D．
8．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数的部分图象如右图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
10．卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点为卵圆上任意一点，有下列四种说法：①卵圆关于轴对称；②卵圆上不存在两点关于直线对称；③线段长度的取值范围是；④的面积最大值为1；
其中正确说法的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则______．
12．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值______．
13．在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为______．
14．在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题：
问题1：你的阳历生日日期是否偶数？问题2：你是否有A习惯？
调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为______．
15．我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”“势”即是几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．
已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且过点，则双曲线的渐近线方程为______．
若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为______．
三、解答题（本题共6个小题，共85分）
16．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于，将的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于，记．
（Ⅰ）求函数的值域；
（Ⅱ）在中，若，，，求的面积．
17．（本小题满分13分）近年来，汽车自动驾驶技术高速发展，日趋成熟。自动驾驶是依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让自动驾驶系统可以在没有人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆的技术，其安全性备受人们的关注。
2015年起，美国加州机动车管理局要求获得自动驾驶道路测试资质的公司每年1月1日之前上交一份自动驾驶年度报告，总结道路测试总里程数，以及过程中所经历的所有自动驾驶脱离事件，脱离事件是指在自动驾驶系统遇到无法处理的情况时，由驾驶员人工干预的事件。
每次脱离平均行驶里程（MPD值，Miles per Disengagement），代表自动驾驶汽车每行驶多少里程才需要人工干预一次，它由一家公司报告的总里程数除以总脱离次数得到，这是衡量一辆自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一。下图是今年发布的《加州2023年自动驾驶脱离报告》中选取了10家公司的数据。
（Ⅰ）从表中随机抽取一家中国公司和一家美国公司，求抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概率；
（Ⅱ）从表中的10家公司随机抽取3家，求至少有2家MPD值大于10000的概率；
（Ⅲ）有人认为根据《加州2023年自动驾驶脱离报告》的数据，可以说明百度公司的自动驾驶技术已经全面超越谷歌公司。你是否同意此观点？并说明你的理由．
18．（本小题满分14分）四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，，点分别是线段的中点，点在上且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤．
19．已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）求证：．（且）
20．（本题满分15分）已知椭圆C的标准方程为，梯形的顶点在椭圆上．
（Ⅰ）已知梯形的两腰，且两个底边和与坐标轴平行或在坐标轴上．若梯形一底边，高为，求梯形的面积；
（Ⅱ）若梯形的两底和与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形？并说明理由．
21．（本题满分15分）已知，数列中的项均为不大于的正整数．表示中的个数．
定义变换将数列变成数列，其中．
（Ⅰ）若，对数列，写出的值；
（Ⅱ）已知对任意的，存在中的项，使得．
求证：的充分必要条件为；
（Ⅲ）若，对于数列，令，求证：．
北京十一学校2024届高三数学三模（）参考答案
总分：150分 时间：120分钟 命题人：杨文学
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．解析：由是纯虚数可知，所以，答案A
2．解析：，
或或，注意或，
，所以空集。答案A
3．【详解】因为，，所以，，
由可得，，即
整理得：．故选：D．
4．【解答】由是两条直线，是一个平面且，
如果，可推得或；反之，如果，可推得，
所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．
5．答案：C
解析：因为数列是等差数列且，所以；
又因为是各项均为正数的等比数列，公比，所以，答案为C；
6．详解：，其展开式通项公式为，，
所以所求项的系数为，所以答案C．
7．解析：因为为偶函数，所以，所以，所以为偶函数；
又是偶函数，所以，当时，；
．故选B．
注意函数的自变量是，不是等，偶函数具有自变量取相反数，函数值相等的特征。
8．解析：说明在以为直径的圆上，而又在圆上，因此两圆有公共点，则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，所以，即，又，解得。答案：B
直线、圆、圆锥曲线相关的题目是解析几何领域的知识，看见代数形式要主动地去思考对应几何特征是什么，反过来由几何特征也会用代数形式来刻画。
9．【详解】由图知：函数图象关于轴对称，其为偶函数，且，
由A、B中函数为奇函数，排除A、B；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D
10．答案：B
［解答］对于①：由对称理论易得①正确；
对于②：卵圆与轴交点为，与轴交点为恰好关于对称，②错误，
事实上，设点，则．（1）
若存在卵圆上点与关于对称，
则在卵圆上，满足方程，（2），但（1）（2）无解；
对于③：，可借助导数求最值，③正确；
对于④：，可求最大值，④正确；
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
11．【答案】6；由得，所以，准线为，．
12．坐标法易得：，得．
13．解析：，
当且仅当，即为等边三角形时，，又 ．
注：若改为呢？，
当且仅当，即为等边三角形时，，又 。
14．解：根据题意，被调查者回答第一个问题的概率为；其阳历生日日期是偶数的概率也是，
所以随机抽出的200名学生中，回答两个问题的人数估计各有人，
所以200人中抽取到白球并回答第一个问题为“是”的学生估计有人；
所以抽到红球并回答第二个问题为“是”的人数估计为人，
由此估计此中学学生有A习惯人数的百分比为．
15．解：双曲线的离心率，；，
；双曲线的方程为，过点，即解得，，
双曲线方程为，则渐近线方程为；
因为与双曲线在第一象限的交点为且；
与渐近线在第一象限的交点为且；
所以阴影部分绕轴旋转一周所得几何体被任意水平平面所截，
其截面面积为；
所以由祖暅原理可知：该阴影图形绕轴旋转一周所得几何体的体积与底面半径为1高为6的圆柱体积相等，
即它绕轴旋转一圈所得几何体的体积为．故答案为：，．
三、解答题（本题共6个小题，共85分）
16．［解答］（Ⅰ），，
当且仅当即时，
所以，函数的值域是．
（Ⅱ）由（1）得，所以
， ，，
由，又得
由余弦定理得
．
17．解析：（Ⅰ）因为表中有4家中国公司，5家美国公司，随机抽取一家中国公司和一家美国公司共种情况．
表中所有的美国公司中，MDP值比百度低的有5家，比AutX和小马智行低的有3家，比小米低的有1家，所以抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的情况共有种
故抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概率为．
（Ⅱ）设“从表中的10家公司随机抽取3家，至少有2家MPD值大于10000”为事件A
表中的10家公司中有4家MPD值大于10000．
设“恰有2家公司MPD值大于10000”为事件B，“恰有3家公司MPD值大于10000”为事件C，
则，且B，C互斥
所以（也可以用文字叙述，也可以用随机变量）
（Ⅲ）我不同意此观点
（理由说出下面之一或其他合理的理由即可，但要注意一定要提到数字，养成用数据说话的习惯）
①虽然百度公式的MPD值为18050，高于谷歌Waym的13219，但是百度公司的测试总里程108300远小于谷歌Waym的1454137，样本比较小，测试值与实际值偏差较大的可能性更大，所以不能确定。
②虽然百度公式的MPD值为18050，高于谷歌Waym的13219，但是MPD值只是衡量自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一，不能说明百度公司的自动驾驶技术在其他方面也超越了谷歌公司。
（如果回答同意此观点，并且摆出了数据说明的理由，给4分，说理不充分酌情扣分）
18．解：（I）在中，因为点分别是线段上的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）因为底面是边长为2的菱形，
所以，
因为平面，
所以，，
如图，建立空间直角坐标系，则依题意可得
，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则由可得，
令，可得，
因为，
所以直线与平面的成角的正弦值为．
（Ⅲ）记平面与直线的交点为，设，则：
由可得．所以即为点．
所以连接，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线．
法二：在平面内延长与延长线相交于点，由平面几何知识易得；（如下左图）
同理：在平面内延长与延长线相交于点，得；
又在菱形中，由平面几何知识易得，连结过点，（如下右图）
所以，连结FC、GC，则四边形CGEF就是所求作的交线。
19．解：（Ⅰ）函数的定义域为．
．
①时，，的递增区间为，无递减区间；
③时，令得；令得，
所以的递增区间为，递减区间为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，在上递增，，不合题意，
故只考虑的情况，由（Ⅰ）知
即
综上，的取值范围为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当时，恒成立，所以，
所以当恒成立，进而即，．
所以．（且）
即．（且）
20．［解答］（Ⅰ）若两底和与y轴平行，由椭圆方程得为该椭圆的上下顶点，
不妨设DC在轴右侧，设，
代入椭圆方程解得，，
所以梯形另外一底，因此面积；
若两底和与轴平行，因为，不妨设在轴上方且，，
由高为可得，，但此时四边形为矩形，不合题意，故舍去．
综合可得：满足条件的梯形的面积为
（Ⅱ）该梯形不可能为等腰梯形，理由如下：（此分可以在最后下结论给）
由题意可知梯形两底所在直线的斜率存在且不为零，
设直线方程为，直线方程为，其中，
联立方程，整理得，
整理得①
设，，则，，
故中点坐标为；
同理可得中点坐标为；
若梯形为等腰梯形，则有，即，
但，所以梯形不可能为等腰梯形．
21．解：（Ⅰ） ．
（Ⅱ）由于对任意的正整数，存在中的项，使得．所以均不为零．
必要性：若，由于，
所以有；；；；．
通过解此方程组，可得成立．
充分性：若成立，不妨设，可以得到．
所以有：；；；；．
所以成立．
（Ⅲ）设的所有不同取值为，且满足：．
不妨设，
其中；；；．
又因为，根据变换有：；
；；
；
所以．
即．
所以．
因为，所以有，，，．
因此，，，，
即．
从而．
因此结论成立．公司
所属国家
测试总里程（英里）
脱离次数
MPD值
百度
中国
108300
6
18050
谷歌Waym
美国
1454137
110
13219
通用Cruise
美国
831040
68
12221
比亚迪
中国
32054
3
10684
小马智行
中国
174845
27
6475
Nur
美国
68762
34
2022
Zx
美国
67015
42
1595
小米
中国
12272
8
1534
苹果
美国
7544
64
117
奔驰
德国
14238
2054
6.9